Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

4. Paralleltartományok

4. Paralleltartományok

4.1. Síkbeli (és persze térbeli, sőt, magasabb dimenziós) konvex idomok vizsgálatához hasznos segédeszközt nyújtanak ezek ún. paralleltartományai. Ha K tetszőleges síkbeli halmaz és ? tetszőleges pozitív szám, akkor a K halmaz ? sugarú paralleltartományát, a K ? halmazt úgy értelmezzük, mint az összes K -beli középpontú, ? sugarú zárt körlemez egyesítését.

11. ábra.

Az érdeklődő olvasó könnyedén igazolhatja, hogy konvex K esetén K ? is konvex, valamint maga is felderítheti, milyen összefüggések állnak fenn K és K ? területe, illetve kerülete között, ha K konvex sokszög. (Az olvasó arra is fölfigyelhet, hogy ezek az összefüggések érvényüket vesztik, ha elejtjük a konvexitás feltételét.)

4.2. Átültetjük a paralleltartományok definícióját a gömbfelületre. Legyen adott az L gömbi konvex lemez és a ? pozitív szám, melyre ? ? ? / 2 teljesül. Most is definiáljuk az L gömbi konvex lemez ? sugarú paralleltartományát, L ? -t, mint az összes L -beli középpontú, ? sugarú zárt gömbi körlap egyesítését. Érdemes ezt a definíciót még azzal a ? = 0 esetre vonatkozó megállapodással kiegészíteni, hogy 0 sugarú paralleltartománynak magát az L halmazt tekintjük.

Megjegyezzük, hogy (a síkbeli esettel ellentétben) a gömbi konvex lemezek paralleltartományai általában nem konvexek. (Sőt, amint erről az olvasó könnyen meggyőződhet, egy gömbi konvex sokszög esetében például semmilyen pozitív sugarú paralleltartomány sem konvex.) Arra is érdemes fölfigyelni, hogy a 3.2. pontbeli „sapkás” észrevétel fényében az L gömbi konvex lemez L * duálisa éppen az L ? / 2 paralleltartomány komplementere (a határvonal hovatartozásától eltekintve).

4.3. Gömbi konvex sokszögek paralleltartományainak szerkezetét, majd ezek kerületét vizsgáljuk.

12. ábra.

Legyen adott az S gömbi konvex n -szög, továbbá a ? ? ( 0 , ? / 2 ] szám. Indítsunk S mindegyik csúcsából az oda befutó mindkét oldalra merőlegesen kifelé egy-egy ? hosszúságú gömbi szakaszt. Ezzel az S ? paralleltartomány S -en kívül eső részét feldaraboltuk n darab gömbi körcikkre és n darab gömböv-cikkre. Az i -edik csúcsnál keletkező gömbi körcikk középponti szöge ? - ? i , ahol ? i az S sokszög szöge az i -edik csúcsban, továbbá a j -edik oldal mentén keletkező gömböv-cikk középponti szöge egyenlő b j -vel, a sokszög j -edik oldalával.

Az S ? paralleltartomány határvonala a körcikkek és a gömböv-cikkek azon határ-köríveiből áll, amelyek nem főkörívek. Ezen körívek („légvonalban” mért) sugara a körcikkek esetében sin ? , míg a gömböv-cikkek esetében cos ? . Ívhosszaik tehát ( ? - ? i ) sin ? , illetve b j cos ? . Ezt felhasználva az S ? paralleltartomány k ? kerületét ezek összegeként így határozhatjuk meg:

k ? = ( ? - ? 1 ) sin ? + + ( ? - ? n ) sin ? + b 1 cos ? + + b n cos ? = = ( a 1 * + + a n * ) sin ? + ( b 1 + + b n ) cos ? = = k * sin ? + k cos ? ,

ahol a * -gal jelölt adatok a duális gömbi konvex sokszögre vonatkoznak (ld. 3.3.). Ez a képlet nyilván érvényben van a (mindeddig kizárt) ? = 0 esetben is.

A ? sugarú gömbi paralleltartományok 4.2.-beli definíciója akkor is értelemmel bír, ha ? nagyobb ? / 2 -nél, viszont ilyenkor a körcikkekre és gömböv-cikkekre való felbontás, és az ennek segítségével nyert kerület-képlet nem marad érvényben: a körcikkek között átfedések lépnek fel. (Tulajdonképpen már ? = ? / 2 esetén a szóban forgó körcikkek és gömböv-cikkek gömbháromszögekké válnak, de ez a kerület kiszámítását ekkor még nem befolyásolja.) Ezért eleve kikötöttük, hogy csak legfeljebb ? / 2 sugarú gömbi paralleltartományokkal foglalkozunk.

Megjegyezzük, hogy ugyanilyen módszerrel S ? területére vonatkozóan is hasonlóan egyszerű kifejezés nyerhető: az olvasó ellenőrizheti, hogy 0 ? ? ? ? / 2 esetén t ? = 2 ? + k sin ? - k * cos ? .

4.4. Az imént nyert információt a 3.4.-ben megismert módszerrel ki tudjuk terjeszteni tetszőleges gömbi konvex lemezek esetére. Legyen ugyanis L gömbi konvex lemez és ? ? [ 0 , ? / 2 ] tetszőleges szám. Válasszunk L -hez tartó S n sokszögsorozatot úgy, ahogy azt 3.4-ben tettük. Ekkor a paralleltartományok ( S n ) ? sorozata az L ? paralleltartományhoz fog tartani, és ugyanez érvényes lesz duálisaikra is. Emiatt a kerületekre felírt ( k n ) ? = k n * sin ? + k n cos ? képlet a benne szereplő sorozatok határértékeire is fennáll. Ezzel tetszőleges gömbi konvex lemez ? sugarú paralleltartományának kerületére megkaptuk a

k ? = k * sin ? + k cos ?

(6)

képletet, amely kulcsszerepet fog játszani az izoperimetrikus egyenlőtlenség bizonyításában.