Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

Zavar a részecskegyorsítóban!

Zavar a részecskegyorsítóban!

A részecskegyorsító matematikai modellje legyen egy tömör tórusz, azaz az a test, amelyet a sík egy zárt D 2 körlapjának megforgatásával nyerünk egy a síkban fekvő, de a körlapot nem metsző egyenes körül. E forgatás során a körlap minden pontja egy-egy körpályát ír le. Ezek lesznek a részecskék pályái. Illetve csak lennének! Ugyanis valamely titokzatos, a tudomány által még fel nem derített okból az említett körpályák nagyon picit, de módosulnak,[31] úgyhogy a részecskék túlnyomó többsége nem zárt pályán fog mozogni. De természetesen minden részecske továbbra is a részecskegyorsítón, azaz a tóruszon belül fog mozogni.

A végrehajtandó kísérlet sikere azon áll vagy bukik, hogy lesz-e legalább egy részecske, mely egy zárt pályán fog periodikusan mozogni. Sikeres lesz-e a kísérlet? Válasz: Igen, Brouwer fixpont-tétele ezt garantálja. Miért?[32]

A Brouwer fixpont-tétel igaz tetszőleges dimenzióban. Legyen D n = { x ? R n | x ? 1 } azaz az n dimenziós térben az egységgolyó.

6.2. Tétel. Minden folytonos f : D n D n leképezésnek létezik fixpontja.

6.3. Következmény. A levest nem lehet teljesen megkeverni. Vagyis úgy, hogy egyetlen molekulája se maradjon helyben.

Bizonyítás. A térnek a leves által elfoglalt része topológiailag D 3 , a keverés pedig ennek egy folytonos leképezése. (Vigyázat! A levest merni nem szabad, az ugyanis nem adna folytonos leképezést.) ?

E tétel bizonyítása magasabb dimenzióban algebrai topológiai eszközöket igényel, mégpedig a vektormező körülfordulási számának analogonját. Vajon hogyan lehet például egy háromdimenziós térbeli vektormező körülfordulási számát definiálni? Sajnos erre itt már nem tudunk kitérni, de az olvasó elgondolkodhat azon, ő hogyan definiálná ezt. (Rhene Thom Fields-medálos matematikus mondta: „Mindig találunk stupid alakokat a tételeket bizonyítására.” Ezzel azt akarta hangsúlyozni, hogy számos esetben a jó fogalmak megtalálása a lényeges lépés. Pl. a jelen cikkben is az 5.4. definíció után a 2.3. feladat már lényegesen egyszerűbb. Hiszen a körülfordulási szám 2 ? -szerese definíció szerint az I ? elfordulási függvény értéke, midőn visszaérünk a kezdőpontba. Ha most az I ? ( t ) függvényhez hozzáadjuk a kiindulási v ( ? ( 0 ) ) vektor (egyik) argumentumát (azaz az x tengely pozitív irányával bezárt szögét), akkor minden t -re a v ( t ) vektor egyik argumentumát kapjuk. (Az argumentum csak modulo 2 ? van meghatározva.) Minthogy a kezdő- és végpontban a vektor ugyanaz, ezért ezen függvény értékeinek eltérése a kezdő- és végpontban 2 ? többszöröse. Ezzel megoldottuk a 2.3. feladatot.)



[31] Valószínűleg földönkívüliek állnak a dolog hátterében.

[32] Fontos, hogy a részecskék pályái egy zárt tömör tóruszt töltenek ki. Ha ennek felületén nem futhatnak a részecskék, s így egy nyílt tömör tóruszról van szó, akkor lehetséges, hogy nem lesz zárt pályája a megzavart rendszernek.