2.
A
fésülködés tudományának
alapfogalmai
2.1. Definíció.
Legyen 
A
?
R
n
. Az
A
-n értelmezett
vektormezőnek
nevezünk egy 
A
›
R
n
folytonos függvényt.
Szemlétesen úgy foghatunk fel egy ilyen
vektormezőt, hogy az
A
minden pontjába oda van helyezve
egy onnan kiinduló vektor. (Például legyen
A
egy folyó medre. Egy adott
pillanatban tekinthetjük minden pontban a víz
áramlásának sebességvektorát. Ez
egy vektormező az
A
-n.)
Minden
x
?
R
n
vektorra
x
fogja jelölni e vektor
hosszát. Tekintsük az
S
1
=
{
x
?
R
2
|
x
=
1
}
körvonalat, és ezen egy
v
:
S
1
›
R
2
vektormezőt, amelyik sehol sem
0
¯
. Tekintsük minden pillanatban
(azaz a kör minden pontjában) ezen vektornak a
vízszintessel bezárt szögét. Úgy
tűnik, hogy ez a szög folytonosan függ a
körvonal pontjától, hiszen a körvonal
egymáshoz közeli pontjaiban a vektorok
egymással közel nulla szöget zárnak
be és így a vízszintessel közel
egyenlő szögeket zárnak be. Meglepő
módon ez mégsem igaz. Gondoljunk
például a kör érintő
vektoraiból álló vektormezőre. Legyen
a kiindulási pontban ez függőlegesen
felfelé irányuló, azaz a
vízszintessel bezárt szög
?
2
. Ha pozitív
körüljárás szerint
körbemegyünk a körön, akkor a
vízszintessel bezárt szög folytonosan
nő, s mikor visszaérünk a kiindulási
pontba az értéke
2
?
-vel nagyobb lesz, vagyis
2
?
+
?
2
lesz.
Hasonló jelenség lép fel minden
más vektormezőre is az
S
1
körvonalon. A vízszintessel
bezárt szög folytonosan változik[] Ekkor
2
?
·
k
-val ugrik, ahol
k
egy egész szám. Ezt a
k
-t nevezzük az adott
vektormező körülfordulási
számának.
Egy másik lehetséges
leírását adja ugyanezen
körülfordulási számnak az alábbi
definíció.
Legyenek az
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
pontok a körön olyan
sűrűn, hogy az
x
i
és
x
i
+
1
által meghatározott
(rövidebbik) ív bármely két
pontjához rendelt vektorok szöge legyen kisebb
?
/
2
-nél.
2.2. Definíció.
A 
v
:
S
1
›
R
2
-
{
0
¯
}
vektormező
körülfordulási
számának
vagy
forgásának
mondjuk a következő kifejezés
értékét:
Itt
x
n
+
1
=
x
1
.
2.3. Feladat.
(a) Ez a definíció korrekt, azaz a
k
v
értéke független az
x
i
pontok választásától
(és számától), amennyiben azok
elegendően sűrűn vannak
választva.
(b) A körülfordulási szám
értéke
egész
szám.
2.4. Példa.
A könnyebb megadás
kedvéért képzeljük a kört a
komplex számsík egységkörének.
Ekkor a
v
(
z
)
=
z
és a
v
(
z
)
=
i
z
vektormezők
körülfordulási száma 1. A
v
(
z
)
=
z
2
vektormező
körülfordulási száma 2, és
általában a
v
(
z
)
=
z
n
vektormezőé
n
.
2.5. Lemma.
Legyenek a
v
0
és
v
1
:
S
1
›
R
2
-
{
0
¯
}
vektormezők olyanok, hogy
tetszőleges
x
?
S
1
-re
v
0
(
x
)
és
v
1
(
x
)
által bezárt szög
legfeljebb
?
/
2
. Ekkor
v
0
és
v
1
körülfordulási száma
megegyezik.
Bizonyítás.
Legyen 
t
?
[
0
,
1
]
és legyen
v
t
=
t
v
1
+
(
1
-
t
)
v
0
.
Ekkor
v
t
egy sehol sem nulla vektormező.
Legyen
k
t
a
v
t
vektormező
körülfordulási száma. Ez a
t
-nek folytonos függvénye.
Másrészt egészértékű,
tehát konstans.
?
2.6. Lemma.
A 
D
2
körlemezen értelmezett sehol
sem nulla vektormező a körlemez
határán 0 körülfordulási
számú vektormezőt határoz meg.
Bizonyítás.
Legyen 
k
(
r
)
(
0
//<//
r
?
1
)
az origó körüli
r
sugarú körre való
megszorítás körülfordulási
száma. (Nyilván tetszőleges sugarú
körre értelmezhető a
körülfordulási szám.)
Az előző lemmából
következik, hogy
k
(
r
)
nem változik, ha
r
egy adott érték kis
környezetében változik.
Másrészt, elég kis
r
-re
k
(
r
)
=
0
, hiszen a
v
vektormező közel
állandó az
r
sugarú körön (
?
v
(
0
¯
)
). Így
k
(
r
)
függvény minden
0
//<//
r
?
1
-re nulla. Speciálisan
k
(
1
)
=
0
.
Ezt akartuk belátni.
?
