Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

3. A 19. század második fele – villamos hálózatok

3. A 19. század második fele – villamos hálózatok

A 7. ábráról azonnal leolvasható, hogy a konstrukció az első gráf párhuzamos éleinek a második gráf soros éleit felelteti meg és viszont (vagyis az első gráf soros éleinek megfelelő élek meg a második gráfban lesznek párhuzamosak), valamint az is, hogy az első gráf hurokéleinek a második gráf elvágó élei felelnek meg és viszont. (Egy gráfban egy élt elvágó élnek nevezünk, ha eltávolításával megnő a gráf összefüggő komponenseinek száma. Pl. a 8. ábra mindkét megvastagított éle elvágó, vagyis állhat az egyik keletkezett komponens esetleg csak egy izolált pontból.) Készíthetünk egy „szótárt” is ennek alapján a fogalmak dualizálására – ennek egyelőre az 1, 2, 3a-b és 4a-b soraival foglalkoztunk.

Az eredeti (síkbarajzolható) gráfban

Az új (duális) gráfban

1

élek

élek

2

tartományok

pontok

3

körök

vágások

3a

hurokélek

elvágó élek

3b

párhuzamos élek

soros élek

4

vágások

körök

4a

elvágó élek

hurokélek

4b

soros élek

párhuzamos élek

5

fák

fák komplementerei

6

fák komplementerei

fák

7

körmátrix

vágásmátrix

8

vágásmátrix

körmátrix

9

feszültség

áram

10

áram

feszültség

11a

ellenállás (mint alkatrész)

ellenállás

11b

ellenállás (mint fizikai mennyiség)

vezetés

12

feszültségforrás

áramforrás

13

áramforrás

feszültségforrás

14

tekercs

kondenzátor

15

kondenzátor

tekercs

8. ábra.

Mi felel meg a köröknek a duális gráfban? Egy olyan minimális élhalmaz, melynek elhagyásával szétesik a gráf (vagy általánosabban, nő az összefüggő komponenseinek a száma, ha már eddig sem volt összefüggő). A „minimális” szó azt jelenti, hogy az élhalmaz rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, de valódi részhalmazai még nem. Például a 4. ábrán látható oktaéder gráfjában egyaránt ilyen az { 1 , 2 , 3 , 4 } és az { 1 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 } élhalmaz. Az ilyen élhalmazokat vágásoknak nevezzük. A 9. ábrán a pontozott és a vastagított élek szemléltetik a „szótárunk” 3., ill. 4. sorát.

9. ábra.

A soros és a párhuzamos élek kapcsolatáról egy fizikai analógiára gondolhatunk: ha egy villamos hálózatban két alkatrészt sorosan kapcsolunk, akkor azonos nagyságú áram folyik bennük és a feszültségeik összeadódnak, míg ha párhuzamosan kapcsoljuk őket, akkor a feszültségeik lesznek azonosak és az áramaik adódnak össze. Ezt tüntettük fel, mint a „szótár” 9. és 10. sorát.

10. ábra.

Ezek a fizikai észrevételek tulajdonképpen Kirchhoff 1847-ből származó híres törvényeinek speciális esetei: ha egy villamos hálózatot kétpólusú alkatrészek (például zseblámpaelemek és ellenállások) összekapcsolásával nyerünk (Kirchhoff idején nem voltak még „háromlábú” tranzisztorok vagy még sokkal több kivezetést tartalmazó egyéb alkatrészek), akkor az egyes alkatrészeken önkényesen valamilyen mérőirányt felvéve az összekapcsolásukat egy irányított gráffal szemléltethetjük (az alkatrészek lesznek az élek, ld. a 10. ábrát). Ekkor egyrészt a gráf bármely köre mentén az alkatrészek feszültségeinek előjeles összege zérus lesz (pl. a 10. ábra három ellenállásból és két feszültségforrásból álló hálózatában u 2 + u 3 - u 1 = 0 , u 4 + u 5 - u 3 = 0 , u 2 + u 4 + u 5 - u 1 = 0 teljesülnek), másrészt a vágások mentén az áramok előjeles összege lesz zérus. Ez utóbbi azt jelenti, hogy ha egy Q vágás elhagyása a gráf Q -t tartalmazó komponensét két részgráfra bontja, akkor az első részgráfból a másodikba mutató élek áramát vegyük mondjuk pozitív előjellel és a másodikból az elsőbe mutatókét negatívval. A 10. ábrán látható hálózatban például az { 1 , 2 } vágáshoz az i 1 + i 2 = 0 egyenlet tartozik, a { 2 , 3 , 4 } és a { 4 , 5 } vágásokból pedig az i 2 - i 3 - i 4 = 0 , ill. az i 4 - i 5 = 0 egyenleteket nyerhetjük.

Mivel láttuk, hogy a körök és a vágások egymás duális fogalmai, azonnal észrevehetjük, hogy ha egy H 1 villamos hálózat csupa kétpólusú alkatrészből áll és az összekapcsolásukat leíró G 1 gráf síkbarajzolható, akkor a H 1 alkatrészeinek feszültségeit és áramait leíró Kirchhoff-féle egyenletek formailag ugyanolyanok, mintha a G 1 duálisaként nyert G 2 gráfból indulnánk ki – „csak” az a különbség, hogy a feszültségeket és áramokat jelölő u , ill. i betűket is fel kellene cserélni.

Van-e azonban ennek fizikai értelme? Lesz-e olyan H 2 villamos hálózat, melynek nem csupán a gráfja lesz épp ez a G 2 gráf, hanem az alkatrészei is olyanok lesznek, hogy ezekkel az új egyenletekkel írhatjuk majd le őket?

Ismeretes, hogy az ellenállásokat az u = R i Ohm-törvény írja le. Fizikaórán nyilván elégtelent kapna az a diák, aki a betűk felcserélésével az i = R u egyenletet írná fel, de matematikailag csupán arról van szó, hogy az Ohm-törvény állításának (a feszültség egyenesen arányos az áramerősséggel) a formális leírásakor a tanuló az arányossági tényezőt nem R -rel, hanem R - 1 -nel jelölné. Ilyen értelemben tehát az ellenállás nevű alkatrész helyett egy másik ellenállást kapnánk, csak az ellenállás értéke változnék a reciprokára. (A fizikában az ellenállás reciprokát egyébként vezetésnek nevezik, ezt tüntettük fel „szótárunk” 11b. sorában.)

Hasonlóképpen egy zseblámpaelemet az „ u adott, i tetszőleges” egyenletrendszerű absztrakt „feszültségforrásként” modellezünk. (Ez egy idealizált modell: feltesszük, hogy akármilyen alkatrészt kapcsolunk az elemre, tehát akármekkora áram fog folyni rajta, mindig ugyanakkora marad a feszültsége.) Ennek az „áramforrás” lesz a duálisa, melynek tehát az áramerőssége adott, akármekkora feszültség esik is le rajta.

11. ábra.

Most már felrajzolhatunk egy olyan, három ellenállásból és két áramforrásból álló villamos hálózatot (11. ábra), melynek egyenletrendszere azonos lesz a 10. ábrán látható hálózatéval, feltéve, hogy G k = R k - 1 teljesül k = 1 , 2 , 3 -ra (és persze ha U 1 és I 1 , ill. U 5 és I 5 számértéke a megfelelő mértékegységekben kifejezve megegyezik).

Hasonlóképpen a tekercs (idealizált modellben) olyan alkatrész, melynek feszültsége az áram deriváltjával arányos, ennek az (idealizált) kondenzátor lesz a duálisa. Így tehát a kétpólusú alkatrészek is szerepelnek a „szótárunkban” és általában is megfogalmazhatjuk a villamos hálózatok klasszikus dualitási elvét, mely kb. egy évszázada ismert:

Tegyük fel, hogy egy H 1 villamos hálózat csupa kétpólusú alkatrészből áll és az összekapcsolásukat leíró G 1 gráf síkbarajzolható. Helyettesítsük G 1 -et a duális G 2 gráffal és minden H 1 -beli alkatrészt a „szótárunkban” szereplő párjával. Az így kapott H 2 hálózat és az eredeti H 1 alkatrészeinek feszültségeit és áramait leíró Kirchhoff-féle egyenletek formailag azonosak lesznek, csak a feszültségeket és áramokat jelölő u , ill. i betűket kell felcserélni.