Szintén a körülfordulási szám fogalmán alapszik a topológia egyik – főleg kombinatorikában – gyakran használt tételének bizonyítása is.

5.1. Tétel. (Borsuk–Ulam-tétel) Minden f : S 2 › R 2 folytonos függvényre létezik x ? S 2 , hogy f ( x ) = f ( - x ) .

5.2. Következmény. Legyen f és g két tetszőleges skalár értékű fizikai mennyiség, pl. a nyomás és a hőmérséklet. Ekkor létezik minden pillanatban a Földön két átellenes pont, melyekben e két mennyiség megegyezik. ?

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f olyan függvény, amelyre f ( x ) ≠ f ( - x ) minden x ? S 2 -re. Legyen ekkor

g ( x ) = f ( x ) - f ( - x ) f ( x ) - f ( - x ) .

Ez a g : S 2 › S 1 függvény tehát olyan, hogy g ( - x ) = - g ( x ) . Nevezzük az ilyen leképezéseket páratlanoknak. Azt fogjuk belátni, hogy ilyen g nem létezik. Az S 2 egy egyenlítő-főkörére g -t megszorítva egy v : S 1 › S 1 ? R 2 - { 0 ¯ } vektormezőt kapunk, mely szintén páratlan (azaz v ( - x ) = - v ( x ) ). Ez a v vektormező nyilvánvalóan kiterjeszthető az egyenlítő által határolt D 2 körlapra. (Valóban, legyen x ? D 2 egy tetszőleges pontja e körlapnak, és legyen y az északi félgömb x feletti pontja. Definiáljuk v ( x ) -et, mint g ( y ) . ) Tehát a v forgása az egyenlítőn nulla.

Ám másrészről belátjuk, hogy egy páratlan vektormező forgása sosem nulla. Nevezetesen igaz a következő:

5.3. Lemma Páratlan vektormező körülfordulási száma páratlan.

E lemma bizonyítása előtt be kell vezetnünk a körülfordulási szám egy általánosítását.

5.4. Definíció. Legyen ? : [ a , b ] › R 2 egy síkgörbe, és legyen megadva még egy v : [ a , b ] › R 2 \ { 0 ¯ } nem nulla vektormező. (Úgy képzeljük, hogy minden t ? [ a , b ] -re a ? ( t ) pontba oda van állítva a v ( t ) vektor.) A v vektormező ? menti elfordulásán értsük a következő szöget:

Osszuk fel az [ a , b ] szakaszt a 0 = t 1 //<// t 2 //<// ? //<// t n = b osztópontokkal oly módon, hogy minden [ t i , t i + 1 ] szakaszon a v vektormező bármely két vektora ? 2 -nél kisebb szöget zárjon be. Ekkor a v mező ? -menti elfordulása

I ? ( v ) = ? i = 1 i = n - 1 ( v ( t i ) , v ( t i + 1 ) ) ? .

5.5. Megjegyzés. Ha a ? görbe zárt, akkor I ? ( v ) éppen a körülfordulási szám 2 ? -szerese. (Lásd a 2.2 definíciót.)

Bizonyítás. (5.3. Lemma) Legyen ? : [ 0 , 1 ] › S 1 , ? ( t ) = ( cos 2 ? t , sin 2 ? t ) a körvonal paraméterezése. Vegyük észre, hogy minden t ? 0 , 1 2 -re ? ( t ) és ? t + 1 2 egymással átellenes pontok a körön. Így ha v egy páratlan vektormező a körön, akkor v ( ? ( t ) ) = - v ? t + 1 2 . Legyen I t a v elfordulása a ? t , t + 1 2 félkörön. Nem nehéz belátni, hogy I t folytonosan függ a t -től. Másrészt a v páratlansága miatt ez mindig egy 2 k ? + ? alakú szög (ahol k egy egész szám). Tehát konstans. A v körülfordulási száma a körön = 1 2 ? ( I 0 + I 1 2 ) = 1 2 ? 2 I 0 = 1 2 ? · 2 I 0 = ( 2 k + 1 ) . ?

Ezzel az 5.1. tétel bizonyítását befejeztük. ?

Még egy gyakorlati alkalmazás:

5.6. Tétel. (Sandwich-tétel)^[30] Adott a térben 3 darab test, nevezzük őket rendre kenyérnek, sonkának és sajtnak, rövidítve A , B és C . E három test együtt alkotja szendvicsünket, amelyet egyetlen vágással akarunk megosztani partnerünkkel, méghozzá oly módon, hogy mindkettőnknek ugyanannyi jusson a szendvics mindhárom összetevőjéből. A Sandwich-tétel azt mondja ki, hogy ez az igazságos osztozás mindig végrehajtható egyetlen sík mentén történő szétvágással.

Bizonyítás. Azt fogjuk feltételezni az A , B , C testek mindegyikéről, hogy létezik térfogata, minden irányra merőlegesen létezik egy és csak egy sík, amely a térfogatát felezi, és e síknak az origótól mért távolsága folytonos függvénye az iránynak, melyre a szóban forgó sík merőleges.

Legyen v ? S 2 egy egységvektor R 3 -ban és legyen v A ? R 1 az a valós szám, amely a v -re merőleges A -t felező síknak az origótól mért előjeles távolsága. Itt pozitívnak vesszük ezt a távolságot, ha ez a sík az origótól a v irányában van és negatív a v A szám ha a felező sík a v -vel ellentétes irányban van az origótól. Ily módon tehát ( - v ) A = - ( v A ) . Hasonlóan definiáljuk a v B és v C függvényeket is.

Legyen u : S 2 › R 2 az a leképezés, melynek két koordináta-függvénye

u 1 ( v ) = v A - v C , és u 2 ( v ) = v B - v C .

Ekkor u egy páratlan leképezés S 2 -ről R 2 -be, (azaz u ( - v ) = - u ( v ) ). A Borsuk–Ulam-tétel szerint létezik olyan v pont, melyben u ( v ) = u ( - v ) . Ám ez u páratlansága miatt csak úgy lehet, ha ezen v -re u ( v ) = 0 ¯ , azaz u 1 ( v ) = 0 és u 2 ( v ) = 0 . Vagyis v A = v B = v C . Ez viszont éppen azt jelenti, hogy a v -re merőleges A -t, B -t, ill. C -t felező síkok egybeesnek. Tehát találtunk egyetlen síkot, mely mindhárom testet felezi. ?

5.7. Megjegyzés. A magasabb dimenziós lények jóval gazdagabban összeállított szendvicsek esetén is tudnak egyetlen vágással osztozkodni. Nevezetesen igaz a következő:

5.8. Tétel. ( n -dimenziós Sandwich-tétel) Ha az R n , n dimenziós térben adott n darab test (melyekről ugyanazon kikötéseket tesszük, mint fent az A , B , C testekről), akkor létezik olyan n - 1 dimenziós hipersík, amely mindegyiknek felezi az n dimenziós térfogatát.

Bizonyítás. A bizonyítás hasonló a fentihez, csak éppen a Borsuk–Ulam-tétel alábbi n dimenziós általánosítását kell használni:

5.9. Tétel. (Borsuk–Ulam-tétel n dimenzióban) Legyen f : S n › R n folytonos leképezés. Akkor létezik olyan x ? S n , amelyre f ( x ) = f ( - x ) .

Bizonyítás. E tétel bizonyítása már algebrai topológiai eszközöket igényel. ?