Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

5. A gömbi izoperimetrikus egyenlőtlenség bizonyítása

5. A gömbi izoperimetrikus egyenlőtlenség bizonyítása

5.1. Célunk a tetszőlegesen adott L gömbi konvex lemez t területére és k kerületére 2.4.-ben kimondott

t ( 4 ? - t ) ? k 2

egyenlőtlenség bizonyítása. Ezt az egyenlőtlenséget átrendezéssel a

4 ? 2 - 4 ? t + t 2 + k 2 ? 4 ? 2 , azaz ( 2 ? - t ) 2 + k 2 ? 4 ? 2

alakba írhatjuk. Felhasználva a 3.4.-ben nyert t + k * = 2 ? összefüggést, megállapíthatjuk, hogy a

( k * ) 2 + k 2 ? 4 ? 2

(7)

egyenlőtlenséget kell bizonyítanunk. Vessük ezt össze a 4.4.-ben megtalált (6) képlettel. Ahhoz, hogy kapcsolatot találjunk (6) és (7) között, használjuk föl az alábbi jól ismert egyenlőtlenséget, mely szerint tetszőleges x , y , u és v valós számokra

( x u + y v ) 2 ? ( x 2 + y 2 ) ( u 2 + v 2 )

(8)

teljesül. (Ez egyébként az ún. Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség speciális esete, amelyet az olvasó közvetlen számolással maga is könnyűszerrel igazolhat.)

A (8) egyenlőtlenséget x = k * , y = k , u = sin ? , v = cos ? szereposztással alkalmazva és felhasználva, hogy sin 2 ? + cos 2 ? = 1 , (6)-ból azt az összefüggést nyerjük, hogy a

k ? 2 ? ( k * ) 2 + k 2

egyenlőtlenség minden 0 és ? / 2 közötti ? szám esetén fennáll.

5.2. A (7) egyenlőtlenség bizonyításához tehát elegendő egyetlen olyan ? ? [ 0 , ? / 2 ] számot találnunk, amelyet az adott L gömbi konvex lemez L ? paralleltartománya sugarául választva L ? kerülete legalább 2 ? -nek adódik.

Képzeljük el, hogy a ? sugarat folytonosan növeljük 0-tól ? / 2 -ig. Ennek során az L ? idom határvonala az L határával egybeeső kiinduló helyzetből folytonos mozgással átkerül az L * duális gömbi konvex lemez határával egybeeső véghelyzetbe. Szemléletünk azt sugallja, hogy ahhoz, hogy a zárt görbe folytonos mozgással (úgy, hogy közben mindvégig zárt görbe marad) átkerüljön a gömb „túlsó” oldalára, valamilyen közbülső helyzetben biztosan hosszabbra kell, hogy nyúljon, mint a gömb egyenlítője, azaz 2 ? .

Ennek a szemléletes ténynek a bizonyításához nyújt segítséget az, hogy 2.3.-ban megállapítottuk: a 2 ? -nél rövidebb gömbi zárt görbék félgömbnél kisebbek. Tekintsük ugyanis az L ? idomok határgörbéit. A kiinduló helyzetben a görbe L -et tartalmazó oldalának területe 2 ? -nél, a félgömb felszínénél kisebb (hiszen ekkor ez maga L ), míg a végső helyzetben 2 ? -nél nagyobb, hiszen komplementere, az L * halmaz is félgömbnél kisebb. Ezért valamilyen közbülső pillanatban az L ? halmaz határgörbéje éppen felezi a gömb felszínét. Ebben a pillanatban viszont nyilván lehetetlen, hogy ez a görbe félgömbnél kisebb legyen. Így a hossza sem lehet 2 ? -nél kisebb, mert akkor ellentmondana a fent idézett megállapításnak. (Bár nincs rá tényleges szükség, a 4.3. végén ismertetett képlet felhasználásával a kérdéses ? -érték meg is határozható: ? = arc tg ( k * / k ) .)

Ezzel a (7) egyenlőtlenséget beláttuk, és ez az előrebocsátottak figyelembevételével azt jelenti, hogy a gömbi izoperimetrikus egyenlőtlenség bizonyítását befejeztük.