Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

Izoperimetrikus egyenlőtlenségek és gömbi geometria

Izoperimetrikus egyenlőtlenségek és gömbi geometria

Moussong, Gábor


1. Az izoperimetrikus egyenlőtlenség síkon és gömbfelületen

1.1. Mindenki számára jól ismert, hogy azonos kerületű síkidomok közül a körnek van a legnagyobb területe. Ezt az állítást szokás az ún. (síkbeli) izoperimetrikus egyenlőtlenségnek nevezni. Abból a célból, hogy ezt tényleg egyenlőtlenség formáját öltő matematikai tételként mondhassuk ki, jelöljük k -val, illetve t -vel egy tetszőleges síkidom kerületét és területét. A szóban forgó egyenlőtlenség ekkor

t ? k 2 4 ? ,

(1)

hiszen a k kerületű kör sugara k / 2 ? , és így területe k 2 / 4 ? .

Tekintsünk a síkon egy egyszerű zárt görbét. (Zárt görbének a körvonal tetszőleges folytonos képét nevezzük („zárt” itt annyit jelent, hogy „önmagába visszatérő”), egyszerűnek mondjuk a görbét, ha nincsenek önátmetszései vagy önátfedései, azaz a körvonal kölcsönösen egyértelműen van a síkba képezve.) A fenti tétel úgy is fogalmazható, hogy bármely síkbeli egyszerű zárt görbe h hossza és az általa körülhatárolt síkidom t területe között fennáll a

t ? h 2 4 ?

(2)

egyenlőtlenség.

1.2. Ennek a nevezetes tételnek (és persze különféle általánosításainak) számos érdekes és kevésbé érdekes bizonyítása ismeretes, amelyek egyike-másika a felsőbb matematika eszköztárát is igénybe veszi. Az alábbiakban olyan bizonyítást ismertetünk, amely lényegében csak elemi, középiskolás szintű ismereteket igényel, és érdekessége, hogy a gömbi geometria néhány lényegi összefüggésére épít.

1. ábra.

Tekintsünk most egy r sugarú gömbfelületre írt egyszerű zárt görbét, jelöljük a hosszát h -val. A görbe a gömbfelületet két részre bontja (és itt, a síkbeli esettel ellentétben a két rész közül egyik sincs kitüntetve a másikkal szemben: mindkettő h kerületű gömbi idom), ezek felszínét jelöljük t 1 -gyel és t 2 -vel. Az alábbi egyenlőtlenséget fogjuk gömbi izoperimetrikus egyenlőtlenségnek nevezni és bebizonyítani:

t 1 t 2 ? r 2 h 2 .

(3)

1.3. Megindokoljuk, hogy miért ezt az állítást érdemes a síkbeli (2) tétel gömbi megfelelőjének tekinteni. Vegyük észre először, hogy h ? 2 r ? esetén a (3) egyenlőtlenség automatikusan teljesül. A számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenségből ugyanis

t 1 t 2 ? t 1 + t 2 2 2 = 4 r 4 ? 2 ? r 2 h 2

adódik, felhasználva azt is, hogy t 1 és t 2 összege a teljes gömb felszínével, 4 r 2 ? -vel egyenlő.

Tegyük fel most, hogy h ? 2 r ? . Azt állítjuk, hogy a (3) egyenlőtlenség egyenértékű azzal, hogy a h hosszúságú zárt görbe által határolt kisebbik felületdarab felszíne legfeljebb akkora, mint egy h kerületű gömbi körlap (azaz gömbsüveg) felszíne. Állapítsuk meg először is, mekkora egy h kerületű gömbsüveg felszíne az r sugarú gömbön. Nyilván elegendő a két komplementer gömbsüveg közül a kisebbikre szorítkoznunk.

2. ábra.

A határoló kör sugara („légvonalban”, tehát nem a gömb felületén mérve) h / 2 ? , ezt felhasználva a gömbsüveg magasságára m = r - r 2 - ( h / 2 ? ) 2 adódik. A gömbsüveg felszínére a 2 ? r m képletből így a 2 r 2 ? - 4 r 4 ? 2 - r 2 h 2 kifejezést kapjuk.

A t 2 = 4 r 2 ? - t 1 összefüggést fölhasználva (3) átírható a

t 1 2 - ( 4 r 2 ? ) t 1 + r 2 h 2 ? 0

alakba, amely a t 1 változóban másodfokú egyenlőtlenség. A t 1 ? t 2 feltétel mellett megoldva látjuk, hogy ez az egyenlőtlenség egyenértékű a t 1 ? 2 r 2 ? - 4 r 4 ? 2 - r 2 h 2 egyenlőtlenséggel, ahol a jobboldalon éppen az imént megtalált kifejezés áll.

1.4. Most megmutatjuk, hogyan vezethető le a síkbeli izoperimetrikus egyenlőtlenség a gömbiből. Tegyük fel tehát, hogy érvényes az 1.2. pontban kimondott gömbi izoperimetrikus egyenlőtlenség.

3. ábra.

Legyen adott egy síkbeli egyszerű zárt görbe, amelynek hossza h , és amely t területű síkidomot határol körül. Válasszuk ki és rögzítsük a sík egy P pontját és illesszünk a sík egyik oldalára egy P -ben érintő r sugarú gömböt. Vetítsük rá a görbét a gömb felületére a gömb középpontjából. Ilyen módon gömbre írt egyszerű zárt görbét nyertünk. Jelöljük ennek hosszát h r -rel, a keletkező két gömbi tartomány közül a félgömbnél kisebbnek a felszínét pedig t r -rel. Írjuk fel ezekre a gömbi izoperimetrikus egyenlőtlenséget:

t r ( 4 r 2 ? - t r ) ? r 2 h r 2 ,

azaz, 4 r 2 ? -vel osztva:

t r - t r 2 4 r 2 ? ? h r 2 4 ? .

(4)

Képzeljük el, hogy most P -ből „felfújjuk” az érintő gömböt, azaz a sugarát, r -et elkezdjük növelni, miközben a P érintkezési pontot változatlanul megtartjuk (tehát a gömb középpontját is távolítjuk a síktól). Vizsgáljuk meg, hogyan változnak a fenti képletben szereplő mennyiségek, ha r minden határon túl növekedik. Látható, hogy a gömbfelület egyre nagyobb darabja egyre jobban belesimul a síkba, és a gömbre írt görbe, valamint az általa határolt (kisebbik) gömbi tartomány egyre jobban, minden határon túl megközelíti az eredeti síkgörbét, illetve az általa határolt síkidomot. Ezért a h r és t r mennyiségek minden határon túl megközelítik h -t és t -t. A (4) egyenlőtlenség minden r -értékre érvényben van, ezért érvényben marad a benne szereplő mennyiségek határértékeire is. A t r 2 / 4 r 2 ? tag 0-hoz tart, így a határátmenettel nyert egyenlőtlenség

t ? h 2 4 ? ,

amit bizonyítani akartunk.

1.5. Megjegyzések. 1. Az 1.4. alatti okoskodás lényegi eleme az ún. geometriai határátmenet alkalmazása volt, amelynek során nemcsak számértékű függvényeknek, hanem geometriai idomok seregének konvergenciájával érveltünk. Kimondatlanul felhasználtuk például, hogy konvergens görbesereg limesz-görbéjének a hossza egyenlő a seregben szereplő görbék hosszainak a limeszével, stb. Bár az ilyenfajta okoskodások szemléletünk alapján nyilvánvalóan helyesek, mégis szigorú matematikai megalapozást igényelnének. Ettől itt eltekintünk. A geometriai határátmenet elve a későbbiekben is lényeges szerepet fog játszani bizonyításainkban (ld. 3.4. és 4.4.); azokon a pontokon is szemléletünkre építünk majd.

2. Annak tisztázásával sem foglalkozunk, hogy pontosan mit is értsünk görbék hosszán és síkidomok területén. Ezen kérdések matematikailag hiánytalan megválaszolása olyan jelenségeket is felszínre hozna, mint például olyan folytonos görbe, amelynek nincsen hossza, vagy olyan ponthalmaz, amelynek nincsen területe. Anélkül, hogy ennek részleteibe belemennénk, állapodjunk meg abban, hogy itt és a továbbiakban csak olyan görbéket és idomokat vizsgálunk, amelyeknek van ívhossza, illetve területe.

3. Látható, hogy a gömbi izoperimetrikus egyenlőtlenség (3) alakjában a gömb sugarának ? -szorosára történő változtatása (és a görbe arányos kinagyítása, illetve zsugorítása) mindkét oldalnak ugyanazzal a ? 4 számmal történő megszorzását eredményezi. Ezért elegendő lesz az egyenlőtlenséget egyetlen rögzített r -érték mellett bebizonyítani. A legkényelmesebb választás nyilván r = 1 , emiatt további vizsgálatainkban egységnyi sugarú gömbre fogunk szorítkozni. Ez a megállapodás képleteink alakját is jelentősen egyszerűsíti.

4. A síkgeometriával fennálló analógia okán a gömbfelületen elhelyezkedő idomok felszínét nyugodtan nevezhetjük ezek területének, így pl. beszélhetünk gömbsüveg, gömböv, gömbháromszög területéről. Megállapodhatunk abban, hogy az ilyenfajta idomok esetében a felszín vagy terület kifejezést egyaránt használhatjuk ugyanannak a mennyiségnek a megnevezésére.

5. Nyilvánvaló, hogy a síkbeli izoperimetrikus egyenlőtlenség körök esetében egyenlőséggel teljesül, továbbá azt is könnyű ellenőrizni, hogy a gömbre vonatkozó (3) tételben is egyenlőség áll, ha a szóban forgó görbe kör. Jóval kevésbé magától értetődő, hogy mind a síkbeli, mind a gömbi esetben egyenlőség csak kör esetén lehetséges. Ennek az (egyébként szemléletünk alapján nagyon is hihető) állításnak az igazolása az itt tárgyalandóktól eltérő eszközöket igényel, úgyhogy a bizonyítástól eltekintünk.