Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

3. „Kétéltű” tételek

3. „Kétéltű” tételek

Az előző rész tételei jól szemléltetik, hogy a gömb belső geometriája mennyire más, mint euklideszi síké. Ha egyszer véletlenül elkeverednénk egy „gömbi gimnáziumba”, és előadnánk elméletünket arról, hogy két különböző egyenesnek nulla, vagy egy metszéspontja lehet, és hogy a háromszög szögösszege mindig ? , bizony furcsán néznének ránk diáktársaink, a matektanárunkról nem is beszélve, hiszen ott még az általános iskolás kis gömbsapkák is tudják, hogy két egyenesnek mindig pontosan két metszéspontja van, melyek távolsága bármely két egyenes esetén ugyanaz, a háromszögek szögösszege pedig mindig nagyobb, mint ? és annál nagyobb a szögösszeg, minél nagyobb a háromszög területe. Azt jelenti ez, hogy átkerülve egy gömbi iskolába legjobb, ha mindent elfelejtünk abból, amit régi iskolánkban tanultunk? Nem egészen. A két geometriának ugyanis sok közös vonása is van. Számos tétel mindkét geometriában érvényes, és gyakran előfordul, hogy a két geometria eltérő tételeinek van egy közös gyökere. Ilyen közös – kétéltű – tételekre szeretnénk most néhány példát mutatni.

Kezdjük néhány egyszerű állítással. Kétéltű tételeinknek csak a gömbi változatát fogalmazzuk meg, bízva abban, hogy az olvasó jól ismeri és könnyen felidézi a megfelelő euklideszi tételeket.

3.1. Állítás. A gömböt egy k gömbi egyenes két részre vágja oly módon, hogy két pont pontosan akkor tartozik egy részhez, ha az őket összekötő gömbi szakaszok nem metszik k -t.

A részeket a k által határolt nyílt félgömböknek nevezzük. A nyílt félgömbökhöz k -t hozzávéve a k által meghatározott zárt félgömböket kapjuk.

3.2. Állítás. Két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye a gömbön egy gömbi egyenes, mely a két pontot összekötő gömbi szakaszokat felezi és merőlegesen metszi.

A kapott mértani helyet a két pont gömbi szakaszfelező merőlegesének hívjuk. Az állítás egyébként egyszerű következménye annak, hogy két pont gömbi távolsága a két pont euklideszi távolságának szigorúan monoton függvénye, az euklideszi térben pedig tudjuk, hogy két ponttól egyenlő távolságra fekvő pontok a két pont szakaszfelező merőleges síkjába esnek, ez a sík pedig épp az adott főkörben metszi a gömböt. Ebből a gondolatmenetből egy erősebb állítás is kijön.

3.3. Állítás. Az A és B gömbi pontok szakaszfelező merőlegese a gömböt két félgömbre osztja. Ezek közül az A -t tartalmazó nyílt félgömb a gömb azon pontjaiból áll, melyeknek A -tól mért gömbi távolsága kisebb, mint a B -től mért gömbi távolsága.

3.4. Állítás. Egy gömbháromszögben nagyobb oldallal szemközt nagyobb szög van. Egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek fekszenek.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az A B C gömbháromszögben, a szokásos jelöléseket használva, a //<// b . Ekkor C az A B oldal gömbi szakaszfelező merőlegesének arra az oldalára esik, amelyikre B . Ebből következik, hogy az A C gömbi szakasz metszi a felező merőlegest egy C * pontban. A felező merőleges síkjára való szimmetria miatt ? = C * A B ? = C * B A ? , másrészt nyilván C * B A ? //<// C B A ? = ß . Ha a = b , akkor a fenti gondolatmenet úgy, módosul, hogy C = C * miatt ? = C * A B ? = C * B A ? = ß fog fennállni. ?

Ha három gömbi egyenesnek van közös pontja, akkor nyilvánvaló, hogy a közös ponttal átellenes pont szintén illeszkedik mindhárom gömbi egyenesre. Amikor azt mondjuk, hogy három gömbi egyenes egy ponton megy át, azt úgy fogjuk érteni, hogy van egy olyan pont melyen mindhárman átmennek, és nem úgy, hogy csak egy közös pontjuk van.

3.5. Állítás. Ha adott három pont a gömbön, mondjuk A , B és C , akkor az A B , B C és A C pontpárok szakaszfelező merőlegesei egy ponton mennek át. Ha K a szakaszfelező merőlegesek egyik közös pontja, akkor K körül rajzolható egy olyan gömbi kör, mely átmegy az A , B , C pontokon.

Ezek szerint a gömbön három pontra mindig egyértelműen illeszthető egy kör. Négy pontra ez már nyilván nem lehet igaz, hiszen a négy pont közül valamelyik hármon átmenő kör nem biztos, hogy a negyedik ponton is átmegy. Vizsgáljuk meg, hogy a húrnégyszögek euklideszi jellemzése, és az ezzel összefüggő kerületi és középponti szögek tétele milyen módosításokkal vihető át a gömbre.

Rögzítsünk egy körívet a gömbön, melynek végpontjai A és B . A kerületi szögek tétele szerint, az A C B ? euklideszi látószög nem változik miközben a C pont végigfut ezen az íven. Az A C B ? gömbi látószög viszont nem állandó, azaz a kerületi szögek tétele a gömbön nem érvényes. Ugyanakkor, a kerületi és középponti szögek tételének van egy gömbön is érvényes átfogalmazása, amit úgy kaphatunk meg, hogy a kerületi és középponti szögekről szóló tétel szokásos euklideszi bizonyításából kiszűrjük a nem kétéltű részleteket, és megvizsgáljuk, hogy ezek nélkül milyen összefüggésig lehet eljutni. A tétel kimondása előtt vezessünk be néhány jelölést.

Nevezzük az A B gömbi egyenes által határolt két félgömb közül az egyiket felső félgömbnek, a másikat alsónak. Egy rögzített ? ? ( - ? / 2 , ? / 2 ) számra legyen K ? az a pont az A B gömbi szakasz gömbi felező merőlegesén, melyre K ? A B ? = | ? | és mely a felső félgömbön fekszik, ha ? pozitív, az alsón, ha ? negatív. Jelölje i ? azt a felső félgömbön haladó, A -n és B -n átmenő körívet, melynek gömbi középpontja K ? . Miközben ? végigfut a ( - ? / 2 , ? / 2 ) intervallumon, az i ? körív végigsöpri a felső félgömböt.

12. ábra.

3.6. Állítás. Ha C az i ? ív egy tetszőleges pontja, akkor az A B C gömbháromszög ? , ß , ? szögeire ? + ß - ? = 2 ? .

Bizonyítás. Mivel a K ? A B , K ? B C és K ? C A gömbháromszögek egyenlő szárúak, a 3.4. állítás szerint

K ? A B ? = K ? B A ? , (1) K ? B C ? = K ? C B ? , (2) K ? C A ? = K ? A C ? . (3)

A pontok elrendezését tekintve különválasztunk néhány esetet.

Ha K ? az alsó félgömbön, vagy az A B gömbi egyenesen van, akkor ? ? 0 , és

? = K ? C A ? + K ? C B ? = K ? A C ? + K ? B C ? = ( ? - ? ) + ( ß - ? ) ,

(4)

amiből egyszerű átrendezéssel ? + ß - ? = 2 ? .

Ha K ? a felső félgömbön van, és az A B C gömbháromszöghöz tartozik, akkor ? //>// 0 , de (4) érvényben marad.

Ha K ? a felső félgömbön van, de nem tartozik az A B C gömbháromszöghöz, akkor két további esetet kellene még megkülönböztetnünk annak megfelelően, hogy a C csúcs A és B közül melyikhez esik közelebb. Az A és B csúcsok szimmetrikus szerepe miatt azonban elég azzal az esettel foglalkozni, amikor például d ( A , C ) //<// d ( B , C ) . Ebben az esetben

? = K ? C A ? - K ? C B ? = K ? A C ? - K ? B C ? = ( ? - ? ) - ( ? - ß ) ,

ami bizonyítja az állítást. ?

13. ábra.

3.7. Tétel. Egy gömbi négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha a szemközti szögeinek összege egyenlő.

Bizonyítás. Legyen A B C D egy tetszőleges gömbi négyszög, és tegyük fel, hogy a B és D csúcsok az A C átlónak különböző oldalára esnek. (Ezt feltehetjük, mert a két átló közül legalább az egyik rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.) Legyen K 1 az A B C háromszög köré írt kör két gömbi középpontja közül az, amelyik közelebb van a háromszög csúcsaihoz, és hasonlóan K 2 legyen az A D C háromszög köré írt kör gömbi középpontjai közül az, amelyik az A D C csúcsokhoz közelebb van. Válasszuk a ? 1 , ? 2 ? ( - ? / 2 , ? / 2 ) számokat úgy, hogy K 1 A C ? = | ? 1 | , K 2 A C ? = | ? 2 | fennálljon és ? 1 (illetve ? 2 ) pontosan akkor legyen pozitív, ha a K 1 B (illetve K 2 D ) gömbi szakasz nem metszi az A C gömbi egyenest. Ekkor a 3.6. tétel alkalmazásával

B A C ? + B C A ? - A B C ? = 2 ? 1 , D A C ? + D C A ? - A D C ? = 2 ? 2 .

Az A B C D négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha K 1 = K 2 , ez pedig akkor és csak akkor áll fenn, ha ? 1 + ? 2 = 0 , vagyis ha

0 = 2 ( ? 1 + ? 2 ) = = B A C ? + B C A ? - A B C ? + D A C ? + D C A ? - A D C ? = B A D ? + B C D ? - A B C ? - A D C ? .

Ezzel az állítást beláttuk. ?

Megjegyzés. A 3.7. tétel hangzását tekintve nagyon hasonlít az érintőnégyszögeket jellemző tételhez, mely szerint egy konvex négyszög a síkon akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha a szemközti oldalainak összege egyenlő. A két tétel között a formai hasonlóságon túl sokkal szervesebb kapcsolat van, melyre a gömbi geometria világít rá. Már volt szó arról, hogy a gömbön minden gömbháromszöghöz hozzárendelhető egy poláris gömbháromszög. Ez a konstrukció kiterjeszthető gömbi konvex halmazokra, melyről részletesen olvashatunk ebben a könyvben, Moussong Gábor írásának 3. fejezetében. Ha T egy konvex gömbi tartomány, akkor az ő T * poláris tartományát úgy definiáljuk, mint azon pontok halmazát, melyek T minden pontjától a gömbön mérve legalább ? / 2 távolságra fekszenek. Ha T egy konvex gömbi négyszög ? , ß , ? , ? szögekkel, akkor T * is egy konvex gömbi négyszög és oldalai

a * = ? - ? , b * = ? - ß , c * = ? - ? , d * = ? - ?

(5)

nagyságúak. Az is könnyen meggondolható, hogy egy konvex r //<// ? / 2 sugarú K gömbi körlap K * polárisa egy ? / 2 - r sugarú körlap, és K pontosan akkor megy át a T csúcsain, ha K * érinti a T * oldalait. Ebből következik, hogy a polaritás kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít a gömbi húrnégyszögek és az érintőnégyszögek között. Másrészt (5) miatt ? + ? = ß + ? akkor és csak akkor áll fenn, ha a * + c * = b * + d * . A húrnégyszögeket jellemző 3.7. tétel tehát egyenértékű az érintőnégyszögeket jellemző tétellel, mely ezek szerint a gömbön is érvényes.

3.8. Tétel (Lexell tétele). Legyen A és B a g gömb két különböző pontja, A ' és B ' a velük átellenes pontok, g + az A B főkör által határolt félgömbök közül az egyik, ? ? ( 0 , 2 ? ) egy rögzített szám. Ekkor azon C ? g + pontok mértani helye, melyekre az A B C gömbháromszög területe ? , egy A ' -t és B ' -t összekötő körív.

A mértani helyként adódó köríveket szokás Lexell-köröknek nevezni. Ha a mértani helyet a g + helyett a teljes gömbön keressük, akkor nyilván az A B főkör síkjára szimmetrikus körívpárt kapunk.

Bizonyítás. Ha C ? g + egy tetszőleges pont, akkor az A B C gömbháromszög ? , ß , ? szögeivel ki tudjuk fejezni az A ' B ' C gömbháromszög szögeit:

B ' C A ' ? = ? , ? ' = B ' A ' C ? = ? - ? és ß ' = A ' B ' C ? = ? - ß .

Ebből ? + ß + ? - ? = ? - ( ? ' + ß ' - ? ) , tehát az A B C gömbháromszög területe akkor állandó, ha ( ? ' + ß ' - ? ) állandó, vagyis ha a C pont egy A ' -t és B ' -t összekötő köríven mozog. ?

14. ábra.

Lexell tétele nem „kétéltű”, hiszen az euklideszi síkon azon C pontok mértani helye, melyekre az A B C háromszög területe állandó, nem egy körívpár, hanem két párhuzamos egyenes az A B egyenes két oldalán. Hogyan lehet a két látszólag különböző jellegű mértani helyet azonos módon származtatni? Lexell tételéből könnyen levezethetjük az alábbi kétéltű tételt: Nevezzük az A B C gömbháromszög A B oldalához tartozó középvonalának az A C és B C gömbi szakaszok felezőpontjait összekötő gömbi szakaszt.

3.9. Tétel. Tegyük fel, hogy C és C ' az A B gömbi egyenesnek ugyanarra az oldalára esnek. Ekkor az A B C és A B C ' gömbháromszögek területe pontosan akkor lesz egyenlő, ha az A B oldalhoz tartozó középvonalaik egy gömbi egyenesre esnek. Ha a két háromszögnek ugyanakkora a területe, akkor a C és C ' csúcsok az A B oldalhoz tartozó középvonalak közös egyenesétől azonos távolságra esnek.

Bizonyítás. Jelöljük A ' -vel és B ' -vel az A és B tükörképeit a gömb O középpontjára, ? -val a C -n átmenő Lexell-kör síkját. Mivel ? átmegy az A ' és B ' pontokon, ? O -ra vonatkozó ? ' tükörképe párhuzamos ? -val és átmegy az A és B pontokon. Legyen ? az O -n átmenő, ? -val párhuzamos sík. Az O -ra vonatkozó szimmetria miatt ? és ? ' ugyanolyan távolságra fekszik ? -től, ezért a ? sík felezi az A C és B C euklideszi szakaszokat. Mivel egy ? -nél rövidebb gömbi szakasz felezőpontját úgy kaphatjuk meg, hogy a végpontok által meghatározott euklideszi szakasz felezőpontját O -ból kivetítjük a gömbre, és O a ? síkban van, ? felezi az A C és B C gömbi szakaszokat is, tehát ? a gömböt az A B C gömbháromszög A B -hez tartozó középvonalának egyenesében metszi. Összefoglalva, az A B C gömbháromszög A B oldalához tartozó középvonalának síkja a C ponton átmenő Lexell-kör síkjával párhuzamos, O -t tartalmazó sík. Ez a leírás mutatja, hogy a Lexell-kör és a középvonal egyenese egymást egyértelműen meghatározzák, ami bizonyítja az állításunk első felét. A tétel második feléhez elég azt meggondolni, hogy a C pont ugyanolyan gömbi távolságra van az A B oldalhoz tartozó középvonaltól, mint az A és B csúcsok. Ez szintén az előző fejtegetés következménye. Valóban, egy pont és egy gömbi egyenes gömbi távolsága csak attól függ, hogy milyen messze van a pont a gömbi egyenes síkjától, az A , B ? ? ' és C ? ? pontok pedig ugyanolyan távolságra vannak a ? síktól. ?

A sima felületek belső geometriájában bevezethető egy tetszőleges felületi görbe parallelgörbéinek fogalma. Tegyük fel, hogy egy felületi görbének minden pontjában van érintője. Szerkesszük meg minden P görbeponthoz azt a geodetikust, mely a görbét az adott pontban merőlegesen metszi, majd mérjük fel erre a geodetikusra P -ből a d távolságot valamelyik irányban és jelöljük P d -vel a kapott d hosszúságú ív másik végpontját. Miközben P folytonosan mozog a görbén, P d is egy folytonos görbét ír le, feltéve, hogy P -vel együtt folytonosan változtatjuk azt az irányt is, amerre felmérjük a d távolságot. A P d pont által leírt görbét az eredeti görbe parallelgörbéjének nevezzük.

Az euklideszi sík, illetve a gömb belső geometriájában az egyenesek, illetve gömbi egyenesek parallelgörbéit szokás egységesen hiperciklusoknak nevezni. Egy rögzített egyeneshez tartozó hiperciklusok az euklideszi síkon egy párhuzamos egyenessereget alkotnak, míg egy gömbi egyeneshez tartozó hiperciklusok egy párhuzamos síkokból álló síksor által a gömbből kimetszett körök.

Lexell tétele egyenértékű az alábbi kétéltű tétellel:

3.10. Tétel. Legyen adott egy A B C 0 gömbháromszög és jelölje g + az A B gömbi egyenes által határolt C 0 -t tartalmazó félgömböt, k pedig az A B C 0 gömbháromszög A B oldalához tartozó középvonalát. Ekkor azon C ? g + pontok mértani helye, melyekre az A B C gömbháromszög területe megegyezik az A B C 0 gömbháromszög területével, a k középvonalhoz tartozó, C 0 ponton átmenő hiperciklus g + félgömbbe eső része.

Az eddigi példáink azt mutatják, hogy elsősorban a kvalitatív jellegű tételeknek lehet olyan átfogalmazását adni, mely mindkét geometriában érvényes. Néha azonban közös alakra hozhatjuk a két geometria kvantitatív tételeit, vagyis formuláit is olyan függvények bevezetésével, melyek azonos geometriai tartalommal bírnak, de konkrét értékük a geometriától függ.

Jelölje például k ( r ) , illetve t ( r ) az r sugarú kör kerületét, illetve területét. Az euklideszi síkon k ( r ) = 2 ? r , t ( r ) = ? r 2 , az egységgömbön k ( r ) = 2 ? sin r , t ( r ) = 2 ? ( 1 - cos r ) . „Kétéltű” tételeink sorát két formulával zárjuk, melyek a k ( r ) és t ( r ) függvények használatával nyerték el univerzális alakjukat.

3.11. Tétel (Bolyai-féle abszolút szinusztétel). Egy háromszög oldalai és szögei között fennáll az alábbi összefüggés:

sin ? : sin ß : sin ? = k ( a ) : k ( b ) : k ( c ) .

3.12. Tétel.

t ( r ) = ? 0 r k ( ? ) d ? .

Vagyis az euklideszi síkon r 2 ? = ? 0 r 2 ? ? d ? , a gömbön 2 ( 1 - cos r ) ? = ? 0 r 2 ? sin ? d ? .

Ennek a formulának az az érdekessége, hogy bármely görbült felületen érvényes olyan formában, hogy egy O középpontú, r sugarú felületi körlap területe egyenlő az O középpontú, ? sugarú körök kerületeinek integráljával a [ 0 , r ] intervallumon.