Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

3. Dualitás a gömbfelületen

3. Dualitás a gömbfelületen

3.1. A gömbfelület részhalmazai között értelmezzük az úgynevezett dualitási relációt, amely gömbi konvex lemezek körében különösen hasznos lesz.

Jelöljük G -vel az O középpont körüli egységgömb-felületet. Tetszőleges H ? G részhalmazra definiáljuk H duálisát, a H * ? G halmazt a következőképpen: álljon H * mindazon P ? G pontokból, amelyekre az O P félegyenes legalább 90 fokos szöget zár be az összes olyan O Q félegyenessel, ahol Q ? H . Képlettel:

H * = P ? G : O P · O Q ? 0 minden Q ? H -ra ,

ahol a jobboldalon két vektor skaláris szorzata szerepel. (Megjegyezzük, hogy H * -ot szokás H poláris halmazának is nevezni. Az is előfordul, hogy az általunk megadott H * halmaz helyett annak a gömb középpontjára vonatkozó tükörképét tekintik duális vagy poláris halmaznak.)

7. ábra.

Rögtön látható például, hogy az üres halmaz duálisa az egész gömbfelület, és megfordítva, G duálisa az üres halmaz. Néhány további egyszerű példa is könnyen átlátható: félgömb duálisa egyetlen pont (és megfordítva); félgömbnél kisebb gömbsüveg duálisa ugyancsak félgömbnél kisebb gömbsüveg; főkör duálisa egy átellenes pontpár (és megfordítva); fél-főkör duálisa egy másik fél-főkör; félkörnél rövidebb, ? hosszúságú gömbi szakasz duálisa ? - ? szögű gömbkétszög (és megfordítva).

3.2. Néhány általános észrevételt teszünk duális halmazokkal kapcsolatban. Először is magától értetődő az az összefüggés, hogy bővebb halmaz duálisa szűkebb, azaz H 1 ? H 2 esetén szükségképpen H 1 * ? H 2 * teljesül. Könnyen látható továbbá, hogy ha a H halmaz tartalmaz három, nem egy főkörön fekvő pontot, akkor H * félgömbnél kisebb.

8. ábra.

Válasszunk ugyanis egy ilyen H -beli A , B , C ponthármas által kifeszített gömbháromszög belsejében egy tetszőleges Q pontot, ekkor H * az O -n áthaladó, O Q -ra merőleges síknak szigorú értelemben a túlsó oldalán fekszik. Ezt azzal indokolhatjuk, hogy tetszőleges P ? H * pontot választva H * definíciója miatt mindhárom csúcs, és így az egész A B C gömbháromszög is az O P -re merőleges síknak a P -vel átellenes oldalán van, és miután Q a gömbháromszögnek belső pontja, az O P és O Q félegyenesek szöge derékszögnél nagyobb.

Azt sem nehéz belátni, hogy bármely, nem egy főkörön fekvő gömbi halmaz duálisa konvex (a 2.2. pontban tisztázott értelemben).

9. ábra.

Ha ugyanis H ? G ilyen halmaz, és P 1 , P 2 a H * duális halmaz pontjai, akkor H része annak a ( P 1 -től és P 2 -től legtávolabbi) gömbkétszögnek, amelyet az O P 1 -re és O P 2 -re merőleges síkok határolnak, azaz a P 1 P 2 gömbi szakasz duálisának. Ha P befutja a P 1 P 2 gömbi szakaszt, akkor az O P -re merőleges sík ebbe a gömbkétszögbe sosem metsz bele, emiatt P mindvégig a H * halmazban marad.

Megjegyezzük, hogy ha a konvexitást a 2.2.-beli megjegyzés szerint értelmeznénk a gömbön, akkor azt is állíthatnánk, hogy a gömbfelület bármely részhalmazának duálisa konvex.

Észrevehetjük, hogy a duálisként előálló halmazok mindig zártak (abban az értelemben, hogy összes határpontjukat tartalmazzák). Ez annak a következménye, hogy a H * -ot definiáló feltételrendszer csupa ? típusú (azaz egyenlőséget is megengedő) egyenlőtlenségből áll. Márpedig ha egy folytonos függvény (esetünkben az O Q vektorral történő skaláris szorzás) egy halmaz minden pontjában ? 0 értéket vesz fel, akkor ? 0 értéket vesz fel a halmaz határpontjaiban is.

Eddigi megállapításainkat összegezve kimondhatjuk, hogy bármely gömbi konvex lemez duálisa ugyancsak gömbi konvex lemez. Ehhez a 2.4. alatt megkövetelt négy tulajdonság közül már csak a harmadiknak a teljesülését kell tisztáznunk, azaz azt, hogy a duális halmaznak van belső pontja. Ha L ? G gömbi konvex lemez, akkor választhatunk olyan O -n átmenő síkot, amelynek L szigorúan az egyik oldalán van. Zártságának köszönhetően az L halmaz ettől a síktól pozitív távolságra helyezkedik el, és így része egy alkalmas, félgömbnél kisebb gömbsüvegnek. Emiatt L * tartalmazza ezen gömbsüveg duálisát, ami szintén gömbsüveg, és így L * -nak van belső pontja.

Gömbi konvex lemezek duálisát a következő szemléletes eljárással is származtathatjuk. Mozgassunk egy félgömb alakú „sapkát” a gömbön úgy, hogy a középpontja fussa be az adott L gömbi konvex lemez minden pontját. Ekkor L * a sapka által érintetlenül hagyott gömbi tartomány lesz (pontosabban, annak a lezárása, azaz a határa hozzávételével nyert idom). Észrevehetjük (bár erre a tényre a későbbiekben nem lesz szükségünk), hogy a sapka középpontját elegendő L határvonalán körbemozgatni.

Kicsit több fáradsággal megmutatható az is, hogy bármely gömbi konvex lemez duálisának a duálisa saját maga. (Többek között ez a tulajdonság indokolja a dualitás elnevezést: a matematika különféle területein fellépő dualitási jelenségek mindig a vizsgált objektumok egyfajta párba állítását jelentik.) Erre az összefüggésre a későbbiekben nem lesz szükségünk, úgyhogy igazolását az érdeklődő olvasóra hagyjuk.

3.3. Megvizsgáljuk a gömbi konvex sokszögek és duálisaik közötti összefüggéseket.

Tekintsünk először egy A B C gömbháromszöget az O középpontú, egységnyi sugarú G gömbfelületen. Ennek duálisa szintén gömbháromszög, amelynek A * , B * és C * csúcsait azok az O -ból induló félegyenesek döfik ki G -ből, amelyek merőlegesek rendre az O B C , O C A , illetve O A B síkokra és a gömbháromszöget nem tartalmazó félterekbe (azaz „kifelé”) mutatnak.

Jelöljük az A B C gömbháromszög oldalait a -val, b -vel, c -vel, szögeit ? -val, ß -val, ? -val (mégpedig a szokásos megállapodás szerint úgy, hogy a az A csúccsal szemközti oldal hossza, ? az A -nál levő szög mértéke radiánban, stb.), területét t -vel és kerületét k -val. Állapodjunk meg abban, hogy a duális gömbháromszög adataira ugyanezeket a jeleket használjuk * -gal ellátva.

10. ábra.

Rögtön leolvashatók az alábbi összefüggések:

a * = ? - ? , ? * = ? - a , b * = ? - ß , ß * = ? - b , c * = ? - ? , ? * = ? - c .

Felhasználjuk a gömbháromszögek területére vonatkozó ún. Girard-formulát, amely szerint

t = ? + ß + ? - ? ,

és persze ugyanígy

t * = ? * + ß * + ? * - ? .

Ezekből közvetlenül nyerjük a

t = ( ? - a * ) + ( ? - b * ) + ( ? - c * ) - ? = 2 ? - k * ,

illetve

t * = ( ? - a ) + ( ? - b ) + ( ? - c ) - ? = 2 ? - k

képleteket. Megállapítottuk tehát, hogy minden gömbháromszögre érvényes a t + k * = k + t * = 2 ? összefüggés.

A következő lépésben vizsgáljuk meg egy tetszőleges S gömbi konvex sokszög duálisát. Jól látható, hogy S * ugyanakkora oldalszámú gömbi konvex sokszög, mégpedig az, amelynek a csúcsait az S oldalait tartalmazó síkokra O -ban kifelé állított merőleges félegyenesek döfik ki G -ből. Ilyen módon S * csúcsai párba állíthatók S oldalaival, S * oldalai pedig S csúcsaival. Ugyanolyan módon, mint a gömbháromszögek esetében, fennállnak az

a * = ? - ? é s ß * = ? - b

egyenlőségek, ahol ? jelöli S tetszőleges csúcsánál levő szögét és a * az ezen csúccsal párba állított S * -beli oldal hosszát, illetve b jelöli S tetszőleges oldalát és ß * pedig a vele párba állított S * -beli csúcsnál levő szöget. A Girard-formula közvetlen általánosításaként (például háromszög-felbontással) adódnak az alábbi képletek az n -oldalú gömbi konvex sokszög (és duálisa) területére:

t = ? 1 + ? 2 + + ? n - ( n - 2 ) ? , t * = ß 1 * + ß 2 * + + ß n * - ( n - 2 ) ? ,

ahol az ? i és ß i * számok az S , illetve az S * sokszög szögei. Ezekből a gömbháromszögekre elvégzett számolással azonos módon adódnak a

t + k * = k + t * = 2 ?

(5)

egyenlőségek, most már tetszőleges gömbi konvex sokszögre kiterjedő érvénnyel.

3.4. Észrevehetjük, hogy ezek a képletek változatlanul érvényben maradnak tetszőleges gömbi konvex lemezre és duálisára vonatkoztatva is.

Legyen adott ugyanis az L gömbi konvex lemez. Közelítsük meg L -et minden határon túl gömbi konvex sokszögeknek egy S n sorozatával. (Ilyen sorozatot nyerünk például, ha L határvonalát véges sok osztóponttal felosztjuk, tekintjük az osztópontok konvex burkát, és a felosztást minden határon túl sűrítjük.) Ekkor az S n * sorozat is L * -hoz közeledik minden határon túl. (Fölfigyelhetünk például arra, hogy ha az S n sorozat belülről közelíti meg L -et, mint az iménti példában, akkor S n * kívülről zsugorodik rá L * -ra.) Az S n sokszögek t n területe és k n kerülete az L gömbi konvex lemez t területéhez, illetve k kerületéhez tart, és ugyanez igaz lesz a duális idomok területeire és kerületeire: a t n * sorozat t * -hoz, a k n * sorozat k * -hoz tart. Felhasználva, hogy a 3.3. pontban bizonyítottak szerint minden n -re teljesülnek a t n + k n * = k n + t n * = 2 ? egyenlőségek, ugyanez érvényes a bennük szereplő számsorozatok határértékeire is, azaz a (5) képlet bármely gömbi konvex lemezre fennáll.