Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

7. Lukas sündisznók

7. Lukas sündisznók

Végül vázoljuk annak bizonyítását, hogy a többször átfúrt sündisznót sem lehet megfésülni, vagyis a többszemélyes úszógumin nem létezik sehol sem nulla érintő vektormező.

Kezdjük egy újabb definícióval.

7.1. Definíció. Legyen egy ? görbe mentén két vektormező u és v . Ekkor a v -nek az u -hoz viszonyított relatív elfordulásán értsük az I ? ( v ) - I ? ( u ) különbséget. Zárt görbékre hasonlóan definiálhatjuk a relatív körülfordulási számot, mint a körülfordulási számok különbségét.

7.2. Megjegyzés. Nem nehéz belátni, hogy a relatív körülfordulási szám megadható a következő módon. Tegyük fel, hogy a ? zárt görbe menti u ( x ) és v ( x ) vektormezők olyanok, hogy csak véges sok olyan pont van a görbén, melyekben az u ( x ) és a v ( x ) vektorok által meghatározott félegyenesek egybeesnek. Minden ilyen ponthoz rendeljük hozzá a 0 , + 1 , - 1 számok valamelyikét a következő módon: 0-t, ha a v ( x ) az u ( x ) -től ugyanazon irányban van az egybeesés előtt, mint utána. + 1 -et, ha a v ( x ) az u ( x ) -től pozitív irányba fordul az egybeesés után (és negatívba előtte). Végül - 1 -et, ha v ( x ) az u ( x ) -től negatív irányba fordul az egybeesés után (és pozitívba előtte). Ekkor ezen számok összege lesz a relatív körülfordulás.

(Toljuk az u ( x ) és v ( x ) vektorokat az origóba és normáljuk le őket, azaz tekintsük a velük megegyező irányú egységvektorokat. Ekkor a végpontjaik az S 1 egységsugarú körön fognak szaladni, amint x végigfut a ? görbén. A fenti ± 1 -ek azt számolják össze, hogy v vektor hányszor hagyja el az u vektort, ill. hányszor marad le mögötte.)

Ezen megjegyzésből világosan következik az alábbi lemma.

Legyen adva a síkban egy körgyűrű és a középköre mentén két nem nulla vektormező. A körgyűrűt folytonosan deformálva a háromdimenziós térben (a deformáció során a körgyűrűnek lehetnek önmetszései), majd újra beleterítve a síkba egy zárt (esetleg önmagát metsző) szalagot kapunk, rajta két nem nulla vektormezőt a szalag középgörbéje mentén.

7.3. Lemma. Ez az eljárás nem változtatja meg a vektormezők relatív körülfordulási számát.

Bizonyítás. Valóban, a megjegyzésben definiált egybeesési pontok megmaradnak (újak nem keletkeznek) és mindegyikben a hozzárendelt { 0 , + 1 , - 1 } -beli szám is ugyanaz marad. ?

5. ábra. A lukas kétszemélyes úszógumi kiterítve a síkban

7.4. Lemma. Legyen A p egy p személyes úszógumi és legyen rajta v egy olyan folytonos érintő vektormező, melynek egyetlen null-helye van. Tekintsünk egy kis (topologikus) körvonalat ezen null-hely körül a felületen. Ezt az érintő mezővel együtt levetítve a null-helyben húzott érintősíkra egy zárt síkgörbét kapunk és rajta egy vektormezőt. E vektormező körülfordulási száma mindig 2 - 2 p , ha a körvonalat az érintősíkban pozitív irányban futjuk be.

Bizonyítás. Hagyjuk el a felületből az említett körvonal által határolt körlapot. A felület megmaradó részét ki lehet teríteni a síkba irányítástartó módon.[33]

Ezek után a fenti lemmát fogjuk alkalmazni egyrészt a v vektormezőre, másrészt a kilukasztott felület peremgörbéjének érintőjére. Jelöljük ez utóbbit e -vel.

(Alább k e és k v jelöli az e , ill. v vektormező körülfordulási számát a síkon a kiterített felület peremgörbéje mentén, míg k e A p és k v A p a megfelelő körülfordulási számok a felület érintősíkjában a null-hely körül rajzolt kis körvonal vetülete mentén.)

A lemma az előző (7.3.) lemmából és az alábbi három állításból következik:

(1) A felületen az e érintővektor forgása 1; k e A p = 1

(2) A síkon az e forgása 2 p - 1 ; k e = 2 p - 1

(3) A v mező forgása a síkon nulla; k v = 0

Elfogadva egyelőre ezt a három állítást a 7.3. lemma alapján felírhatjuk:

k v A p - k e A p = k v - k e ,

azaz

k v A p - 1 = 0 - ( 2 p - 1 ) .

Tehát k v A p = 2 - 2 p , ami épp a bizonyítandó volt. Most már csak a fenti (1), (2), (3) állításokat kell bizonyítanunk.

(1) nyilvánvaló. (2) leolvasható a 5. ábráról.

(3) bizonyítása:

Azt kell belátnunk, hogy a síkba terített kilukasztott felület peremén a v körülfordulási száma nulla.

Bontsuk a felületet kicsi (topologikus) háromszögekre úgy, hogy két háromszögnek vagy egy közös oldala van, vagy egy közös csúcsa, vagy nem metszik egymást. (Persze miután a felületet beleterítettük a síkba, akkor már lehet a háromszögeknek más metszetük is). Ekkor a v körülfordulása minden háromszögön nulla. (Hiszen v a háromszög belsejében sehol sem nulla, vö. 2.6. lemma.) Egy háromszög irányításán az oldalainak egy olyan irányítását értjük, hogy minden csúcsba egy oldal fut be, egy pedig ki. Irányítsuk a háromszögeket úgy, hogy minden oldal ellentétes irányítást kapjon azon két háromszögtől, melyeknek ő közös oldala.

Egy tetszőleges háromszög irányított határán a körülfordulási szám a három irányított oldal menti elfordulás összege (ill. annak 1 2 ? -szerese.) Ha minden háromszögre felírjuk, hogy három irányított oldal menti elfordulás összege nulla, ezen egyenleteket összeadjuk, és kihasználjuk, hogy a belső oldalak két ellentétes irányítással szerepelnek és így kiesnek, végül azt kapjuk, hogy a peremen az elfordulás nulla. Ezzel (3) bizonyítását és egyben a 7.4. lemmáét is befejeztük. ?

Vegyünk végül A p -n egy tetszőleges érintő vektormezőt, melynek véges sok null-helye van. Ekkor minden null-hely körül a fentiekhez hasonlóan definiálhatjuk a forgást.

7.5. Tétel. A forgások összege mindig 2 - 2 p .

Bizonyítás. Vegyünk fel a felületen mindegyik null-hely körül egy kis körlapot. Kössük őket össze kis szalagokkal a felületen úgy, hogy egy topologikus kört kapjunk. Nem nehéz belátni, hogy e topologikus kör peremén a forgás az eredeti körök menti forgások összegével egyenlő. Könnyű definiálni e topologikus körön egy új vektormezőt, mely a peremen ugyanaz, ám csupán egy pontban lesz nulla. Ezzel visszavezettük a tételt a lemmára, amit már beláttunk. ?

7.6. Megjegyzés. 1. A most bebizonyított tétel speciális esete az ún. Poincaré–Hopf-tételnek, és tartalmazza a sündisznó-tételt speciális esetként. Ugyanis az A p felületet általában úgy definiálják, hogy az S 2 gömbből elhagynak p darab körlapot, s a kapott peremkörök mindegyikéhez egy lukas tóruszt ragasztanak. Így p = 0 esetén ez épp az S 2 .

2. A 2 - 2 p szám egy nevezetes karakterisztikája az A p felületnek, az ún. Euler karakterisztikája. Bárhogyan is készítjük el ezt a felületet sokszögekből (topologikus körlapokból) az oldalak páronkénti összevarrásával mindig teljesülni fog, hogy

(csúcsok száma) - (élek száma) + (lapok száma) = 2 - 2 p .

Ennek p = 0 esetét, az ún. Euler poliéder-tételt már nyilván jól ismeri az olvasó.

3. Többször szerepelt az a kitétel, hogy „ez algebrai topológiai eszközöket igényel.” Minden esetben ugyanarról volt szó, nevezetesen a vektormező körülfordulási számának általánosításáról magasabb dimenziókban. Erre az algebrai topológiában (legalább) háromféle eljárás létezik:

a) homológiák segítségével,

b) homotopikus csoportokkal

c) leképezés fokával.

Ezek megtalálhatók [1]-ben, illetve a (c) [2]-ben. [1] olvasása némi csoportelmélet és egy kevés általános topológia ismeretét feltételezi, [2] pedig többváltozós analízisét. [3] ismeretterjesztő, sok bizonyítást onnan vettünk át.



[33] Egy felület irányítását úgy lehet szemléletesen elképzelni, hogy minden pontja köré odarajzoltunk egy kis irányított kört, és e körök irányítása pontról pontra folytonosan változik. Irányíthatónak mondjuk a felület síkba terítését, ha ezen irányított körök a felületen pozitív körüljárású görbékbe mennek a síkon.