Szintén a körülfordulási
szám fogalmán alapszik a topológia egyik
– főleg kombinatorikában – gyakran
használt tételének bizonyítása
is.
5.1.
Tétel.
(Borsuk–Ulam-tétel) Minden
f
:
S
2
›
R
2
folytonos függvényre
létezik
x
?
S
2
, hogy
f
(
x
)
=
f
(
-
x
)
.
5.2. Következmény.
Legyen
f
és
g
két tetszőleges skalár
értékű fizikai mennyiség, pl. a
nyomás és a hőmérséklet. Ekkor
létezik minden pillanatban a Földön
két átellenes pont, melyekben e két
mennyiség megegyezik.
?
Bizonyítás.
Tegyük fel, hogy
f
olyan függvény, amelyre
f
(
x
)
≠
f
(
-
x
)
minden
x
?
S
2
-re. Legyen ekkor
Ez a
g
:
S
2
›
S
1
függvény tehát olyan,
hogy
g
(
-
x
)
=
-
g
(
x
)
. Nevezzük az ilyen
leképezéseket páratlanoknak. Azt fogjuk
belátni, hogy ilyen
g
nem létezik. Az
S
2
egy
egyenlítő-főkörére
g
-t megszorítva egy
v
:
S
1
›
S
1
?
R
2
-
{
0
¯
}
vektormezőt kapunk, mely
szintén páratlan (azaz
v
(
-
x
)
=
-
v
(
x
)
). Ez a
v
vektormező nyilvánvalóan
kiterjeszthető az egyenlítő által
határolt
D
2
körlapra. (Valóban, legyen
x
?
D
2
egy tetszőleges pontja e
körlapnak, és legyen
y
az északi félgömb
x
feletti pontja. Definiáljuk
v
(
x
)
-et, mint
g
(
y
)
.
) Tehát a
v
forgása az egyenlítőn
nulla.
Ám másrészről belátjuk,
hogy egy páratlan vektormező forgása sosem
nulla. Nevezetesen igaz a következő:
5.3. Lemma
Páratlan vektormező
körülfordulási száma
páratlan.
E lemma bizonyítása előtt be kell
vezetnünk a körülfordulási szám
egy általánosítását.
5.4. Definíció.
Legyen
?
:
[
a
,
b
]
›
R
2
egy síkgörbe, és legyen
megadva még egy
v
:
[
a
,
b
]
›
R
2
\
{
0
¯
}
nem nulla vektormező. (Úgy
képzeljük, hogy minden
t
?
[
a
,
b
]
-re a
?
(
t
)
pontba oda van állítva a
v
(
t
)
vektor.) A
v
vektormező
?
menti
elfordulásán
értsük a következő szöget:
Osszuk fel az
[
a
,
b
]
szakaszt a
0
=
t
1
//<//
t
2
//<//
?
//<//
t
n
=
b
osztópontokkal oly módon, hogy
minden
[
t
i
,
t
i
+
1
]
szakaszon a
v
vektormező bármely két
vektora
?
2
-nél kisebb szöget zárjon
be. Ekkor a
v
mező
?
-menti elfordulása
5.5. Megjegyzés.
Ha a
?
görbe zárt, akkor
I
?
(
v
)
éppen a
körülfordulási szám
2
?
-szerese. (Lásd a 2.2
definíciót.)
Bizonyítás.
(5.3. Lemma) Legyen
?
:
[
0
,
1
]
›
S
1
,
?
(
t
)
=
(
cos
2
?
t
,
sin
2
?
t
)
a körvonal
paraméterezése. Vegyük észre, hogy
minden
t
?
0
,
1
2
-re
?
(
t
)
és
?
t
+
1
2
egymással átellenes pontok a
körön. Így ha
v
egy páratlan vektormező a
körön, akkor
v
(
?
(
t
)
)
=
-
v
?
t
+
1
2
.
Legyen
I
t
a
v
elfordulása a
?
t
,
t
+
1
2
félkörön. Nem nehéz
belátni, hogy
I
t
folytonosan függ a
t
-től. Másrészt a
v
páratlansága miatt ez mindig
egy
2
k
?
+
?
alakú szög (ahol
k
egy egész szám). Tehát
konstans. A
v
körülfordulási száma
a körön =
1
2
?
(
I
0
+
I
1
2
)
=
1
2
?
2
I
0
=
1
2
?
·
2
I
0
=
(
2
k
+
1
)
.
?
Ezzel az 5.1. tétel
bizonyítását befejeztük.
?
Még egy gyakorlati alkalmazás:
5.6. Tétel.
(Sandwich-tétel)[]
Adott a térben 3
darab test, nevezzük őket
rendre kenyérnek, sonkának és sajtnak,
rövidítve
A
,
B
és
C
. E három test együtt
alkotja szendvicsünket, amelyet egyetlen
vágással akarunk megosztani partnerünkkel,
méghozzá oly módon, hogy
mindkettőnknek ugyanannyi jusson a szendvics
mindhárom összetevőjéből. A
Sandwich-tétel azt mondja ki, hogy ez az
igazságos osztozás mindig
végrehajtható egyetlen sík mentén
történő
szétvágással.
Bizonyítás.
Azt fogjuk feltételezni az
A
,
B
,
C
testek mindegyikéről, hogy
létezik térfogata, minden irányra
merőlegesen létezik egy és csak egy
sík, amely a térfogatát felezi, és e
síknak az origótól mért
távolsága folytonos függvénye az
iránynak, melyre a szóban forgó sík
merőleges.
Legyen
v
?
S
2
egy egységvektor
R
3
-ban és legyen
v
A
?
R
1
az a valós szám, amely a
v
-re merőleges
A
-t felező síknak az
origótól mért előjeles
távolsága. Itt pozitívnak vesszük ezt
a távolságot, ha ez a sík az
origótól a
v
irányában van és
negatív a
v
A
szám ha a felező sík a
v
-vel ellentétes irányban van
az origótól. Ily módon tehát
(
-
v
)
A
=
-
(
v
A
)
.
Hasonlóan definiáljuk a
v
B
és
v
C
függvényeket is.
Legyen
u
:
S
2
›
R
2
az a leképezés, melynek
két koordináta-függvénye
Ekkor
u
egy páratlan leképezés
S
2
-ről
R
2
-be, (azaz
u
(
-
v
)
=
-
u
(
v
)
). A Borsuk–Ulam-tétel
szerint létezik olyan
v
pont, melyben
u
(
v
)
=
u
(
-
v
)
. Ám ez
u
páratlansága miatt csak
úgy lehet, ha ezen
v
-re
u
(
v
)
=
0
¯
, azaz
u
1
(
v
)
=
0
és
u
2
(
v
)
=
0
.
Vagyis
v
A
=
v
B
=
v
C
. Ez viszont éppen azt jelenti,
hogy a
v
-re merőleges
A
-t,
B
-t, ill.
C
-t felező síkok egybeesnek.
Tehát találtunk egyetlen síkot, mely
mindhárom testet felezi.
?
5.7. Megjegyzés.
A magasabb dimenziós lények jóval gazdagabban
összeállított szendvicsek esetén is
tudnak egyetlen vágással osztozkodni.
Nevezetesen igaz a következő:
5.8. Tétel.
(
n
-dimenziós Sandwich-tétel)
Ha az
R
n
,
n
dimenziós térben adott
n
darab test (melyekről ugyanazon
kikötéseket tesszük, mint fent az
A
,
B
,
C
testekről), akkor létezik
olyan
n
-
1
dimenziós hipersík, amely
mindegyiknek felezi az
n
dimenziós
térfogatát.
Bizonyítás.
A bizonyítás hasonló a fentihez, csak
éppen a Borsuk–Ulam-tétel alábbi
n
dimenziós
általánosítását kell
használni:
5.9. Tétel.
(Borsuk–Ulam-tétel
n
dimenzióban)
Legyen
f
:
S
n
›
R
n
folytonos leképezés. Akkor
létezik olyan
x
?
S
n
, amelyre
f
(
x
)
=
f
(
-
x
)
.
Bizonyítás.
E tétel bizonyítása már algebrai
topológiai eszközöket igényel.
?