Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

A sündisznó megfésülése és egyéb gyakorlati problémák

A sündisznó megfésülése és egyéb gyakorlati problémák

Szűcs, András


1. Bevezető

Elsőként a címben említett fontos gyakorlati problémát vizsgáljuk meg, hogy ti. meg lehet-e fésülni egy sündisznót? Vagyis rá lehet-e simítani az összegömbölyödött sündisznó felületére a tüskéit úgy, hogy sehol se keletkezzen „forgója”, azaz e lesimított tüskék folytonosan változzanak pontról pontra.

A valós probléma kísérleti megoldása helyett adjunk matematikai modellt problémánkra. Jelöljük S 2 -vel a gömbfelületet, vagyis a következő halmazt:

S 2 = { x | x ? R 3 , x = 1 } .

A gömbfelület minden pontjából induljon ki egy egységvektor – méghozzá követeljük meg, hogy minden ilyen vektor legyen a kezdőpontjában S 2 -höz fektetett érintősíkban. Ezen érintővektorok folytonosan függjenek az érintési ponttól.

Világos, hogy még egyszerűbben is megfogalmazhatjuk a feladatot a következőképpen: létezik-e egy v folytonos leképezés S 2 -ből S 2 -be, melyre igaz, hogy minden x ? S 2 -re x merőleges v ( x ) -re.

Most, hogy megfogalmaztuk tisztán matematikailag a problémát, felvetődik a kérdés egy természetes általánosítása. Vajon meg lehet-e fésülni az úszógumi, ill. a kétszemélyes úszógumi alakú sündisznót? (Ld. az ábrát.) Ezek matematikai neve tórusz, ill. „kengyelfelület”.

1. ábra. Kétszemélyes úszógumi (kengyelfelület)

Pontosabb leírásuk a következő: Forgassunk meg egy körvonalat egy, a síkjában fekvő, de őt nem metsző egyenes körül. A kapott forgásfelület a tórusz[25].

Tekintsünk két diszjunkt tóruszt és mindkettőből hagyjuk el egy pontjának kis környezetét. A kapott lukas tóruszokat kössük össze egy hengerrel, melynek két peremköre éppen a tóruszokon képződött peremgörbékhez ragad. Végül a peremgörbéknél képződött sarkokat kerekítsük le, hogy egy sima felületet kapjunk. Ez a kengyelfelület.

Vezessünk be néhány fogalmat, melyek a válaszok megadásában lesznek segítségünkre.



[25] Lásd Csikós Balázs cikkének első ábráját.