Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

2. A fésülködés tudományának alapfogalmai

2. A fésülködés tudományának alapfogalmai

2.1. Definíció. Legyen A ? R n . Az A -n értelmezett vektormezőnek nevezünk egy A R n folytonos függvényt.

Szemlétesen úgy foghatunk fel egy ilyen vektormezőt, hogy az A minden pontjába oda van helyezve egy onnan kiinduló vektor. (Például legyen A egy folyó medre. Egy adott pillanatban tekinthetjük minden pontban a víz áramlásának sebességvektorát. Ez egy vektormező az A -n.)

Minden x ? R n vektorra x fogja jelölni e vektor hosszát. Tekintsük az S 1 = { x ? R 2 | x = 1 } körvonalat, és ezen egy v : S 1 R 2 vektormezőt, amelyik sehol sem 0 ¯ . Tekintsük minden pillanatban (azaz a kör minden pontjában) ezen vektornak a vízszintessel bezárt szögét. Úgy tűnik, hogy ez a szög folytonosan függ a körvonal pontjától, hiszen a körvonal egymáshoz közeli pontjaiban a vektorok egymással közel nulla szöget zárnak be és így a vízszintessel közel egyenlő szögeket zárnak be. Meglepő módon ez mégsem igaz. Gondoljunk például a kör érintő vektoraiból álló vektormezőre. Legyen a kiindulási pontban ez függőlegesen felfelé irányuló, azaz a vízszintessel bezárt szög ? 2 . Ha pozitív körüljárás szerint körbemegyünk a körön, akkor a vízszintessel bezárt szög folytonosan nő, s mikor visszaérünk a kiindulási pontba az értéke 2 ? -vel nagyobb lesz, vagyis 2 ? + ? 2 lesz.

2. ábra.

Hasonló jelenség lép fel minden más vektormezőre is az S 1 körvonalon. A vízszintessel bezárt szög folytonosan változik[26] Ekkor 2 ? · k -val ugrik, ahol k egy egész szám. Ezt a k -t nevezzük az adott vektormező körülfordulási számának.

Egy másik lehetséges leírását adja ugyanezen körülfordulási számnak az alábbi definíció.

Legyenek az x 1 , x 2 , , x n pontok a körön olyan sűrűn, hogy az x i és x i + 1 által meghatározott (rövidebbik) ív bármely két pontjához rendelt vektorok szöge legyen kisebb ? / 2 -nél.

2.2. Definíció. A v : S 1 R 2 - { 0 ¯ } vektormező körülfordulási számának vagy forgásának mondjuk a következő kifejezés értékét:

k v = ? i = 1 n ( v ( x i ) , v ( x i + 1 ) ) ? 2 ? .

Itt x n + 1 = x 1 .

2.3. Feladat. (a) Ez a definíció korrekt, azaz a k v értéke független az x i pontok választásától (és számától), amennyiben azok elegendően sűrűn vannak választva.

(b) A körülfordulási szám értéke egész szám.

2.4. Példa. A könnyebb megadás kedvéért képzeljük a kört a komplex számsík egységkörének. Ekkor a v ( z ) = z és a v ( z ) = i z vektormezők körülfordulási száma 1. A v ( z ) = z 2 vektormező körülfordulási száma 2, és általában a v ( z ) = z n vektormezőé n .

3. ábra.

2.5. Lemma. Legyenek a v 0 és v 1 : S 1 R 2 - { 0 ¯ } vektormezők olyanok, hogy tetszőleges x ? S 1 -re v 0 ( x ) és v 1 ( x ) által bezárt szög legfeljebb ? / 2 . Ekkor v 0 és v 1 körülfordulási száma megegyezik.

Bizonyítás. Legyen t ? [ 0 , 1 ] és legyen v t = t v 1 + ( 1 - t ) v 0 . Ekkor v t egy sehol sem nulla vektormező. Legyen k t a v t vektormező körülfordulási száma. Ez a t -nek folytonos függvénye. Másrészt egészértékű, tehát konstans. ?

2.6. Lemma. A D 2 körlemezen értelmezett sehol sem nulla vektormező a körlemez határán 0 körülfordulási számú vektormezőt határoz meg.

Bizonyítás. Legyen k ( r ) ( 0 //<// r ? 1 ) az origó körüli r sugarú körre való megszorítás körülfordulási száma. (Nyilván tetszőleges sugarú körre értelmezhető a körülfordulási szám.)

Az előző lemmából következik, hogy k ( r ) nem változik, ha r egy adott érték kis környezetében változik. Másrészt, elég kis r -re k ( r ) = 0 , hiszen a v vektormező közel állandó az r sugarú körön ( ? v ( 0 ¯ ) ). Így k ( r ) függvény minden 0 //<// r ? 1 -re nulla. Speciálisan k ( 1 ) = 0 . Ezt akartuk belátni. ?



[26] A vízszintessel bezárt szög nem egyértelmű, de modulo 2 ? egyértelmű. Pontosabb lenne tehát azt mondani, hogy e szöget folytonosan tudjuk kiválasztani a lehetséges értékek közül mindaddig, míg vissza nem érünk a kezdőpontba. egészen addig, míg vissza nem érünk a kezdőpontba.