Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

2. A gömb belső geometriája, egy „más világ”

2. A gömb belső geometriája, egy „más világ”

Bolyai János így írt édesapjának a hiperbolikus geometria felfedezésével kapcsolatban: „… semmiből egy ujj, más világot teremtettem”. A gömbi geometria is egy más, nemeuklideszi világ, mely a hiperbolikus geometriával nagyon szoros kapcsolatban áll.

Tekintsünk egy egységsugarú, O középpontú g gömböt. (Elegendő az egységsugarú gömbökkel foglalkoznunk, hiszen bármely két gömb hasonló.) A gömbök síkmetszetei körök, melyek közül azok a legnagyobbak, melyek síkja átmegy a gömb középpontján. A maximális sugarú körök a gömbön a főkörök. A későbbiekben be fogjuk látni, hogy a g gömb minimális geodetikus ívei a ? -nél nem hosszabb főkörívek. Az alábbi definíciók így teljes összhangban lesznek a bevezetőben mondottakkal.

1. Definíció. Gömbi szakaszoknak nevezzük a g ? -nél nem hosszabb főköríveit. Gömbi egyeneseknek fogjuk nevezni a gömb főköreit.

Ha A és B a gömb két nem átellenes pontja, akkor az A O B sík kimetsz g -ből egy főkört. Ennek az A és B közé eső rövidebb íve a két pontot összekötő egyetlen gömbi szakasz. Ha A és B átellenes pontok, akkor végtelen sok ? hosszúságú gömbi szakasz köti össze őket.

2. Definíció. Az A és B pontok gömbi távolsága, melyet d ( A , B ) -vel jelölünk, az őket összekötő gömbi szakasz(ok) hossza.

2. ábra.

Ha az A , B , C pontok nincsenek egy főkörön, akkor közülük semelyik kettő sem átellenes, így páronként egyértelműen meghatároznak egy-egy gömbi szakaszt. A három gömbi szakasz a gömböt két részre vágja. A két rész közül a kisebbiket fogjuk az A B C gömbháromszögnek nevezni. (A „kisebbik” tartományt jellemezhetjük például azzal, hogy O -ra vonatkozó tükörképe benne van a másik tartományban.) Az A B C gömbháromszög csúcsai az A , B , C pontok, oldalszakaszai az A , B , C pontokat páronként összekötő gömbi szakaszok. Az oldalak hosszait a szokásos módon jelöljük: a = d ( B , C ) , b = d ( A , C ) és c = d ( A , B ) .

Az A B C gömbháromszög szögeit definiálhatjuk az általános szabály szerint: legyen B A C ? = ? az A B ^ és A C ^ főkörívek A -beli érintő félegyeneseinek szöge. Ez persze egyenlő az O A egyenes által határolt, B -t, illetve C -t tartalmazó félsíkok által bezárt szöggel. Hasonlóan adhatjuk meg az A B C ? = ß és B C A ? = ? szögeket. Az A B C euklideszi háromszög A csúcsnál lévő szöge általában különbözik az A B C gömbháromszög ? szögétől. Hogy az ebből adódó zavart elkerüljük, az euklideszi szögek jelölésére a ? jelet fogjuk használni a ? helyett.

Ismerkedjünk meg a gömbi trigonometria néhány alapvető összefüggésével.

2.1. Tétel (Gömbi szinusztétel). A szokásos jelölések mellett egy gömbháromszögben teljesül a

sin a : sin b : sin c = sin ? : sin ß : sin ?

azonosság.

Bizonyítás. Legyen az A pont merőleges vetülete az O B C síkra D , s legyen D vetülete az O B , illetve O C egyenesekre E és F . Ekkor nyilván A E ? O B és A F ? O C . Viszont A E D ? = ß és A F D ? = ? , tehát sin ß = A D / A E és sin ? = A D / A F , ezért sin ß : sin ? = A F : A E . Azonban A O B ? = c , így A E = sin c . Hasonlóan A F = sin b , tehát sin ß : sin ? = sin b : sin c . A tétel többi része hasonlóan bizonyítható. ?

3. ábra.

2.2. Tétel (Gömbi koszinusztétel az oldalakra).

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos ? .

4. ábra.

Bizonyítás. Először megjegyezzük, hogy ha adott a síkon két egymásra merőleges egységvektor, a és v , akkor az a vektor t szöggel vett elforgatottja a v irányába a ' = cos t a + sin t v .

Legyenek az O pontból a háromszög csúcsaiba mutató vektorok a , b és c . Legyen továbbá v b az az egységvektor, mely a gömbháromszög A B ^ oldalszakaszának A -beli érintő félegyenese irányába mutat. Hasonlóan vegyük fel az A C ^ oldalszakaszt A -ban érintő v c egységvektort is. Ekkor az előbbi megjegyzésünk szerint b = cos c a + sin c v b és c = cos b a + sin b v c . A kapott egyenleteket skalárisan összeszorozva

cos a = b c = ( cos c a + sin c v b ) ( cos b a + sin b v c ) = cos b cos c a 2 + cos c sin b a v c + cos b sin c a v b + sin b sin c v b v c = cos b cos c + sin b sin c cos ?

adódik, hiszen a 2 = 1 , a v b = a v c = 0 és v b v c = cos ? , s éppen ezt akartuk belátni. ?

2.3. Következmény. Egy gömbháromszög oldalaira teljesül a háromszögegyenlőtlenség, azaz bármely két oldal összege nagyobb, mint a harmadik oldal. Egy gömbháromszög kerülete kisebb, mint egy főkör hossza.

Bizonyítás. 0 //<// ? //<// ? miatt cos ? //>// - 1 , s ezért

cos a //>// cos b cos c - sin b sin c = cos ( b + c ) .

Node 0 //<// a //<// ? , 0 //<// b + c //<// 2 ? , s a koszinuszfüggvény szigorúan monoton csökken a [ 0 , ? ] intervallumon, míg szigorúan monoton nő a [ ? , 2 ? ] intervallumon, így a //<// b + c //<// 2 ? - a . Tehát egyrészt a //<// b + c , másrészt a + b + c //<// 2 ? . ?

5. ábra.

2.4. Következmény. Egy gömbi szakaszokból összerakott P 0 P 1 P N gömbi töröttvonal hossza legalább akkora, mint a végpontok gömbi távolsága. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a töröttvonalat alkotó gömbi szakaszok egyrétűen fednek le egy gömbi szakaszt.

Bizonyítás. N szerinti teljes indukcióval könnyen látható, a részleteket az olvasóra bízzuk. ?

A 2.4. következmény segítségével már könnyen leírhatjuk a gömb minimális geodetikus íveit. Az ehhez kapcsolódó állítás pontos megfogalmazásához és bizonyításához szükségünk van arra, hogy pontosan megmondjuk, mit értünk görbén, illetve egy görbe ívhosszán.

A geometriában többféle görbefogalmat használnak. Alapvetően két irányból közelíthetünk a görbe fogalmához. Az egyik megközelítés szerint a görbe a sík vagy a tér egy egydimenziós részhalmaza, a görbe hossza pedig egy alkalmas mértékkel mért nagysága. Ez a megközelítés két problémát is felvet. Meg kell találnunk annak pontos jellemzését, hogy egy halmazt mikor nevezzünk egydimenziósnak, illetve meg kell adnunk, hogy hogyan határozzuk meg egy halmaz egydimenziós mértékét. Az ilyen típusú kérdésekkel a matematika két viszonylag fiatal ága, a dimenzióelmélet és a geometriai mértékelmélet foglalkozik.

A másik megközelítés szerint a görbéket folytonos mozgások útvonalaiként értelmezzük. Egy folytonos mozgást matematikailag egy f : [ a , b ] E 3 folytonos leképezéssel adhatunk meg, ahol [ a , b ] az az időintervallum, mely alatt a mozgás lezajlik, t ? [ a , b ] esetén pedig f ( t ) a térnek az a pontja, ahol a mozgó pont a t időpillanatban tartózkodik. A mozgás során érintett pontok halmaza a dimenzióelméleti megközelítés szerint nem biztos, hogy görbe lesz. Giuseppe Peano (1858–1932) mutatott elsőként példát olyan folytonos mozgásra, mely egységnyi idő alatt egy négyzet minden pontján átmegy. Eltérő a két megközelítés hosszúság-fogalma is. Az első megközelítésnél a hosszúság csak a görbétől, mint ponthalmaztól függ, míg a másodiknál a mozgás során megtett út hosszát mérjük, tehát az is fontos, hogy az egyes útszakaszokon hányszor megyünk végig. Könnyebb kezelhetősége miatt a második megközelítést részesítjük előnyben, ennek filozófiája tükröződik az alábbi definícióban.

6. ábra.

3. Definíció. Folytonosan paraméterezett görbének nevezzük egy intervallum folytonos leképezését a térbe. Ha f : [ a , b ] E 3 egy folytonosan paraméterezett görbe az E 3 euklideszi térben, akkor az f ( a ) , f ( b ) pontokat a görbe kezdő- és végpontjának nevezzük. Ha a = t 0 //<// t 1 //<// ? //<// t N = b egy növő sorozat az [ a , b ] intervallumban, P i = f ( t i ) , akkor a P 0 P 1 P N töröttvonalat a görbe egy beírt töröttvonalának hívjuk. Azt mondjuk, hogy egy folytonosan paraméterezett görbe rektifikálható, ha beírt töröttvonalainak hossza egy adott korlát alatt marad; ebben az esetben a görbe ívhossza a legkisebb olyan szám, mely minden beírt töröttvonal hosszánál nagyobb, vagy egyenlő.

2.5. Tétel. A gömb minimális geodetikus ívei a gömbi szakaszok, vagyis két pontot összekötő rektifikálható paraméterezett gömbi görbe hossza legalább akkora, mint a két pont gömbi távolsága, és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a paraméterező leképezés egy olyan mozgást ír le, mely visszafordulás nélkül jár be egy gömbi szakaszt. A geodetikus mozgások a főkörök mentén történő állandó sebességű mozgások.

Bizonyítás. Tekintsünk két tetszőleges P , Q pontot a g gömbön, és köztük egy gömbön haladó, l hosszúságú f : [ a , b ] g folytonosan paraméterezett görbét. Mutassuk meg, hogy l ? d ( P , Q ) .

Legyen ? egy tetszőleges 1-nél kisebb pozitív szám. Ha A és B két tetszőleges pont a gömbön, akkor euklideszi és gömbi távolságuk közt az alábbi összefüggés áll fenn: | A B | = 2 sin ( d ( A , B ) / 2 ) . A nevezetes

lim x 0 sin x x = 1

határértéktételből azt kapjuk, hogy található egy olyan ? //>// 0 szám, hogy | A B | //>// ? d ( A , B ) , ha A és B ? -nál közelebb vannak egymáshoz.

Válasszuk ki a görbénknek egy olyan P 0 P 1 P N beírt töröttvonalát, melynek a P i - 1 P i alkotó szakaszai rövidebbek, mint ? . (Ilyen töröttvonal azért létezik, mert a zárt szakaszokon értelmezett folytonos függvények egyenletesen is folytonosak.) Ekkor az ívhossz definíciója, illetve a 2.4. következmény szerint

l ? | P 0 P 1 | + | P 1 P 2 | + ? + | P N - 1 P N | //>// ? d ( P 0 , P 1 ) + d ( P 1 , P 2 ) + ? + d ( P N - 1 , P N ) ? ? d ( P 0 , P N ) = ? d ( P Q ) .

Eszerint az l ? ? d ( P Q ) egyenlőtlenség minden1-nél kisebb ? -ra fennáll, ez viszont csak úgy lehetséges, ha l ? d ( P Q ) .

Ha a vizsgált paraméterezett görbe nem egy gömbi szakasz mentén történő visszafordulás nélküli mozgást ír le, akkor van olyan P 0 P 1 P N beírt töröttvonala, melyre a P i - 1 P i ^ gömbi szakaszok vagy nem esnek egy gömbi szakaszra, vagy egy gömbi szakaszra esnek ugyan, de azt többrétűen fedik le. Jelölje l i a görbe P i - 1 és P i közé eső ívének hosszát. Ekkor az imént bebizonyított egyenlőtlenség szerint l i ? d ( P i - 1 , P i ) . Összeadva ezeket az egyenlőtlenségeket és felhasználva a 2.4. következmény második felét,

l = l 1 + ? + l N ? ? d ( P 0 , P 1 ) + d ( P 1 , P 2 ) + ? + d ( P N - 1 , P N ) //>// d ( P Q ) .

Az állítás többi része innen már könnyen adódik. ?

Bemutatunk a gömbön egy konstrukciót, mely párba állítja a gömbháromszögeket. Érdekessége, hogy az euklideszi síkon nincs semmilyen megfelelője.

4. Definíció. Válasszuk az A * pontot a gömbön úgy, hogy az O A * vektor az O B C síknak azon egységnormálisa legyen, mely a síknak az A -t nem tartalmazó félterébe mutat. Hasonlóan definiáljuk B * -ot és C * -ot. Az A * B * C * gömbháromszög az A B C gömbháromszög poláris gömbháromszöge. A poláris gömbháromszög oldalait és szögeit a szokásos módon az a * , b * , c * és ? * , ß * , ? * betűkkel fogjuk jelölni.

2.6. Tétel. A poláris gömbháromszög poláris gömbháromszöge az eredeti gömbháromszög. A poláris gömbháromszög oldalai az eredeti gömbháromszög megfelelő szögeit ? -re egészítik ki. (A szögeket radiánban mérjük.)

7. ábra.

Bizonyítás. A definíció szerint O B * ? O A és O C * ? O A , tehát az O A vektor a B * O C * sík egyik egységnormálisa , továbbá d ( A , A * ) //>// ? / 2 miatt O A a B * O C * sík A * -ot nem tartalmazó félterébe mutat, tehát A * * = A . Hasonlóan látható, hogy B * * = B és C * * = C , vagyis az A * B * C * gömbháromszög polárisa az A B C gömbháromszög.

Az A B * C * gömbháromszög egyenlő szárú, hiszen A O B * ? = A O C * ? = ? / 2 miatt az A B * ^ és A C * ^ oldalszakaszok negyedkörök.

A merőlegességek következtében az A B * ^ , illetve A C * ^ ívek A -beli érintő egységvektorai az O B * , illetve O C * vektorok, így B * A C * ? = B * O C * ? = a * .

Az A B * ^ és A C * ^ ívek B * -, illetve C * -beli érintő egységvektora az O A vektor, mely merőleges az O B * C * sík minden vektorára, így A B * C * ? = A C * B * ? = ? / 2 . Hasonlóan látható, hogy az A C * B és A B * C gömbháromszögek egyenlő szárúak és A -nál lévő szögük derékszög.

Ezek szerint az A csúcsnál lévő teljes gömbi szöget az A B , A C , A B * és A C * gömbi szakaszok két derékszögre, egy ? nagyságú szögre és egy a * nagyságú szögre bontják, amiből ? + a * = ? következik. ?

A gömbháromszögekre vonatkozó tételeinkből újabbakat kaphatunk, ha azokat a poláris gömbháromszögre alkalmazzuk, majd megvizsgáljuk, hogy a tétel teljesülése mit jelent az eredeti háromszögre nézve.

2.7. Tétel (Gömbi koszinusztétel a szögekre). Egy gömbháromszög oldalaira és szögeire fennáll az alábbi összefüggés:

cos ? = - cos ß cos ? + sin ß sin ? cos a .

Bizonyítás. Az A * B * C * gömbháromszögre felírva az oldalakra vonatkozó koszinusztételt a cos a * = cos b * cos c * + sin b * sin c * cos ? * egyenlőséget kapjuk, s felhasználva, hogy a * = ? - ? , b * = ? - ß , c * = ? - ? és ? * = ? - a , adódik a bizonyítandó állítás. ?

2.8. Következmény. Ha az A B C gömbháromszög C csúcsánál fekvő ? szög derékszög, akkor

cos ? = sin ß cos a .

(2.8)

A szögekre vonatkozó koszinusztétel fontos következménye, hogy egy gömbháromszög szögei egyértelműen meghatározzák az oldalai hosszát, ellentétben a síkbeli háromszögekkel.

A 2.3. következményt a poláris háromszögre alkalmazva az a * //<// b * + c * , illetve a * + b * + c * //<// 2 ? egyenlőtlenségekhez jutunk, melyekből ? //>// ? + ß - ? , illetve ? //<// ? + ß + ? adódik. Egy gömbháromszög szögeinek összege tehát mindig nagyobb, mint ? ! Az ? + ß + ? - ? mennyiséget a gömbháromszög szögtöbbletének nevezzük. A szögtöbblet pozitivitása következik az alábbi tételből is, mely a szögtöbblet geometriai jelentését adja.

2.9. Tétel (Girard tétele). Egy gömbháromszög területe egyenlő a szögtöbbletével.

Bizonyítás. A teljes gömb területe 4 ? , ezért egy ? szögű gömbkétszög területe ? 2 ? 4 ? = 2 ? , hiszen a terület a szöggel arányos. Az A , B és C pontokkal átellenes pontok g -n legyenek A ' , B ' és C ' . Az A B és az A C főkörök meghatároznak két ? szögű gömbkétszöget, melyek unióját jelölje A A ' ? . A A ' ? , és a hasonlóan definiált B B ' ? , C C ' ? gömbkétszögpárok lefedik g -t, az A B C és A ' B ' C ' gömbháromszögeket háromszor, a gömb többi részét egyszer. Ha tehát az A B C gömbháromszög területe T A B C , akkor a gömbkétszögek területeinek összege 4 ( ? + ß + ? ) = 4 ? + 4 T A B C , s így T A B C = ? + ß + ? - ? . ?

8. ábra.

Egy egyszerű, (azaz önmagát át nem metsző), zárt gömbi töröttvonal a gömbfelületet két részre osztja. Az egyik részhez a töröttvonalat hozzávéve egy zárt gömbi sokszögtartományhoz jutunk. Ha a töröttvonalnak n csúcsa van, akkor gömbi n -szögtartományról beszélünk. Egy gömbi sokszögtartománynak minden csúcsában természetes módon definiálható a belső szöge. Két egymást kiegészítő gömbi sokszögtartomány egy közös csúcsban vett belső szögei egymást 2 ? -re egészítik ki. Ha ? az S gömbi sokszögtartomány belső szöge a P csúcsnál, akkor a ? - ? előjeles szögmértéket az S P -nél fekvő külső szögének nevezzük. Az euklideszi síkon egy n -szögtartomány belső szögeinek összege ( n - 2 ) ? . Egy gömbi n -szögtartomány belső szögeinek összege viszont mindig nagyobb ennél az értéknél. A szögösszegből kivonva az ( n - 2 ) ? mennyiséget a gömbi n -szög szögtöbbletét kapjuk.

2.10. Tétel. Egy gömbi sokszögtartomány területe egyenlő a szögfeleslegével. A terület és az előjeles külső szögek összege 2 ? .

A bizonyításhoz szükségünk lesz az alábbi segédtételre.

2.11. Lemma. Ha egy egyszerű zárt gömbi töröttvonalnak legalább négy csúcsa van, akkor a sokszögvonalnak van olyan átlója, melynek a töröttvonallal a két végponton kívül nincs más közös pontja.

Bizonyítás. Egy szemléletes bizonyítást adunk, és az olvasóra bízzuk, hogy a szemléletes képet lefordítsa tisztán geometriai nyelvre. Válasszunk ki három egymást követő A , B , C csúcsot a töröttvonalon és helyezzünk el a B csúcsba egy olyan „gömbi fényszórót”, mely az A B C gömbi szögtartományba eső irányokban bocsát ki fénysugarakat. Tegyük fel, hogy a gömbön a fénysugarak gömbi egyenesek mentén haladnak és hogy a töröttvonal oldalai a fényt nem engedik át.

9. ábra.

Az A C átló csak akkor nem lehet jó választás, ha a töröttvonalnak van az A C gömbi szakaszon egy A -tól és C -től különböző P pontja. Legyen Q a töröttvonalnak az a pontja, ahol a B -ből P felé tartó fénysugár a töröttvonalnak ütközik. Ha Q csúcspont, akkor készen vagyunk, mert a B Q átló a feltételeknek megfelel. Ha Q nem csúcspont, akkor rajta van a töröttvonalnak egy R S oldalán. Az R és S csúcsok közül legalább az egyik, mondjuk R , az A B C gömbháromszögbe esik és különbözik az A , B és C csúcsoktól. Ha R meg van világítva, akkor a B R átló megfelelő lesz. Ha R árnyékban van, akkor legyen R ' a Q R gömbi szakaszon a Q -hoz legközelebbi árnyékban fekvő pont, T pedig az a pont, ahol a B -ből R ' felé tartó fénysugár először a töröttvonalnak ütközik. Könnyű meggondolni, hogy T a töröttvonalnak csúcsa, és a Q T átló megfelel a lemma feltételének. ?

Most már könnyen beláthatjuk a 2.10. tételt.

Bizonyítás. Egy gömbi sokszög és a kiegészítő sokszöge területeinek összege és szögtöbbleteinek összege egyaránt 4 ? , így ha az egyik sokszögre igaz az állítás, akkor a másikra is. Az állítást a csúcsok száma szerinti indukcióval bizonyítjuk. Háromszögekre a tétel egyenértékű Girard tételével. Tegyük fel, hogy n //>// 3 és hogy n -nél kevesebb csúcsú gömbi sokszögekre az állítás igaz.

A lemma szerint a sokszögnek van olyan átlója, mely a sokszög által meghatározott két sokszögtartomány közül az egyik belsejében halad, felbontva azt egy k - és egy n - k + 2 -oldalú sokszögtartományra. A felbontott sokszögtartomány területe a két rész területének összege, ami az indukciós feltevés szerint a két rész szögtöbbleteinek összegével egyenlő. A két rész szögösszegeinek összege az uniójuk szögösszege, másrészt

( k - 2 ) ? + ( ( n - k + 2 ) - 2 ) ? = ( n - 2 ) ? ,

tehát a két rész szögtöbbletének összege a kettévágott sokszögtartomány szögtöbblete. Ezzel az állítás első felét beláttuk. A terület külső szögekkel való kifejezése a terület és szögtöbblet egyenlőségéből egyszerű átrendezéssel kapható. ?

A 2.10. tétel segítségével belátható a poliéderek kombinatorikus szerkezetére vonatkozó nevezetes összefüggés, az Euler-féle poliédertétel.

2.12. Tétel (Euler tétele). Ha egy konvex poliéder csúcsainak, éleinek és lapjainak száma rendre c , e és l , akkor c - e + l = 2 .

Bizonyítás. Vegyünk fel egy O pontot a poliéder belsejében, és körülötte egy egységsugarú g gömböt. Vetítsük O -ból g -re a poliéder csúcsait és oldalait. A poliéder lapjainak oldalszámai legyenek n 1 , n 2 , , n l . A lapok gömbi vetületeinek területösszegét egyrészt megkaphatjuk úgy, hogy a gömbi vetületek szögösszegeinek összegéből kivonjuk a ? i = 1 l ( n i - 2 ) ? összeget, másrészt a területösszeg egyenlő a teljes gömbfelszínnel, azaz 4 ? -vel is. A szögösszegek összege éppen 2 ? c , hiszen minden csúcsban az ott találkozó gömbi szögek egy teljes szöget töltenek ki, s mivel minden élnél pontosan két lap találkozik, ezért 2 e = ? i = 1 l n i . Innen 4 ? = 2 ? c - 2 ? e + 2 ? l adódik. Ha 2 ? -vel elosztjuk mindkét oldalt, a kívánt egyenlőséghez jutunk.

10. ábra.

A sokszögek területképletének felhasználásával kiszámíthatjuk olyan gömbi tartományok területét is, melyek jól közelíthetők gömbi sokszögekkel. Példaként kiszámítjuk a gömbsapkák és gömbövek területét.

Minden felület belső geometriájában bevezethetjük a körvonal és körlap fogalmát a szokásos definícióval: Ha K a felület egy adott pontja, r pedig egy adott távolság, akkor a K középpontú r sugarú felületi körvonal, illetve körlap a felületnek azon P pontjaiból áll, melyekre K és P belső távolsága r , illetve legfeljebb r . Egy felületi körvonal alakja sokféle lehet, érdemes például megvizsgálni, hogyan változik egy rögzített középpontú kör formája a tóruszon, miközben sugarát növeljük. A gömbi körvonalak azonban az euklideszi szemmel nézve is körök, feltéve, hogy sugaruk ? -nél kisebb, csak éppen gömbi középpontjuk és sugaruk más, mint az euklideszi középpontjuk és sugaruk. A gömbi körlapok a gömbsapkák.

2.13. Tétel. Egy r sugarú gömbi kör kerülete k ( r ) = 2 ? sin r , területe t ( r ) = 2 ? ( 1 - cos r ) .

Bizonyítás. Ha a kör gömbi sugara r , akkor euklideszi sugara sin r , s így kerülete 2 ? sin r . A gömbi körlap területe megkapható, mint a körbe írt szabályos gömbi n -szögek területének a határértéke. A szabályos gömbi n -szög felbontható a középpontjából a csúcsaiba húzott gömbi szakaszokkal n egyenlő szárú gömbháromszögre, melyek szögei 2 ? / n és ? n , alaphoz tartozó magasságai pedig m n nagyságúak. A sokszög területe

2 ? - n ( ? - 2 ? n ) = 2 ? - 2 n ? 2 - ? n .

Viszont

lim n ? 2 n ? 2 - ? n = lim n ? 2 n sin ? 2 - ? n = lim n ? 2 n cos ? n ,

hiszen ha n ? , akkor ? n ? / 2 .

A 2.8. tétel szerint

cos ? n = sin ( ? / n ) cos m n ,

ahonnan

2 ? - t ( r ) = lim n ? 2 ? sin ( ? / n ) ( ? / n ) cos m n = 2 ? cos r ,

mert lim n ? m n = r . Innen t ( r ) = 2 ? ( 1 - cos r ) . ?

Mivel az r gömbi sugarú gömbsapka magassága éppen 1 - cos r , területe a magasságának 2 ? -szerese. Ebből rögtön következik, hogy egy m magasságú gömböv területe 2 ? m . A bizonyításhoz csak azt kell észrevenni, hogy a gömbövek megkaphatók két koncentrikus gömbi körlap különbségeként. Ez egy érdekes eredmény. A különböző alakú, de azonos magasságú gömböveknek ugyanakkora a területe!

11. ábra.