Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

8. Az 1970-es évek

8. Az 1970-es évek

A következő évtizedekben is sok olyan matematikai felfedezés született, mely ezekkel a fogalmakkal kapcsolatba hozható. Pl. a II. világháború alatt és az azt követő években alakult ki a lineáris programozás elmélete, mely lineáris egyenlőtlenségrendszerek „megoldását” (vagyis az ilyen feltételeket kielégítő vektorok halmazán egy lineáris függvény optimalizálását) tárgyalja. Itt is definiáltak ilyen feladatok közti dualitást, ami lényegileg az együtthatómátrixaik ortogonális komplementer voltát jelenti. (Az 1970-es évek végére tisztázódott ennek és a matroidelméletnek a kapcsolata is.) A feladatok közti dualitás azt is lehetővé tette, hogy nemcsak a megoldható feladatok megoldásának a jóságát lehet könnyen (lényegileg behelyettesítéssel) ellenőrizni, hanem épp ilyen könnyen ellenőrizhető okot lehet találni arra, hogy egy megoldhatatlan feladat miért megoldhatatlan. Ez utóbbi gondolatmenet döntő fontosságú volt az 1960-as évek végén egy új tudományág, a bonyolultságelmélet kialakulásához.

Ugorjuk azonban át ezt a közel fél évszázadot és csak egyetlen további fejleménnyel foglalkozzunk!

A 3. szakaszban leírt villamosságtani alkalmazások feltétele volt, hogy a villamos hálózat összes alkatrésze (feszültség- és áramforrás, ellenállás, tekercs, kondenzátor) kétpólusú. Ez már a huszadik század első felében, az elektroncsövek és a transzformátorok felfedezése után sem volt igaz. Természetes igény volt arra, hogy Kirchhoff és mások klasszikus eredményeit általánosítsák a sokpólusú alkatrészeket is tartalmazó hálózatokra.

20. ábra.

Lássunk példát néhány hárompólusú alkatrészre! A 20a. ábra egy transzformátort mutat. Ismert, hogy ez az alkatrész növelni képes a feszültséget, de persze ugyanolyan arányban csökkenni fog az áramerősség, hogy szorzatuk (az alkatrész leadott teljesítménye) ne változzék. Emiatt az ábrán látható áramokra és feszültségekre az

u 2 = k u 1 , i 1 = - k i 2

egyenletek teljesülnek (ha a mérőirányokat a feltüntetett módon definiáljuk). A 20b. ábrán látható „alkatrész” egy erősítő legegyszerűbb modellje: ugyanezekkel a mérőirány-konvenciókkal

i 1 = 0 , u 2 = c u 1

a leíró egyenletrendszere.

Általában is igen sok villamos alkatrész írható le úgy, hogy pólusaikat n párba állítjuk, majd a párokon mért feszültségek és áramok között adunk meg n darab független lineáris egyenletet. Az így definiált (lineáris) n -kapuk összekapcsolását leírhatjuk gráfokkal; minden n -kapunak n darab él fog megfelelni. Több, mint egy fél évszázada használják ezt a fogalmat és a hálózatelmélettel foglalkozók számára magától értetődő volt, hogy a 3. szakasz végén írt dualitási elv is érvényben marad, ha értelemszerű apróbb változtatásokat hajtunk végre:

Tegyük fel, hogy egy H 1 villamos hálózat csupa lineáris n -pólusú alkatrészből áll és az összekapcsolásukat leíró G 1 gráf síkbarajzolható. Helyettesítsük G 1 -et a duális G 2 gráffal és minden H 1 -beli alkatrészt a „párjával”. Az így kapott H 2 hálózat és az eredeti H 1 alkatrészeinek feszültségeit és áramait leíró Kirchhoff-féle egyenletek formailag azonosak lesznek, csak a feszültségeket és áramokat jelölő u , ill. i betűket kell felcserélni.

Van-e értelme ennek az állításnak (és ha igen, igaz-e)? A válasz nyilván attól függ, hogy mit értünk egy alkatrész „párján”.

Próbáljuk meg ezt kitalálni a transzformátor esetén. A korábban már látott u 2 = k u 1 , i 1 = - k i 2 egyenletek nyilván úgy is leírhatóak, hogy az ( u 1 , u 2 , i 1 , i 2 ) vektornak a

( k , - 1 , 0 , 0 )

és a

( 0 , 0 , 1 , k )

vektorokra kell merőlegesnek lenni. E két vektor meghatároz a 4-dimenziós térben egy 2-dimenziós alteret, mi ennek az ortogonális komplementere? Pár másodpercnyi próbálgatás után észrevehető, hogy az

( 1 , k , 0 , 0 )

és a

( 0 , 0 , k , - 1 )

vektorok olyanok, hogy egymásra is, meg a fenti két vektorra is ortogonálisak – így egy olyan alkatrészt definiálnak, melynek egyenletei u 1 = - k u 2 , k i 1 = i 2 . Persze azonnal észrevehető, hogy ezt sokkal egyszerűbben is megkaphattuk volna – elég lett volna az áramok és a feszültségek szerepét felcserélni a transzformátort leíró egyenletrendszerben.

Feltehetőleg így gondolkodhattak a kutatók több évtizeden keresztül, mert nem vizsgálták azt a kérdést, hogy a fenti dualitás-elvben szereplő kifejezés (az alkatrész „párja”) végül is az u és i betűk formális felcserélését vagy a matroidelméleti értelemben vett dualitás képzését jelenti-e – mindenki úgy gondolta, hogy a két dolog tulajdonképpen ugyanaz, másképp megfogalmazva. A Tokyo Egyetem professzorával, Masao Irivel 1979-ben vettük észre, hogy ez nem így van, két különböző áram-feszültség szimmetria létezik a lineáris n -kapuk elméletében, csak a legtöbb alkatrész (pl. a fenti transzformátor) esetén ezek egybeesnek. (Az előbbi dőlt betűs állítás persze csak akkor lesz igaz, ha a betűcserével definiáljuk az alkatrész „párját”, de a másik esetben is szoros kapcsolat lesz a H 1 és a H 2 hálózatok villamosságtani tulajdonságai között.)

A 20b. ábrán látható „erősítő” (hivatalos nevén: feszültségvezérelt feszültségforrás) a legegyszerűbb példa arra, hogy a két dolog nem mindig esik egybe: az i 1 = 0 , u 2 = c u 1 egyenletrendszer a

( 0 , 0 , 1 , 0 ) , ( c , - 1 , 0 , 0 )

vektorok által meghatározott altérhez vezet, amelynek ortogonális komplementerét az

( 1 , c , 0 , 0 , ) , ( 0 , 0 , 0 , 1 )

vektorok definiálják. Ez viszont nem egy áramvezérelt áramforrás lesz, hanem egy másik feszültségvezérelt feszültségforrás, melynek kapui helyet cserélnek egymással.