Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

Gömbi geometria

Gömbi geometria

Csikós, Balázs


1. Felületek belső geometriája

Képzeljünk el a térben egy felületet, melyen értelmes lények laknak. Tegyük fel, hogy e lények olyan laposak, hogy teljesen belesimulnak felületükbe. A felület mentén szabadon mozoghatnak, mérhetnek, de képtelenek elhagyni azt. A külvilágtól teljesen el vannak szigetelve: nem tudnak kifelé jeleket küldeni, és a külvilág jelenségeit sem képesek észlelni. Számukra a felület jelenti a világmindenséget. Vajon milyen geometriai fogalmakat és tételeket használhatnak ezek a lények kétdimenziós világuk leírására?

1. ábra.

A geometria egyik alapvető fogalma a távolság. Induljunk ki abból a feltevésből, hogy a felületlakók meg tudják mérni a felületen haladó görbék hosszát. Ekkor két felületi pont távolságát értelmezhetik úgy, mint a két pontot összekötő felületi görbék közül a legrövidebb(ek) hossza, vagy ha nem létezik minimális hosszúságú összekötő görbe a felületen, akkor mint a legnagyobb olyan távolság, melynél rövidebb görbével a két pont már nem köthető össze. Ez a távolság nagyobb, vagy egyenlő lesz, mint az euklideszi térben mért távolság. Megkülönböztetésül a felület mentén mért távolságot belső távolságnak, vagy a felület belső metrikájának fogjuk nevezni. Két felületi pont belső távolságát a felületen élők meg tudják mérni, de nem létezik olyan módszer, mellyel a két pont térbeli távolságát meghatározhatnák. Ez utóbbi állításunk abból következik, hogy léteznek olyan felületek, melyek meghajlíthatók, gondoljunk például egy papírlapra. Hajlítás közben a felületre rajzolt görbék hossza nem változik, így a felületen lakók a hajlításkor semmiféle változást nem tapasztalnak az általuk méréssel meghatározható adatokban, ugyanakkor a felületi pontok közti térbeli távolságok megváltoznak.

Az olyan felületi görbeívek, melyek minimális hosszúságúak a végpontjaikat összekötő felületi görbék között, a felület belső geometriájában ugyanazt a szerepet játsszák, mint az euklideszi geometriában az egyenes szakaszok. A felületlakók tehát akár egyenes szakasznak is nevezhetnék ezeket az íveket. Hogy a zavarodást elkerüljük, mi inkább a minimális geodetikus ív elnevezést fogjuk rájuk használni. Világos, hogy a minimális geodetikus ívek egyszerű görbeívek, tehát nem metszik át saját magukat, és minden részívük is minimális geodetikus ív. Azt mondjuk, hogy egy, a felületen mozgó pont geodetikus mozgást végez, ha sebessége állandó nagyságú, és ha minden t időpillanathoz található egy pozitív ? időtartam úgy, hogy a [ t - ? , t + ? ] időintervallumban a pont egy minimális geodetikus ív mentén mozog. Egy geodetikus mozgás pályája többször átmetszheti saját magát. A felületen lakók számára a geodetikus mozgások pályái játsszák az egyenesek és egyenes szakaszok szerepét.

Az euklideszi térben két pontra pontosan egy egyenes illeszthető. Ez az euklideszi tér illeszkedési axiómája. Ha egy felületen próbálnánk ennek az axiómának az érvényességét ellenőrizni, egyeneseknek a felület maximális geodetikus pályáit tekintve, könnyen lehet, hogy hamisnak találnánk. Vannak persze olyan felületek, ahol az említett illeszkedési axióma teljesül, például maga az euklideszi sík is ilyen, de sok olyan is van, ahol akár végtelen sok geodetikus pályát is találhatunk bármely két ponton át, ilyen például a tórusz. Belátható viszont, hogy ha a felület sima, vagyis szemléletesen szólva nincsenek rajta gyűrődések, törésvonalak és csúcsok, akkor a felület minden pontjának van olyan környezete, hogy bármely két, a környezetben fekvő pontot pontosan egy minimális geodetikus köt össze egymással. Ezek szerint, ha három pont egymáshoz eléggé közel van, és nincsen rajta egy geodetikuson, akkor a pontok páronként meghatároznak egy-egy őket összekötő minimális geodetikus ívet, s e három ív kivág a felületből egy kis háromszögszerű tartományt. Ezt a tartományt a három csúcspont által meghatározott geodetikus háromszögtartománynak, vagy röviden geodetikus háromszögnek, a háromszögtartományt határoló három geodetikus ívet pedig a geodetikus háromszög oldalainak nevezzük.

Ha két térbeli görbe közös P kezdőpontjában, a két görbének léteznek az érintő félegyenesei, akkor azok szögét a két görbe P -beli metszési szögének nevezzük. Felvetődik a kérdés, hogy ha a két görbe egy felületen halad, akkor a felületen lakók meg tudják-e mérni a két görbe metszési szögét. Ez azért nem magától értetődő, mert a görbék érintői, melyeket a szög meghatározásához használtunk, a felületen kívül elhelyezkedő objektumok, így a felületlakók számára nem léteznek. Mivel abból indultunk ki, hogy a felületlakók tudnak ívhosszt mérni, minden olyan összefüggés, mely a két görbe szögét a felületi görbék hosszainak segítségével fejezi ki, ad egy „belső” módszert a szögmérésre. Sima felület esetén több ilyen összefüggés is van. Legyen például r egy kis távolság. Vegyünk fel mindkét görbén egy r hosszúságú P S r , illetve P T r kezdőívet. Jelöljük d r -rel a T r és S r pontok belső távolságát. Belátható, hogy ha r tart nullához, akkor a d r / r hányados a 2 sin ( ? / 2 ) értékhez tart, ahol ? a két görbe metszési szöge P -ben. Ennek felhasználásával a felületlakók két görbe szögét meg tudják mérni.

A trigonometria, azaz háromszögtan a háromszög oldalai és szögei közötti összefüggések tana. (Mivel a háromszög adatai közötti összefüggésekben rendszerint megjelennek a szögfüggvények, a trigonometria feladatának tekintjük a szögfüggvények között fennálló relációk vizsgálatát is.) Egy általános felület esetén nem várható, hogy a geodetikus háromszögek oldalai és szögei között bármiféle azonosság fennálljon, hiszen a felület különböző módon görbült részein megrajzolt a , b , c oldalú geodetikus háromszögeknek más-más szögei lehetnek, tehát az oldalakkal a szögek nem fejezhetők ki. Az általános felületek trigonometriájának tehát szükségképpen használnia kell olyan mennyiségeket, melyek a felület görbültségét mérik. A görbültség mérésére szolgáló mennyiségek bevezetése és vizsgálata a differenciálgeometria feladata, mely e célra az analízis és lineáris algebra eszköztárát használja. Mellőzhető az összetett differenciálgeometriai apparátus az olyan felületek vizsgálatakor, melyek minden pontjuk körül „egyformán görbülnek”. Ilyenek például a homogén felületek a térben, vagyis az olyan felületek, melyeknek bármelyik pontját bármelyik másik pontjába át tudjuk vinni a tér egy olyan egybevágóságával, mely a felületet saját magába képezi. A térben a homogén felületeknek három típusa van: a síkok, a hengerek és a gömbök. Mivel a hengerek a sík hajlításával keletkeznek, a hengerek belső geometriája a hengert nem körbeérő tartományokon pont olyan, mint az euklideszi síké. A gömb belső geometriája azonban már kicsiben is lényegesen eltér a síkétól.

A továbbiakban figyelmünket a gömb belső geometriájának leírására összpontosítjuk. Eközben szeretnénk rávilágítani az euklideszi és gömbi geometria különös kapcsolatára: a szembetűnő különbségekre és a szálakra, melyek a másság ellenére szorosan összekötik őket.