Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

4. A 19. század második fele – rácsos tartók

4. A 19. század második fele – rácsos tartók

Gráfelméleti szempontból nagyon hasonló észrevételekhez jutottak el a 19. század második felében a bizonyos speciális rúdszerkezetek egyes rúdjaiban ébredő erők kiszámításával foglalkozó statikusok.

Ha például egy vasúti híd szerkezetét akarjuk vizsgálni, akkor (persze erősen egyszerűsítve) feltesszük, hogy teljesen merev rudakat kapcsoltunk össze pontszerű gömbcsuklókon keresztül. A rudakról feltesszük, hogy csak húzó- és nyomóerőt továbbíthatnak és egy ilyen szerkezet akkor van nyugalomban, ha minden gömbcsuklóban a hozzá illeszkedő erők – részben a rúderők, részben a csuklóban ható terhek – (vektoriális) összege zérus.

12. ábra.

Az egyszerűség kedvéért csak kétdimenziós rúdszerkezetekkel foglalkozunk, így egy vasúti hidat úgy képzelhetünk el, mint pl. a 12. ábrán látható síkbeli rúdszerkezetet (ill. ebből két példányt párhuzamos síkokban). A két végén látható háromszögek azt szemléltetik, hogy az egyik parton fixen rögzíthetjük a hidat, míg (pl. a hő okozta hosszúságváltozások miatt) a másik oldalon vízszintes irányú mozgást megengedünk.

13. ábra.

Hogyan lehet kiszámítani az egyes rudakban a terhelés hatására ébredő erőket? Ezt egy még egyszerűbb példán, a 13a. ábrán látható rúdszerkezeten szemléltetjük. Tegyük fel, hogy egy függőleges T 1 erő (13b. ábra) képviseli a híd terhelését. Nyilvánvaló, hogy ezzel a feleakkora nagyságú, ellentétes irányú F 2 , F 3 erők tartanak egyensúlyt (hisz az F 3 -nak vízszintes komponense nem lehet, és akkor F 2 -nek sem, nagyságuk pedig a szimmetria miatt azonos).

14. ábra.

Mivel a rudak csak húzó- és nyomóerőt továbbíthatnak, az F 2 erőt csak a 14a. ábrán látható két egyenes irányában ható erők összege ellensúlyozhatja – ez csak a 14b. ábrán látható F 4 és F 5 erőkkel lehetséges (melyek vízszintes komponensei egymást, függőleges komponensei az F 2 erőt semlegesítik). Úgy is mondhatjuk, hogy a 14c. ábrán látható vektorsokszög „záródása” fejezi ki a gömbcsuklóra ható erők egyensúlyát. Ebből nemcsak az olvasható le, hogy az 5. (és szimmetriaokokból a 7.) rúdban húzóerő és a 4. (és a szimmetria miatt a 6.) rúdban nyomóerő ébred, hanem ezen erők nagysága is kiszámítható: a 14c. ábrán látható háromszög oldalainak aránya azonos az erők nagyságának az arányával.

Végül a 15. ábra a. vagy b. részén látható, hogyan lehet a 8. rúdban ébredő erőt meghatározni a felső, ill. az alsó csuklóra ható vektorsokszögek záródásából. A 15c. ábrán látható, a jobb oldali csuklóra vonatkozó vektorsokszöget csak a teljesség kedvéért rajzoltuk fel, ez a 14c. ábra tükörképe.

15. ábra.

Vegyük észre, hogy mivel pl. a 4. rúdban nyomóerő ébred, ez a rúd mind a bal oldali, mind a felső csuklót „nyomja”, tehát az F 4 erő irányítása ellentétes a 14c. és a 15a. ábrán. Ugyanígy indokolható, hogy az F 5 erő irányítása is ellentétes a 14b. és a 15b. ábrán, mivel az 5. rúd mind a bal oldali, mind az alsó csuklót „húzza”.

Általában is elmondható, hogy a 13b. ábrán látható T 1 , F 2 , F 3 erők a négy csuklóra vonatkozó négy vektorsokszög közül egyben szerepelnek, míg a rudakban ébredő F 4 , , F 8 erők mindegyike kétszer, egymással ellentétes irányítással.

16. ábra.

Lehetséges a négy vektorsokszöget egyetlen rajzba foglalni (16a. ábra – egyelőre ne törődjünk az ábrába írt A , B , betűkkel), ezen már csak az első három erő irányát tüntettük fel (mert a többi két-két ellentétes iránya egymást „kioltotta”) – vegyük észre, hogy ez a három erő is egy záródó (elfajuló) vektorsokszöget alkot. Ez a rajz a rúdszerkezetnek (az adott terhelésre vonatkozó) Maxwell–Cremona diagramja, ami tartalmazza minden rúdban ébredő erőnek a nagyságát.

A rúdszerkezet Maxwell–Cremona diagramját is vizsgálhatjuk egy G 2 gráfként (ha eltekintünk az élek hosszától, egymással bezárt szögétől – amelyektől persze a statikus nem fog eltekinteni). Ekkor G 2 „lényegileg” a rúdszerkezet G 1 gráfjának a duálisa kell, hogy legyen (feltéve, hogy G 1 síkbarajzolható, amit e szakasz hátralévő részében felteszünk), hisz a csuklóknak a G 1 -ben egy-egy vágás (a csuklókhoz illeszkedő rudak halmaza) felel meg, a G 2 -ben pedig egy kör (a vektorsokszög). Nem meglepő, hogy a diagram megszerkesztésére is ismeretes olyan geometriai módszer, ami az első két szakaszban ismertetettre emlékeztet (ahol a tartományokban felvett pontok lettek a duális gráf pontjai). Itt az a különbség, hogy a terhelés(-ek) és az ellenerő(-k) vektorait (a fenti példában a T 1 , F 2 , F 3 erőket) először meghosszabbítjuk (gondolatban a végtelenig), így a rúdszerkezet G 1 gráfjának nem egy külső (nem korlátos) tartománya lesz, hanem példánkban három, általában pedig annyi, mint a terhelések és az ellenerők együttes száma.

Eddigi példánkban a 13a. ábra rúdszerkezete két belső, A , B tartományt, a 13b. ábrán feltüntetett erők három további C , D , E tartományt határoznak meg (ld. a 16b. ábrát). Ezek a tartományok felelnek meg a 16a. ábrán látható, a megfelelő betűvel megjelölt pontoknak.

Ellentétben az 5. és 7. ábrákkal, itt általában nem tudjuk szépen egymásra rajzolni a gráfot és a „duálisát”: míg ott az egymásnak megfelelő élek metszették egymást (gondoljunk a fővárosokat összekötő vasútvonalra, mely metszi az országhatárt), addig itt éppen ellenkezőleg, párhuzamosak.

A rúderők kiszámításának ez a módszerét (az ún. Bow-módszert) ma már sokan főleg kultúrtörténeti kuriózumnak tartják, hisz a számítógépes tervezési eljárások elterjedése szükségtelenné tette, hogy a statikus pontról pontra kézzel szerkessze meg a rúderőket. Ennek ellenére ma is tanítják ezt a módszert, mert segíti az építőmérnököket a „statikai érzék” kialakításában. Ha egy pillantást vetünk a 17. ábrára, mely Bow 1873-ból származó könyvének két táblázatát mutatja, benyomást szerezhetünk ennek az eljárásnak a szépségéről.

17. ábra.

Az egyszerűség és a rövidség kedvéért nem is foglalkozunk ennek az eljárásnak egyéb részleteivel. Csak utalásszerűen jegyezzük meg, hogy a diagram nem a rúdszerkezetre, hanem annak konkrét terhelésére vonatkozik: más teher hatásának a vizsgálatakor megváltoznak a rudakban ébredő erők és ez nem csak a diagram alakját (az élek hosszainak arányát) változtatja meg, hanem esetleg magát a gráfot is, hisz elképzelhető, hogy bizonyos terhelés hatására egy adott rúdban nem ébred erő, és ilyenkor a két végének megfelelő pontok egybeesnek. Azt a – sokkal fontosabb – kérdést egyáltalán nem is vizsgáljuk, hogy milyen feltételek mellett lesz az egyáltalán igaz, hogy a terhelés minden rúdban egyértelműen határozza meg az ébredő erőt.