Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

6. Feladatok

6. Feladatok

1. Határozzuk meg a kocka felületén az átellenes csúcsokat összekötő minimális geodetikusokat.

2. Mutassuk meg, hogy egy korlátos konvex poliéder felületén egy minimális geodetikus ív csak akkor halad át egy csúcsponton, ha a csúcspont az egyik végpontja.

3. Bizonyítsuk be, hogy az a , b , c hosszú főkörívekből pontosan akkor lehet gömbháromszöget szerkeszteni, ha teljesülnek a háromszögegyenlőtlenségek, vagyis a + b //>// c , b + c //>// a , c + a //>// b , és a + b + c //<// 2 ? .

4. Bizonyítsuk be, hogy egy gömbháromszög súlyvonalai egy ponton mennek át.

5. Bizonyítsuk be, hogy ha egy gömbháromszögben a magasságvonalak egyértelműen definiálhatók, akkor van közös pontjuk.

6. (Gömbi Ceva-tétel). Vegyük fel az A B C gömbháromszög oldalain az A ' ? B C ^ , B ' ? C A ^ és C ' ? A B ^ pontokat. Bizonyítsuk be, hogy az A A ' , B B ' és C C ' gömbi egyenesek akkor és csak akkor mennek át egy ponton, ha

sin d ( A , B ' ) sin d ( B ' , C ) · sin d ( C , A ' ) sin d ( A ' , B ) · sin d ( B , C ' ) sin d ( C ' , A ) = 1 .

7. Bizonyítsuk be, hogy egy gömbháromszög középvonala hosszabb, mint az őt nem metsző oldalszakasz fele.

8. (Bolyai Farkas tétele a gömbön) Bizonyítsuk be, hogy ha két gömbsokszög területe megegyezik, akkor egymásba átdarabolhatók, azaz fel lehet bontani az egyiket olyan gömbháromszögekre, melyek egybevágó példányaival a másik lefedhető.

9. Legyen T egy l hosszúságú gömbi töröttvonal. Álljon E k a gömb azon a pontjaiból, melyek köré rajzolt ? / 2 sugarú főkörök a T -t pontosan k pontban metszik. Bizonyítsuk be, hogy

t ( E 1 ) + 2 t ( E 2 ) + 3 t ( E 3 ) + ? = 4 l .

Mit mondhatunk, ha a töröttvonal zárt?

Mutassuk meg, hogy ha egy zárt gömbi töröttvonal hossza kisebb, mint 2 k ? , akkor van olyan főkör, amelyik legfeljebb 2 ( k - 1 ) pontban metszi.

10. Bizonyítsuk be, hogy ha egy euklideszi körlapot lefedi véges sok sáv, akkor a sávok szélességeinek összege legalább akkora, mint a kör átmérője. (Sávnak nevezzük az euklideszi sík két párhuzamos egyenese közé eső részét.)

11. Határozzuk meg azokat a gömbháromszögeket, melyek szögei ? / p , ? / q , ? / r alakúak, ahol p , q , r egészek. Bizonyítsuk be, hogy minden ilyen háromszöggel kiparkettázható a gömb.

12. Legyen az A B C gömbháromszög területe T , B C oldalának hossza a , a B pont távolsága a B C oldalhoz tartozó középvonaltól h . Bizonyítsuk be, hogy

sin T 2 = tg h tg a 2 .

13. Milyen euklideszi formulák adódnak a Delambre- és Napier-formulák határértékeként?

14. Szerkesszünk meg egy gömbháromszöget (körző és gömbi vonalzó segítségével), ha adottak a szögei. Milyen szögekre van megoldás?

15. Szerkesszük meg a gömbön egy adott pontból egy adott körhöz húzott érintő főköröket.

16. Szerkesszünk olyan kört a gömbön, mely által határolt gömbsapka területe ? .

17. (A fenti kör négyszögesítése.) Szerkesszünk olyan szabályos gömbi négyszöget, melynek területe ? . (A szabályos gömbi négyszög egy olyan gömbi négyszög, melynek oldalai és szögei egyenlők.)