Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

3. A sündisznó-tétel

3. A sündisznó-tétel

Nem nehéz belátni a következő lemmát.

3.1. Lemma. Legyen a v 1 és v 2 : S 1 R 2 - { 0 ¯ } vektormezők körülfordulási száma 0, és legyen u egy olyan S 1 R 2 - { 0 ¯ } vektormező, melyre u ( x ) felezi v 1 ( x ) és v 2 ( x ) szögét minden x ? S 1 -re. Ekkor u körülfordulási száma is 0. ?

Ezen lemmákból már könnyen megkapható a következő – ún. sündisznó-tétel – bizonyítása

3.2. Tétel. (Sündisznó-tétel)[27] Az S 2 gömbfelületen nem létezik sehol sem nulla érintő vektormező.

Bizonyítás. Indirekte tegyük fel, hogy v ilyen vektormező. Vetítsük a „déli féltekét” az É „északi sarkból” az „egyenlítő” síkjára, vagyis a déli félgömb egy x pontjához rendeljük az egyenlítő síkjának és az É x szakasznak a metszéspontját, legyen ez a vetítés p . Vetítsük továbbá a déli félteke pontjaihoz rendelt vektorokat (mindegyiket az adott érintősíkba képzelve) szintén az egyenlítő síkjára a következő módon: Az x ? S 2 pontbeli v ( x ) vektornak az a p ( v ( x ) ) vektor feleljen meg, mely p ( x ) -et köti össze az egyenlítő síkjának és az É x szakasz v ( x ) menti eltoltjának metszetével. Vegyük észre, hogy p ( v ( x ) ) nem lehet 0-vektor. Az északi féltekén is definiálunk egy q függvényt – ott a déli sarkból való hasonló vetítés által.

4. ábra.

Tekintsük az egyenlítőt. Ott kaptunk két sehol sem 0 vektormezőt: p ( v ( x ) ) -et és q ( v ( x ) ) -et, ahol x ? S 1 = egyenlítő. Mindkettő körülfordulási száma 0, hiszen kiterjeszthetők az egyenlítő által határolt körlapra (ld. fenti lemma).

3.3. Feladat. Lássuk be, hogy az egyenlítő x pontjában kapott vektorok, p ( v ( x ) ) és q ( v ( x ) ) szimmetrikusak az egyenlítő x -beli érintőjére.

Bizonyítás. Egyszerű térgeometria. ?

A feladatból és az előző lemmából következik, hogy az egyenlítőkör menti, ezen kör érintőiből álló vektormezőnek is nulla a körülfordulása. Márpedig ennek nyilván ± 1 (körüljárási iránytól függő előjellel). A kapott ellentmondás bizonyítja, hogy az S 2 gömbön nem létezik folytonos, sehol sem nulla érintővektormező. ?

3.4. Következmény. Mindig létezik a Földön olyan pont, ahol nem fúj a szél. (Ez persze lehet, hogy épp egy tornádó középpontja.)

Valóban, a szél a Föld minden pontjában definiál egy érintő vektormezőt. Fizikai megfontolásokból feltesszük, hogy ez a vektormező folytonos. Az előző tétel szerint egy ilyen vektormező nem lehet minden pontban nem nulla.

Térjünk vissza szépítkezni akaró sündisznónkhoz. Vajon hogyan tudnánk segíteni szegényen, hogy meg tudjon fésülködni? Egy lehetőség az, hogy átszúrjuk – persze kizárólag segítő szándékkal. (Matematikai modellünkön ez úgy jelenik meg, hogy a sündisznót jelképező tömör golyót átfúrjuk, azaz kihagyjuk belőle egyik átmérőjének egy kis ? -környezetét, majd a kapott lukas golyó éleit lekerekítjük.) Ugyanis az átszúrt sündisznó felülete topológiailag a tóruszfelület[28] (úszógumi). Ezen könnyen meg lehet konstruálni érintő vektormezőt, méghozzá végtelen sok lényegesen különböző módon. (Vajon mit jelent az, hogy lényegesen különböző?)

Ám vigyázzunk, nehogy magával ragadjon minket a segíteni akarás vágya! Ha ugyanis egynél több lyukat fúrunk szegény sününkbe, akkor már újra csak nem fog tudni megfésülködni. Ekkor a felülete egy többszemélyes úszógumi alakját ölti, ezen pedig ismét csak nem létezik sehol sem nulla érintővektormező. Ennek bizonyítása nem könnyű, e cikk végén vázolunk rá egy bizonyítást.

A segítségnyújtásnak egy másik, kevésbé szadista módja, ha megnöveljük szeretett sündisznónk dimenzióját. Ha ugyanis nem a háromdimenziós térben tekintjük az S 2 gömbfelületet, hanem a négydimenziósban az S 3 gömbfelületet, akkor ezen már nem nehéz megadni érintőmezőt. Ugyanis az x ¯ = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ? S 3 pontban a v ¯ = ( v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) vektor érintővektor lesz (miután a kezdőpontját az x ¯ végpontjába toltuk), hogyha merőleges rá, azaz ( x ¯ , v ¯ ) = ? x i · v i = 0 . Ilyen v ¯ nem nulla vektort pedig könnyű megadni, pl. v ¯ = ( - x 2 , x 1 , - x 4 , x 3 ) . (Ez nyilván folytonosan függ az x ¯ -től.)

Vajon mi történik, ha tovább növeljük a gömb dimenzióját? Talán már sejti a választ az olvasó: Minden páros n -re az R n -beli S n - 1 gömbön létezik érintővektormező, míg páratlan n -ekre nem létezik. Ezen állítás első fele ugyanúgy bizonyítható, mint ahogy azt n = 4 -re tettük. A második fele algebrai topológiai eszközöket igényel.

Az olvasóra bízzuk annak belátását, hogy a négydimenziós térben a négydimenziós sündisznó felülete (vagyis S 3 ) még akkor is megfésülhető, hogyha felületének minden pontjában három darab tüskéje nő, és ezeket úgy kell elrendezni, hogy minden pontban a három tüske páronként merőleges legyen és érintse a sündisznó felületét (azaz az S 3 háromdimenziós érintőterében feküdjenek.).

(Sokáig nem tudták a topológusok, hogy vajon mely n egészekre lehetséges az R n térbeli S n - 1 gömbfelületen n - 1 darab, minden pontban lineárisan független érintőmezőt megadni. Ma már tudjuk, hogy ez csak n = 2 , 4 és 8 esetén lehetséges. Az is ismeretes, minden n -re, hogy pontosan hány lineárisan független érintő vektormező adható meg az S n - 1 gömbön. Íme a válasz, amit Frank Adams kiváló angol matematikus talált meg 1963-ban: Írjuk fel az n számot 2 k · m alakban, ahol m páratlan, majd a k számot írjuk fel 4 a + b alakban, ahol 0 ? b ? 3 . Akkor a vektormezők száma 2 b + 8 a - 1 . )



[27] Nem ritka a matematikában, hogy egy tétel nem a szerzőjéről van elnevezve. Valószínűleg itt is ez a helyzet.

[28] Két alakzatot topológiailag azonosnak tekintünk, ha abszolút nyúlékony, ámde eltéphetetlen (és ragaszthatatlan) anyagból elkészítve őket egymásba alakíthatók. Pl. a körlap és a háromszöglap topológiailag azonosak.