Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

6. Fixpont-tétel

6. Fixpont-tétel

A matematika sok területén használják az alábbi tételt, melynek egyszerű bizonyítása szintén a vektormező forgásán alapul.

6.1. Tétel. (Brouwer fixpont-tétele) Minden f : D 2 D 2 folytonos függvénynek van fixpontja, vagyis olyan x ? D 2 , melyre x = f ( x ) .

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy létezik olyan f : D 2 D 2 , melynek nincsen fixpontja. Ekkor tekinthetjük a sehol sem eltűnő v : D 2 R 2 - { 0 ¯ } vektormezőt, amelyet x ? f ( x ) - x definiál. Ezt a D 2 peremére megszorítva tehát egy 0 körülfordulási számú v vektormezőt kaptunk. Másrészt viszont látható, hogy v ( x ) és - x hajlásszöge minden x ? S 1 -re kisebb, mint ? / 2 . Tehát körülfordulási számuk megegyezik, ami ellentmondás, hiszen - x -é nyilván 1. ?

Lássunk ezen tételre is egy gyakorlati alkalmazást!