Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

5. Az euklideszi sík – egy végtelen nagy gömb

5. Az euklideszi sík – egy végtelen nagy gömb

A gömbi geometria tételeiből határátmenettel az euklideszi geometria tételeihez lehet jutni. Az ezt bemutató példáinkat a háromszög-geometria köréből merítjük.

17. ábra.

A határátmenet alapjául a következő kép szolgálhat. Tekintsünk egy A B C háromszöget az S euklideszi síkon. Legyen O az S sík egy tetszőleges pontja. Jelölje g r az egyik olyan r sugarú gömböt, mely S -et O -ban érinti. A g r középpontján átmenő, S -sel párhuzamos sík két félgömbre vágja g r -t; legyen g ¯ r ezek közül az, amelyik O -t is tartalmazza. Ha az A , B , C pontok benne vannak az O középpontú r sugarú körben, akkor az S síkra az A , B , C pontokban állított merőlegesek a g ¯ r félgömböt pontosan egy pontban metszik, jelölje ezeket a pontokat rendre A r , B r , C r . Ha az r sugár értéke a végtelenhez tart, akkor az A r , B r , C r pontok rendre az A , B , C pontokhoz tartanak, miközben az A r B r C r gömbháromszög nevezetes adatai (oldalai, szögei, területe, súlyvonalai, magasságvonalai, szögfelezői, beírt és körülírt köreinek sugarai, stb.) az A B C háromszög megfelelő adataihoz tartanak. Ha egy gömbháromszögekre vonatkozó azonosságot felírunk az A r B r C r gömbháromszög adataira, majd az r sugárral tartunk végtelenhez, akkor az azonosság két oldalának határértéke (ha létezik) szintén meg kell, hogy egyezzen. A határértékeket az A B C háromszög adataival kifejezve az euklideszi trigonometria egy azonosságát kapjuk.

Induljunk ki például a gömbi szinusztételből. Eszerint az ( r -sugarú gömbre írt!) A r B r C r gömbháromszögben

sin ( a r / r ) : sin ( b r / r ) : sin ( a r / r ) = sin ? r : sin ß r sin ? r .

Felhasználva a lim x 0 sin x x = 1 összefüggést,

lim r ? sin a r r sin b r r = lim r ? a r b r · sin a r r a r r · b r r sin b r r = a b .

Így r ? határátmenettel a gömbi szinusztétel visszaadja az euklideszi szinusztételt:

a : b : c = sin ? : sin ß : sin ? .

Vizsgáljuk meg, hogy milyen tételt kaphatunk az oldalakra vonatkozó koszinusztétel határértékeként! Ha r tart a végtelenhez, akkor a

cos a r r = cos b r r cos c r r + sin b r r sin c r r cos ? r

(24)

egyenlőség mindkét oldala 1-hez tart, így határértékként az 1 ? 1 azonossághoz jutunk, ami kétségtelenül igaz, de nem túl tartalmas. Egy kis átalakítással azonban a (24) egyenlőség az

a r 2 2 1 - cos a r r 2 a r r 2 = b r 2 1 - cos b r r b r r 2 cos c r r + + c r 2 2 1 - cos c r r 2 c r r 2 - b r c r sin b r r b r r sin c r r c r r cos ? r

(25)

alakot ölti, s mivel

lim x 0 1 - cos x x 2 = lim x 0 1 2 sin x 2 x 2 2 = 1 2 ,

a szögletes zárójelben álló kifejezések mind 1-hez tartanak, miközben r tart a végtelenhez. Így a (25) egyenlőség a határátmenetkor az

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos ?

síkbeli koszinusztételhez vezet.

Hasonló határátmenettel Girard tételéből azt kapjuk, hogy az euklideszi síkon a háromszög szögeinek összege ? , L’Huillier képletének euklideszi határértéke pedig a Heron-képlet.