Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

4. Formulák haladóknak

4. Formulák haladóknak

4.1. Állítás. Legyen a T területű A B C gömbháromszög B C oldalának hossza a , a B C oldalhoz tartozó középvonalának hossza pedig k . Ekkor

cos T 2 = cos k cos a 2 .

Bizonyítás. Jelölje F 1 , illetve F 2 az A B , illetve A C oldal felezőpontját. Bocsássunk a csúcsokból merőleges gömbi egyeneseket az F 1 F 2 gömbi egyenesekre. Az A , B , illetve C csúcson átmenő merőleges A -hoz, B -hez, illetve C -hez közelebbi talppontját jelölje A¯ , B ¯ , illetve C ¯ . Az A A¯ F 1 és B B ¯ F 1 derékszögű gömbháromszögek egybevágók, mert egyrészt az F 1 -nél fekvő szögeik egyenlők, lévén csúcsszögek, másrészt az A F 1 és B F 1 átfogók is ugyanolyan hosszúak, mert F 1 felezőpont, ebből a két adatból pedig a háromszög többi adata meghatározható. Hasonlóan egybevágók az A A¯ F 2 és C C ¯ F 2 gömbháromszögek is. E két háromszögpár egybevágóságának több fontos következménye van:

(i) Az A B C gömbháromszög területe ugyanakkora, mint a B B ¯ C ¯ C gömbi négyszögé.

(ii) A B ¯ és C ¯ pontok gömbi távolsága 2 k .

(iii) Mivel a B B ¯ C ¯ C gömbi négyszög B ¯ és C ¯ csúcsainál derékszög van, és d ( B , B ¯ ) = d ( A , A¯ ) = d ( C , C ¯ ) , a B B ¯ C ¯ C gömbi négyszög szimmetrikus a B ¯ C ¯ gömbi szakasz t felező merőlegesére. A szimmetriából többek között következik, hogy B ¯ B C ? = C ¯ C B ? .

15. ábra.

Kifejezve a B B ¯ C ¯ C gömbi négyszög területét a szögei segítségével, és felhasználva az (i) és (iii) összefüggéseket a

T = ( ? / 2 + ? / 2 + B ¯ B C ? + C ¯ C B ? ) - 2 ? = 2 B ¯ B C ? - ? , B ¯ B C ? = ? + T 2

egyenlőségekhez jutunk.

A B C és B ¯ C ¯ gömbi egyenesek egymást két átellenes pontban metszik. Jelöljük ezek közül a B oldalára esőt E -vel, a másikat E ' -vel. A B B ¯ C ¯ C gömbi négyszög tengelyes szimmetriája miatt

d ( B , E ) = d ( C , E ' ) = ( ? - a ) / 2

és

d ( B ¯ , E ) = d ( C ¯ , E ' ) = ( ? - 2 k ) / 2 .

Ha alkalmazzuk a gömbi szinusztételt az E B B ¯ derékszögű gömbháromszögre, épp a bizonyítandó összefüggést kapjuk:

cos T 2 = sin B ¯ B E ? = sin d ( B ¯ , E ) sin d ( B , E ) = cos k cos a 2 .

?

A 4.1. állítás lehetőséget ad arra, hogy egy gömbháromszög területét az oldalakkal kifejezzük. Első lépésben kicserélhetjük cos k -t az A F 1 F 2 háromszögre alkalmazott koszinusztétel segítségével:

cos T 2 = cos k cos a 2 = cos b 2 cos c 2 + sin b 2 sin c 2 cos ? cos a 2 ,

második lépésben pedig a megjelenő cos ? -t kiküszöbölhetjük az A B C gömbháromszögre vonatkozó koszinusztételből:

cos T 2 = cos b 2 cos c 2 + sin b 2 sin c 2 cos a - cos b cos c sin b sin c cos a 2 .

Ha most az a , b és c szögfüggvényeit kifejezzük az a / 2 , b / 2 és c / 2 szögfüggvényeivel, akkor némi egyszerűsítés után a

cos T 2 = cos 2 a 2 + cos 2 b 2 + cos 2 c 2 - 1 2 cos a 2 cos b 2 cos c 2

(6)

képlethez jutunk. Ebből a gömbháromszög területe valóban meghatározható, mert a terület csak 0 és 2 ? közötti értékeket vehet fel, a [ 0 , ? ] intervallumon pedig a koszinusz függvény szigorúan monoton csökken.

4.2. Tétel (L’Huillier tétele). Egy gömbháromszög T területe és a , b , c oldalai között az alábbi összefüggés áll fenn:

tg T 4 = tg s 2 tg ( s - a ) 2 tg ( s - b ) 2 tg ( s - c ) 2 ,

ahol s = ( a + b + c ) / 2 a kerület fele.

Bizonyítás. A tétel a (6) képletből mechanikus számolással levezethető. Csakhogy ez a számolás trükkök bevetése nélkül nagyon hosszadalmas lehet. Ez nem gond, ha a számolást nem kézzel, hanem számítógéppel végezzük, mondjuk a Derive, Mathematica, vagy a Maple programok valamelyikével. A gépnek ugyanis meg se kottyan, hogy pár oldalas kifejezésekkel műveleteket végezzen. Arra az esetre, ha nincs kéznél számítógép, bemutatunk néhány egyszerű fogást, mellyel a számolás fájdalommentesebbé tehető.

Először is a (6) képletből

tg 2 T 4 = sin 2 T 4 cos 2 T 4 = 1 - cos T 2 1 + cos T 2 = 2 cos a 2 cos b 2 cos c 2 - cos 2 a 2 - cos 2 b 2 - cos 2 c 2 + 1 2 cos a 2 cos b 2 cos c 2 + cos 2 a 2 + cos 2 b 2 + cos 2 c 2 - 1 .

(7)

A cos ( x + y ) + cos ( x - y ) = 2 cos x cos y és a cos ( x - y ) - cos ( x + y ) = 2 sin x sin y azonosságokat elosztva egymással a

tg x tg y = cos ( x - y ) - cos ( x + y ) cos ( x + y ) + cos ( x - y )

azonossághoz jutunk, melyből

tg s 2 tg ( s - a ) 2 = cos a 2 - cos b 2 + c 2 cos a 2 + cos b 2 + c 2 ,

(8)

és

tg ( s - b ) 2 tg ( s - c ) 2 = cos b 2 - c 2 - cos a 2 cos b 2 - c 2 + cos a 2 .

(9)

A (8) és (9) egyenleteket összeszorozva,

tg s 2 tg ( s - a ) 2 tg ( s - b ) 2 tg ( s - c ) 2 = - cos 2 a 2 + cos a 2 [ * ] - { * * } cos 2 a 2 + cos a 2 [ * ] + { * * } ,

(10)

ahol a szögletes zárójelben álló tag

[ * ] = cos b 2 + c 2 + cos b 2 - c 2 = 2 cos b 2 cos c 2 ,

a kapcsos zárójelben álló tag pedig:

{ * * } = cos b 2 + c 2 cos b 2 - c 2 = cos b + cos c 2 = = 2 cos 2 b 2 - 1 + 2 cos 2 c 2 - 1 2 = = cos 2 b 2 + cos 2 c 2 - 1 .

Visszahelyettesítve a (10) egyenletbe,

tg s 2 tg ( s - a ) 2 tg ( s - b ) 2 tg ( s - c ) 2 = = - cos 2 a 2 + 2 cos a 2 cos b 2 cos c 2 - cos 2 b 2 + cos 2 c 2 - 1 cos 2 a 2 + 2 cos a 2 cos b 2 cos c 2 + cos 2 b 2 + cos 2 c 2 - 1 .

Összehasonlítva ezt a (7) egyenlőséggel láthatjuk, hogy a bizonyítandó állítás igaz. ?

4.3. Tétel (Delambre-féle analógiák). Egy gömbháromszög oldalai és szögei közt a szokásos jelölések használata mellett fennállnak az alábbi összefüggések:

cos ? - ß 2 sin c 2 = sin a + b 2 sin ? 2 , (11) sin ? - ß 2 sin c 2 = sin a - b 2 cos ? 2 , (12) sin ? + ß 2 cos c 2 = cos a - b 2 cos ? 2 , (13) cos ? + ß 2 cos c 2 = cos a + b 2 sin ? 2 . (14)

Bizonyítás. A bizonyítandó képletekben a és b szerepe szimmetrikus, így az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a ? b .

Legyenek A , B , C a gömbháromszög csúcsai, C ' pedig legyen a C -vel átellenes pont. Az A B C ' gömbháromszög oldalai ? - a , ? - b , c , szögei pedig ? - ? , ? - ß , ? nagyságúak, így a Delambre-analógiák pontosan akkor érvényesek az A B C gömbháromszögben, ha az A B C ' gömbháromszögben is azok. Mivel vagy a + b ? ? , vagy ( ? - a ) + ( ? - b ) ? ? , feltehető, hogy a + b ? ? .

A C A és C B oldalak A -n, illetve B -n túli meghosszabbításai egy ? nyílásszögű, C és C ' csúcsú gömbkétszöget határolnak, melynek K belső gömbi szimmetriaközéppontja a szögeit felező félkörív felezőpontja. Legyenek A ' és B ' az A és B K -ra vonatkozó gömbi tükörképei. A szimmetria miatt az A B oldal F felezőpontjának K -ra vonatkozó gömbi tükörképe az A ' B ' gömbi szakasz F ' felezőpontja. Mivel d ( A , F ) = d ( B , F ) = d ( A ' , F ' ) //<// ? / 2 , az A , B és A ' pontokból pontosan egy merőleges bocsátható az F K F ' gömbi egyenesre. Mindhárom merőleges két-két pontban metszi az F K F ' gömbi egyenest. Jelölje ezek közül A¯ , B ¯ , illetve A¯ ' azokat a metszéspontokat, melyek az A , B , illetve A ' pontoktól ? / 2 -nél kisebb távolságra esnek.

Az F -re vonatkozó gömbi tükrözés az F B B ¯ gömbháromszöget az F A A¯ gömbháromszögbe, míg a K -ra vonatkozó tükrözés az F A A¯ gömbháromszöget az F ' A ' A¯ ' gömbháromszögbe viszi, ezek a gömbháromszögek tehát egybevágók. Ebből egyrészt következik, hogy az A¯ F , F B ¯ és F ' A¯ ' gömbi szakaszok hossza egyenlő, és közös x hosszuk megegyezik az F F ' szakasz K felezőpontjának és a B ¯ A¯ ' szakasz L felezőpontjának gömbi távolságával is. Másfelől azt is kapjuk, hogy a B B ¯ A¯ ' A ' gömbi négyszög szimmetrikus a B ¯ A¯ ' gömbi szakasz t gömbi felező merőlegesére. Ebből a szimmetriából következik, hogy az A¯ ' B ¯ és B A ' oldalak M és N metszéspontjai szintén a négyszög szimmetriatengelyére szimmetrikusan helyezkednek el, így d ( M , L ) = d ( L , N ) = ? / 2 és d ( M , B ) = d ( N , A ' ) . Ha feltesszük, hogy a szimmetriatengelynek M és N közül M esik a B felőli oldalára, akkor

d ( M , B ) = ? - d ( A ' , B ) 2 = d ( C , B ) + d ( A ' , C ' ) 2 = a + b 2 .

16. ábra.

(Ennél az egyenlőségnél használtuk fel az a + b ? ? feltevésünket. Miért?) A K -ra való középpontos szimmetria miatt C A A¯ ? = C ' A ' A¯ ' ? , a t -re vonatkozó tengelyes szimmetria miatt pedig C ' A ' A¯ ' ? = M B B ¯ ? .

Ha ? -val jelöljük az A¯ A F ? = B ¯ B F ? szögek közös értékét, akkor az a ? b rendezést felhasználva

? - ? = C A F ? - F A A¯ ? = = C A A¯ ? = C B B ¯ ? = C B F ? + F B B ¯ ? = ß + ?

adódik, amiből ? = ( ? - ß ) / 2 . Alkalmazzuk a gömbi szinusztételt a C K M gömbháromszögre:

sin ? 2 sin C M K ? = sin d ( M , K ) sin d ( C , K ) = sin ? 2 - x sin ? 2 = cos x .

(15)

A sin C M K ? értéket kifejezhetjük az M B ¯ B derékszögű gömbháromszögből:

sin C M K ? = sin B ¯ M B ? = sin d ( B ¯ , B ) sin d ( M , B ) = sin d ( B ¯ , B ) sin a + b 2 .

(16)

A cos x érték pedig megkapható, ha a 2.8. tételt és a szinusztételt alkalmazzuk az F B ¯ B derékszögű háromszögben:

cos x = cos B ¯ B F ? sin B ¯ F B ? = cos ? sin d ( F , B ) sin d ( B ¯ , B ) = cos ( ? - ß ) 2 sin c 2 sin d ( B ¯ , B ) .

(17)

Behelyettesítve a (16), (17) egyenleteket (15)-be a

sin ? 2 sin a + b 2 sin d ( B ¯ , B ) = cos ( ? - ß ) 2 sin c 2 sin d ( B ¯ , B )

összefüggést kapjuk, amit sin d ( B ¯ , B ) -vel beszorozva adódik a (11) azonosság.

A (12) azonosság bizonyításához a K M gömbi szakasz M -en túli meghosszabbításán vegyük fel az x hosszúságú M C ¯ gömbi szakaszt. Mivel ekkor d ( K , C ) = d ( K , C ¯ ) , a K C C ¯ háromszögnek a C és C ¯ csúcsánál egyaránt derékszög van. Ezt felhasználva

cos ? 2 = sin C ¯ C M ? = sin d ( C ¯ , M ) sin d ( C , M ) = sin x sin ( a - b ) 2 .

(18)

Tekintve az F B ¯ B derékszögű háromszöget,

sin x = sin ? · sin c 2 .

(19)

Az (18) és (19) egyenlőségek egybevetéséből egyszerűen kapható a (12) Delambre-formula.

Ha a (11) azonosságot a háromszög poláris háromszögére alkalmazzuk, akkor megkapjuk a (13) azonosságot.

Végül, ha a (12) formulát a B , C és az A -val átellenes pont által kifeszített gömbháromszögre alkalmazzuk, melynek oldalai a ' = a , b ' = ? - b , c ' = ? - c , szögei ? ' = ? , ß ' = ? - ß , ? ' = ? - ? nagyságúak, akkor éppen a (14) azonossághoz jutunk. ?

A Delambre-azonosságokat páronként elosztva egymással újabb nevezetes azonosságokhoz juthatunk:

4.4. Következmény (Napier-féle analógiák).

tg ? - ß 2 = sin a - b 2 sin a + b 2 ctg ? 2 , (20) tg ? + ß 2 = cos a - b 2 cos a + b 2 ctg ? 2 , (21) tg a - b 2 = sin ? - ß 2 sin ? + ß 2 tg c 2 , (22) tg a + b 2 = cos ? - ß 2 cos ? + ß 2 tg c 2 . (23)

A Delambre- és Napier-szabályokat jól lehet használni a gyakorlatban, előszeretettel alkalmazzák őket például a csillagászatban. Ennek az az oka, hogy a félszögek trigonometrikus függvényeiről szólnak, amelyek egyértelműen meghatározzák a 0 és ? közé eső szögeket. Ezzel szemben például sin ? értékéből ? -ra általában két lehetőséget kapunk.