Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

Dualitás a matematikában és sok más helyen

Dualitás a matematikában és sok más helyen

Recski, András


1. Az ókortól a 19. század elejéig – poliéderek

Amikor az általános iskolában először találkozunk a szabályos sokszög fogalmával, természetesnek vesszük, hogy az egyenlő oldalú háromszög, a négyzet, a szabályos öt- és hatszög mintájára bármely n -re fogunk tudni szabályos n -szöget rajzolni – nem nehéz teljesíteni azt a megkötést, hogy minden oldal egyforma hosszú és minden szög egyenlő. Ha viszont a 3-dimenziós tér szabályos poliédereit tekintjük, akkor az a definíció, hogy bármely két határoló lapnak egybevágó szabályos sokszögnek kell lennie és a szomszédos lapoknak egyenlő szögeket kell bezárniuk, igen szigorú megkötésnek bizonyul: mindössze 5 ilyen szabályos test létezik, a szabályos tetraéder, hexaéder (kocka), oktaéder, dodekaéder és ikozaéder (1. ábra).

1. ábra.

Mintegy kétezerötszáz éve Pláton már ismerte ezeket a testeket; annak bizonyítása, hogy más szabályos test nincs, feltehetőleg Theaitétosztól származik, mindenesetre megtalálható Euklidész Elemek-ének XIII. könyvében (vagy például Hajós György „Bevezetés a geometriába” című tankönyvében).

Van-e valami kapcsolat ezen öt test között?

2. ábra.

Jelöljük meg a szabályos testeket határoló sokszögek középpontját és kössünk össze egyenes szakasszal két ilyen pontot, ha a megfelelő határolólapok szomszédosak (vagyis közös egyenes szakasz a határuk). A 2. ábrán látható, hogy ha egy szabályos tetraéderből, illetve kockából indulunk ki, akkor így újra egy szabályos tetraéderhez, illetve egy oktaéderhez jutunk. Könnyű végiggondolni, hogy a fenti eljárással az oktaéderből visszajutnánk a kockához, míg a dodekaéder és az ikozaéder egymást eredményeznék. Valamilyen értelemben tehát az 1. ábra második és harmadik sorában látható testek „egymás párjai”, míg az első sorban látható tetraéder „önmagának a párja”.

3. ábra.

A „párba állítás” során tulajdonképpen nem használtuk ki, hogy a poliéderek szabályosak voltak. Induljunk ki egy tetszőleges olyan poliéderből, amely „gömbszerű”, tehát amelyet – ha felületét gumiból képzeljük el – gömbbé átdeformálhatnánk vágás és ragasztás nélkül. (Természetesen nem minden, síklapokkal határolt zárt térrész ilyen. A 3. ábra baloldalán látható „képkeret” átdeformálható az ábra jobboldalán látható „mentőövvé”, de mindkettő tartalmaz olyan zárt görbét, melyet a felfújt gumimodell „leeresztésével” nem lehetne egyetlen ponttá zsugorítani, míg a „gömbszerű” testeknél ez nem fordulhatna elő.) Vegyünk fel a poliéder minden lapjának a belsejében egy-egy pontot és kössük össze a szomszédos lapokhoz tartozó pontokat. Így egy új poliéder éleihez juthatunk (ha a keletkezett „lapok” élei egy-egy síkban vannak).

4. ábra.

Ennek a – legalább két évszázada ismert – konstrukciónak más szavakkal tehát az a lényege, hogy az első poliéder lapjainak a második csúcsai felelnek meg, és közben az első élei és a második élei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hoztunk létre. A 4. ábra (tulajdonképpen a 2. ábra jobb oldalának „kinagyítása”) ezt a megfeleltetést szemlélteti: pl. az oktaéder 1. számú éle úgy keletkezett, hogy a kocka bekarikázott 1. számú éle által elválasztott két lap egy-egy pontját kötöttük össze.