Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

4. Az algebra alaptétele

4. Az algebra alaptétele

A körülfordulási szám fogalma segítségével egyszerűen bizonyítható a matematika egyik legfontosabb tétele:

4.1. Tétel. (Az Algebra Alaptétele) Minden p ( z ) = z n + a n - 1 z n - 1 + + a 1 z + a 0 polinomnak van komplex gyöke.

Bizonyítás. Legyen q ( z ) = p ( z ) - z n polinom. Mivel z n magasabb fokú, mint q , így létezik egy olyan nagy R szám, hogy az R -nél nagyobb(egyenlő) abszolút értékű komplex számokon | z n | //>// | q ( z ) | (például R //>// max { 1 , ? i = 0 n - 1 a i } megfelel). Legyen az R sugarú körön v 1 ( z ) = z n , v 2 ( z ) = p ( z ) két vektormező. Az első sehol sem 0, és a második is sehol sem 0, hiszen | z n | //>// | q ( z ) | teljesül.

4.2. Feladat. Felhasználva, hogy | z n | //>// | q ( z ) | , bizonyítsuk be, hogy v 1 ( z ) és v 2 ( z ) szöge minden z ? S 1 -re kisebb, mint ? / 2 .

Tehát v 1 és v 2 körülfordulási száma egyenlő. Mivel v 1 körülfordulási száma n , ezért v 2 körülfordulási száma is n ? 0 , tehát nem terjedhet ki a D 2 = { z ? C | z ? R } körlapra sehol sem 0 vektormezőként. Vagyis ezen a körlapon van gyöke p -nek. ?

Kérdés: Igaz-e az Algebra Alaptétele a kvaterniók körében?

(Emlékeztető: Kvaternióknak nevezzük az a + b i + c j + d k alakú „számokat”, ahol a , b , c , d valós számok az i , j , k pedig képzetes számok, azaz i 2 = j 2 = k 2 = - 1 és i j = - j i = k , j k = - k j = i , k i = - i k = j . )

Válasz: Igen, igaz, ha „kvaternió-polinomon” is az Algebra Alaptételében megadott alakú kifejezést értünk. Minden ilyen kvaternió-polinomnak van gyöke.

Az azonban nem igaz, hogy egy n fokú kvaternió polinomnak pontosan n gyöke van (multiplicitással számolva). Ugyanis pl. a q 2 = 1 polinomnak megoldása minden olyan q = b i + c j + d k , ahol b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Tehát a megoldások egy egész S 2 gömböt tesznek ki. Az, hogy minden nem konstans kvaterniópolinomnak van gyöke, algebrai topológiai eszközökkel bizonyítható.

Tovább bonyolítja a helyzetet, hogy a kvaterniók szorzása nem kommutatív, így joggal pályázhatnak a „polinom” névre olyan kifejezések is, amelyekben több, egymással össze nem vonható, azonos fokszámú tag van, mint pl. z 2 a 1 + z a 2 z + a 3 z 2 . Az ilyen, általánosabb értelmű kvaternió polinomok körében már az Algebra Alaptétele sem igaz: az i · z - z · i = 1 lineáris egyenletnek például nincsen gyöke a kvaterniók között.[29]



[29] Köszönet Frenkel Péternek ezért az egyszerű ellenpéldáért.