Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

2. Konvexitás, konvex gömbi alakzatok

2. Konvexitás, konvex gömbi alakzatok

2.1. Hasznos észrevétel a síkbeli izoperimetrikus egyenlőtlenséggel kapcsolatban, hogy azt elegendő konvex síkidomokra bebizonyítani, ugyanis az általános eset ennek egyszerű következménye. (Emlékeztetőül: a sík egy részhalmazát konvexnek nevezzük, ha bármely két pontjával együtt azok összekötő szakaszát is tartalmazza.)

4. ábra.

Vegyük tudniillik az adott (nem feltétlenül konvex) síkidom konvex burkát (azaz a síkidomot tartalmazó lehető legszűkebb konvex halmazt), ennek a területe nyilván nem kisebb az eredeti idom területénél, valamint könnyen átlátható, hogy a kerülete nem nagyobb az eredeti idom kerületénél (hiszen a konvex burok határvonala úgy nyerhető az eredeti idom határvonalából, hogy annak egyes darabjait egyenes szakaszokkal helyettesítjük). Ezért ha az (1) egyenlőtlenség teljesül a konvex burokra, akkor annál inkább teljesül az eredeti síkidomra.

2.2. Szeretnénk valamilyen hasonló eljárással a konvex alakzatok esetére redukálni a gömbi izoperimetrikus egyenlőtlenség bizonyítását. Ezzel kapcsolatban a gondot az okozza, hogy a gömbfelületen nem tudjuk bármely két pont között a szakasz fogalmát egyértelműen definiálni. A gömbfelület pontjai között a lehető legrövidebb felületi görbe mindig főkörív. Ha két pont nem átellenes, akkor a közöttük futó két főkörív közül nyilván a rövidebbiket érdemes a pontokat összekötő gömbi szakasznak tekinteni. Viszont ha átellenes pontpárról van szó, akkor az őket összekötő végtelen sok egyforma hosszú főkörív közül nincs okunk bármelyiket is kitüntetni és szakasznak nevezni. Emiatt el kell fogadnunk a gömbfelület geometriájának azt a „hiányosságát”, hogy nem teljesül (pontosabban, csak kivételekkel teljesül) az a sík- és térgeometriában gyakran használt alaptulajdonság, hogy bármely két különböző pont egyértelműen meghatároz egy szakaszt, amelynek az adott pontok a végpontjai.

A konvexitás definíciójának gömbfelületre történő átültetésénél tehát figyelemmel kell lennünk az átellenes pontpárok kivételes viselkedésére. A legkényelmesebb eljárás az, hogy a konvexitás fogalmát eleve csak olyan gömbi ponthalmazokra értelmezzük, amelyekben nem fordul elő átellenes pontpár. Például, ha a szóban forgó ponthalmaz valamely, a gömb középpontján áthaladó síknak szigorúan az egyik oldalán fekszik (nevezzük az ilyen halmazokat félgömbnél kisebbnek), akkor nyilvánvalóan nem tartalmaz átellenes pontpárt. Világos, hogy félgömbnél kisebb halmazra vonatkoztatva a konvexitás szokásos (síkbeli) definíciója szóról szóra átvihető, valamint hogy bármely félgömbnél kisebb halmaznak egyértelműen létezik konvex burka (azaz a legszűkebb olyan konvex gömbi ponthalmaz, amely az adott halmazt tartalmazza). Az alábbiakban látni fogjuk, hogy azzal, hogy a gömbi konvexitás és konvex burok értelmezésénél csak félgömbnél kisebb halmazokra szorítkozunk, nem veszítünk lényeges információt: azok a gömbi idomok, amelyek konvexitása okoskodásainkban felmerül, mind félgömbnél kisebbek lesznek.

Megjegyzés. A konvexitás fogalmát a gömbfelület tetszőleges részhalmazai körében a következőképpen szokás értelmezni: konvexnek nevezünk egy gömbi ponthalmazt, ha bármely két nem átellenes pontjával együtt az őket összekötő gömbi szakaszt is tartalmazza. (Ezen definíció értelmében konvex például egy főkör vagy egy átellenes pontpár is.) Látható, hogy ez kiterjesztése az általunk félgömbnél kisebb halmazokra elfogadott konvexitás-definíciónak.

2.3. A gömbi izoperimetrikus egyenlőtlenség bizonyítása céljából az 1.3. és 1.5.3 pontokban tett észrevételek miatt elegendő a

t 1 t 2 ? h 2

egyenlőtlenséget igazolni, ahol h az egységnyi sugarú gömbfelületre írt, 2 ? -nél rövidebb egyszerű zárt görbe hossza, t 1 és t 2 pedig a görbe két oldalán keletkező két gömbi idom területe.

Megmutatjuk, hogy bármely, az egységgömb felületére írt, 2 ? -nél rövidebb zárt görbe félgömbnél kisebb. Ezt a tényt a bizonyítás egy döntő lépésében később is fel fogjuk használni (ld. 5.2.). (Játékos feladat formájában így is fogalmazhatunk: tegyük föl, hogy egy (gömbölyű) alma héján mászó hangya bejárt egy kiindulópontjába visszatérő utat, ami rövidebb az alma kerületénél; bizonyítsuk be, hogy az alma félbevágható úgy, hogy az egyik fél érintetlen.)

Legyen adott tehát az egységgömb felületén egy 2 ? -nél rövidebb zárt görbe. Válasszunk két pontot a görbén, P -t és Q -t úgy, hogy felezzék a görbét, azaz a P és Q között keletkező két részív hossza egyenlő legyen. Ekkor P és Q nem átellenesek a gömbön, hiszen gömbi távolságuk legfeljebb a görbe teljes hosszának a fele, ami kisebb ? -nél. Jelöljük F -fel a P Q gömbi szakasz felezőpontját és tekintsük azt az S síkot, amely áthalad a gömb O középpontján és merőleges az O F egyenesre. Azt állítjuk, hogy a görbének nincs közös pontja az S síkkal.

5. ábra.

Indirekt módon tegyük fel, hogy a görbének valamely R pontja az S síkba esik. Vegyük a görbe P R ívét és fűzzük hozzá az R Q görbeívnek az S -re vonatkozó tükörképét, az R Q ' ívet. Ezzel folytonos görbét nyertünk, amely a P pontot Q ' -vel köti össze, és amelynek a hossza egyenlő az eredeti görbe P R Q ívének hosszával, azaz a teljes hossz felével. Viszont ez lehetetlen, ugyanis a Q ' pont éppen átellenes P -vel. (Ennek magyarázatául csak annyit kell meggondolni, hogy az O F egyenesre és az S síkra vonatkozó tükrözések egymásutánja az O -ra vonatkozó középpontos tükrözéssel egyenlő.) Ezzel megmutattuk, hogy az eredeti görbének nincs közös pontja az S síkkal, így teljes egészében annak egyik oldalán fekszik.

2.4. Az imént bizonyítottak miatt az egységgömbre írt 2 ? -nél rövidebb egyszerű zárt görbe által határolt két gömbi tartomány közül is az egyik szükségképpen félgömbnél kisebb. Az 1.3. pontban tisztázottak szerint erről az idomról kell bebizonyítanunk, hogy a területe legfeljebb akkora, mint az azonos kerületű gömbsüvegé. Ezt az állítást most már elegendő lesz (félgömbnél kisebb) konvex gömbi idomokra belátnunk. A síkbeli okoskodással megegyező módon mondhatjuk ugyanis, hogy az idom konvex burkának a területe legalább akkora, kerülete pedig legfeljebb akkora, mint az idomé, ezért ha a konvex burokról tudjuk, hogy teljesíti a kívánt egyenlőtlenséget, ez annál inkább fennáll az eredeti idomra. (Itt azt a nyilvánvaló tényt is felhasználtuk, hogy félgömbnél kisebb gömbsüvegek körében a nagyobb területűnek a kerülete is nagyobb.)

Tételünk bizonyításához tehát az alábbi állítást elegendő igazolnunk: ha t és k jelöli egy az egységgömb felületén elhelyezkedő, félgömbnél kisebb konvex gömbi idom területét, illetve kerületét, akkor t ( 4 ? - t ) ? k 2 .

Szóhasználatunk egyszerűsítése végett nevezzük gömbi konvex lemeznek az egységgömb felületének bármely olyan részhalmazát, amely

  • félgömbnél kisebb,

  • konvex,

  • tartalmaz három nem egy főkörön fekvő pontot, és

  • zárt (azaz a határát tartalmazza).

(Az első két követelményt nem szükséges magyarázni. A harmadik azt zárja ki, hogy a halmaz gömbi szakasszá fajuljon el, és azzal egyenértékű, hogy a szóban forgó gömbi konvex halmaznak van belső pontja, azaz olyan pontja, amellyel együtt egy körülötte rajzolt elég kicsiny sugarú gömbi körlemez is része a halmaznak. A negyedik követelmény pusztán „esztétikai” jellegű, lényegi szerepe nincs, hiszen a határ (vagy a határ egy részének) elhagyása vagy hozzávétele sem a területet, sem a kerületet nem befolyásolja.)

Ezekután a bizonyítani kívánt tételt így fogalmazhatjuk: bármely gömbi konvex lemez t területére és k kerületére fennáll a t ( 4 ? - t ) ? k 2 egyenlőtlenség.

2.5. Gömbi konvex lemezek egy fontos speciális esetét: gömbi konvex sokszögeket vizsgálunk.

Egy gömbháromszög nem más, mint a gömbfelület három, nem egy főkörre eső pontjának a gömbi konvex burka. (A konvex burok képzéséhez vegyük észre, hogy három ilyen pont szükségképpen félgömbnél kisebb halmazt alkot.) Másik lehetőség gömbháromszög származtatására a következő. Triédernek vagy háromoldalú térszögletnek nevezzük a tér egy részhalmazát, ha előáll mint három olyan zárt féltér közös része, amelyek határoló síkjainak egyetlen közös pontja van (a triéder csúcsa). A gömbháromszögek pontosan azok a halmazok, amelyeket a gömb középpontjában elhelyezkedő csúcsú triéderek metszenek ki a gömb felületéből. Világos, hogy a gömbháromszög és az őt kimetsző triéder kölcsönösen egyértelműen meghatározzák egymást. A triéder élei félegyenesek, amelyek a gömbháromszög csúcsait döfik ki a gömbfelületből, a triéder lapjai pedig szögtartományok, amelyek a gömbháromszög oldalszakaszait metszik ki. Látható, hogy a gömbháromszög oldalai egyenlők a triéder megfelelő lapjaihoz tartozó középponti szögekkel, a gömbháromszög szögei pedig egyenlők a triéder lapjai között fellépő szögekkel.

6. ábra.

Magasabb oldalszámú gömbi konvex sokszögeket is hasonló módon származtathatunk. Nevezzük konvex térszögletnek a tér egy részhalmazát, ha előáll mint véges sok, közös ponton (a térszöglet csúcsán) áthaladó határsíkú zárt féltér metszeteként, nem tartalmaz teljes egyenest és nem fekszik egy síkban. A konvex térszöglet a triéder általánosítása. Élei félegyenesek, lapjai szögtartományok. Most definiálhatjuk a gömbi konvex sokszögeket mint a gömbfelületből a középpontban elhelyezkedő csúcsú konvex térszögletek által kimetszett halmazokat. Ugyanúgy, mint a gömbháromszögek esetében, megállapíthatjuk, hogy a gömbi konvex sokszög és az őt kimetsző konvex térszöglet kölcsönösen egyértelműen meghatározzák egymást, továbbá adataik között ugyanazok az összefüggések fönnállnak.

A gömbháromszögekhez hasonló módon a magasabb oldalszámú gömbi konvex sokszögeket is értelmezhetjük mint félgömbnél kisebb véges pontrendszerek gömbi konvex burkait. Nem könnyű viszont annak (az egyébként szemléletünk által könnyedén befogadható ténynek) a szabatos bizonyítása, hogy ilyen módon ugyanahhoz a fogalomhoz jutunk; ezektől a technikai részletektől itt eltekintünk.