Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

3. További görbék

3. További görbék

Felsorolunk néhány további görbét, amelyekre nem igaz, hogy „már a régi görögök is ismerték” őket, mégis klasszikusnak nevezhetők, mert az analitikus geometria hőskorában, tehát a XVII. században, vagy legkésőbb a XVIII. század elején találták őket. Egyben újabb módszereket látunk arra, hogy hogyan kaphatunk algebrai görbéket.

9. ábra.

Tegyük fel a következő kérdést: adott két, egymásra merőleges e , f egyenes, egy rögzített, c hosszúságú A B szakasz pedig úgy mozog, hogy A mindvégig az e , B pedig az f egyenesen marad, és A B minden, ezen feltételnek eleget tevő pozíciót felvesz (9. ábra). Kérdés: az A B szakasz által súrolt területnek mi a határológörbéje? Ezt a görbét asztroidnak nevezik csillagszerű alakja miatt. Némi számolással megkaphatjuk ennek a görbének az egyenletét abban a koordináta-rendszerben, amelyben e játssza az x -tengely, f az y -tengely szerepét:

( x 2 + y 2 - c 2 ) 3 + 27 c 2 x 2 y 2 = 0 .

(7)

Az asztroid tehát egy hatodrendű algebrai görbe.

(Pihentetőül egy egyszerű kérdés: milyen görbét ír le az A B szakasz felezőpontja, miközben A B a fent leírt módon mozog?)

Érdekes, hogy az asztroidot nemcsak mint a mozgó A B szakasz burkológörbéjét lehet megkapni, hanem egy egyparaméteres ellipsziscsalád burkológörbéjeként is. Vegyük az összes olyan ellipszist, amelynek egyenlete

( c - a ) 2 · x 2 + a 2 y 2 = a 2 · ( c - a ) 2 ,

(8)

ahol 0 //<// a //<// x . Ez lesz a szóban forgó ellipsziscsalád.

10. ábra.

Ez az első pillanatra meglepőnek tűnő észrevétel valójában nem is olyan meglepő. Gondoljunk vissza az előző „pihentető” feladatra! (Figyelem: aki tényleg meg akarja oldani a „pihentető” feladatot, az ne olvasson tovább, hanem most oldja meg!)

Tehát: ha nem éppen az A B szakasz felezőpontját vesszük, hanem azt a P pontját, ami B -től a távolságra van, és ennek a pontnak a mozgását vizsgáljuk, az ezen P pont által leírt görbe egyenlete éppen a (8) egyenlet. Innen a kétféle származtatás ekvivalenciája már kézenfekvő.

Mennyi az asztroid által határolt síkidom területe? Ugyanolyan rutinjellegű integrálszámítási lépésekkel, amilyeneket a cisszois esetében részletesen elvégeztünk, kapjuk az eredményt: T = 3 8 · ? c 2 . Ez 3 8 -része az asztroid körülírt körének (ami a négy csúcson átmegy), és 3 2 -szerese az asztroid beírt körének (ami az asztroidot a négy ív felezőpontjában érinti).

Mozgó A B szakaszunk segítségével egy további érdekes görbét kaphatunk. Az A B szakasz minden helyzetében bocsássunk az e és f egyenesek O metszéspontjából merőlegest az A B egyenesre, legyen ennek talppontja F . Mi az így kapott F pontok mértani helye?

11. ábra.

Az F által leírt görbe egyenletét polárkoordinátákban nagyon könnyű felírni. A 15.11. ábrán látható jelölésekkel r = O B · sin ? = c · cos ? · sin ? . A polárkoordinátás egyenlet tehát:

r = c 2 · sin ( 2 ? ) .

(9)

Ezt derékszögű koordinátákra átírva

( x 2 + y 2 ) 3 = c 2 x 2 y 2 .

(10)

Ennek a görbének rozetta a neve (12. ábra). (Lehetne éppen „négylevelű lóhere” is, de az hosszabb, és kevésbé hangzik tudományosan.)

12. ábra.

A rozetta körülírt köre azonos az asztroid beírt körével, és ha kiszámoljuk a rozetta területét, T = c 2 ? 8 adódik, ami fele a rozetta körülírt köre területének. Ezt az előzőekkel egybevetve látjuk, hogy a 13. ábrán háromféleképpen vonalkázott három terület egyenlő.

13. ábra.

Visszatérve az asztroidhoz, az származtatható más módon is. Képzeljük el, hogy egy R sugarú nagy kört belülről érint egy r sugarú kis kör, és ez a kis kör körbe-körbe gördül a nagy körön. Milyen görbét ír le a kis kör egy adott P pontja? Ez a görbe akkor és csak akkor záródik, ha az R r arány racionális, és az így előálló (záródó) görbék neve: hipociklois. Ha R r = 2 , akkor egyszerűen a nagy kör egy átmérőjét kapjuk (ezt tekinthetjük egy kivételes esetnek), de már R r = 3 esetén egy háromcsúcsú görbét, R r = 4 esetén pedig éppen az asztroidot kapjuk.

A hipociklois definíciójáról eszünkbe juthat egy másik görbecsalád. Legyen adva ismét egy R sugarú, és érintse őt egy r sugarú kör, de ezúttal kívülről, és ez az r sugarú kör gördüljön körbe-körbe az R sugarú körön. Ha az r sugarú kör egy adott P pontja által leírt görbét tekintjük, erről ismét elmondható, hogy pontosan akkor záródik, ha R r racionális. Az így előálló görbék neve: epiciklois. Míg a hipociklois esetén meglehetősen természetes (noha nem szükségszerű) az r //<// R feltevés, epiciklois esetén semmi okunk r és R között bármilyen hasonló relációt feltételezni. Sőt, mindjárt az R = r eset egy rendkívül érdekes görbét eredményez, ennek neve: kardioid („szívgörbe”, 14. ábra).

14. ábra.

A kardioid egyenletét olyan koordináta-rendszerben célszerű felírni, amelynek O origója a kardioid csúcsa, x -tengelye pedig a kardioid szimmetriatengelye. Ha a koordináta-rendszert így választjuk, akkor a kardioid egyenlete:

( x 2 + y 2 ) 2 - 4 R x ( x 2 + y 2 ) - 4 R 2 y 2 = 0 .

(11)

Láthatjuk tehát, hogy a kardioid egy negyedrendű algebrai görbe. A (11) egyenlettel ekvivalens az alábbi egyenlet:

( x 2 + y 2 - 2 R x ) 2 = 4 R 2 ( x 2 + y 2 ) .

(12)

Ez utóbbi esztétikusabbnak tűnik, számolásra használni azonban kényelmetlenebb, hiszen ami valójában történt az az, hogy mindkét oldalhoz hozzávettük ugyanazt a „felesleges” tagot.

Még csábítóbban esztétikussá válik a (12) egyenlet, ha R = 1 (egységkör gördül az egységkörön), hiszen ekkor (12) az

( x - y ) 4 = 4 ( x 2 + y 2 )

(13)

alakot ölti.

Származtatható a kardioid talpponti görbeként is. Induljunk ki egy R sugarú k 1 körből. Ezt valamelyik O kerületi pontjából kétszeresére nagyítva kapjuk a k 2 kört. A k 2 kör érintőire O -ból bocsátott merőlegesek F talppontjainak mértani helye a kardioid (15. ábra).

15. ábra.

16. ábra.

Korábban láttuk, hogy a cisszois előáll mint egy parabola képe egy alkalmas inverziónál. A kardioidot is megkaphatjuk mint parabola inverziónál vett képét, ha alkalmasan választjuk a parabola és az inverziót definiáló kör egymáshoz viszonyított helyzetét. Például az

( x 2 + y 2 ) 2 - 4 x ( x 2 + y 2 ) - 4 y 2 = 0

egyenletű kardioidot (ez a (11) egyenlet R = 1 esetén) megkapjuk inverzióval az y 2 = - 2 x + 1 egyenletű parabolából, ha az inverziót definiáló kör középpontja O és sugara 2 (16. ábra). (A parabola fókusza is O , vezéregyenese pedig az x = 1 egyenes.)

Teljes általánosságban is igaz, hogy ha egy parabola fókusza O , és az inverziót definiáló kör középpontja is O , akkor képként kardioid adódik.

Figyelemreméltóak az olyan epicikloisok, ahol R = 2 r . Ezek neve nefroid („vesegörbe”, 17. ábra). Ilyenekkel (legalábbis egy részük nagyon jó közelítésével) mindenki találkozhatott már. Magam még jól emlékszem gyerekkori csodálkozásomra, amikor a reggeli bögre kakaó tetején gyakran ez a görbe jelent meg: „hát ez meg hogy kerül mindig ide?”. Beletelt egy-két évtizedbe, amíg megértettem az okot.

17. ábra.

Ha a síkban párhuzamosan beeső fénysugarak visszatükröződnek egy félkör belsejéről, ezek a visszatükröződött fénysugarak éppen egy nefroid érintői lesznek, azt mintegy „kirajzolják” (18. ábra). A bögre, mint függőleges alkotójú henger, és a reggeli, csaknem vízszintesen beeső fénysugarak ezt a szituációt igen jó közelítéssel modellezik. (Délben akkor sem látnánk a jelenséget, ha történetesen kakaót ebédelnénk, és sütne a nap.)

18. ábra.

Ha az Olvasó kedvet kapott ilyen kérdések vizsgálatához, akkor figyelmébe ajánlok egyet a sok felmerülő problémakör közül. Mindnyájan tudjuk, hogy a másodrendű görbék éppen a kúpszeletek, vagyis egy kúpnak síkkal vett metszetei. Mik egy tórusznak egy síkkal vett metszetei?

19. ábra.

Némi segítség az elinduláshoz: származtassuk a tóruszt a következőképpen. Vegyük a térbeli koordináta-rendszer ( x , y ) síkjában azt a kört, aminek egyenlete x 2 + y 2 = R 2 . Ezután vegyünk egy síkot, amely átmegy a z -tengelyen. Ennek a síknak az iménti körrel vett metszéspontja körül (két ilyen pont van, akármelyiket vehetjük) rajzoljunk egy r sugarú kört. Most ezt a kört pörgessük meg a z -tengely körül. Egy tóruszt kapunk (19. ábra). Ennek a tórusznak a következő az egyenlete a térbeli koordináta-rendszerben:

( R 2 - r 2 + x 2 + y 2 + z 2 ) 2 - 4 R 2 ( x 2 + y 2 ) = 0 .

(14)

Hogy egyszerűsítsük a számításokat, vizsgáljuk csak az olyan síkoknak a metszetét a tórusszal, amely síkok párhuzamosak a z tengellyel. Már úgy is nagyon érdekes görbéket kapunk. (Annyit mindenképpen érdemes belátni, hogy ezek valamennyien negyedrendű algebrai görbék.) Ezeket a görbéket először Perszeusz görög matematikus vizsgálta i.e. 150 körül (20. ábra).

20. ábra.

21. ábra.

A „tóruszmetszetek” közül egy speciális görbeosztályt külön kiemelnék. Ha a (14) egyenletű tóruszt az y = r egyenletű síkkal metsszük, egy ún. Cassini-görbét kapunk. Persze a metszet kinézete más és más lesz, aszerint, hogy mi r és R viszonya. Tehát a Cassini-görbék maguk is egy teljes görbeosztály. Néhány közülük a 21. ábrán látható. A 21. ábrán fel van tüntetve két A , B pont. Az Olvasó joggal kérdezheti: mi ezeknek a jelentősége. A következő: Tudvalevőleg az ellipszis azon P pontok mértani helye, amelyeknek két adott, egymástól 2 a távolságra lévő A , B ponttól vett távolságainak összege valamilyen 2 d állandó ( d //>// a ): P A + P B = 2 d . Kérdezhetjük: mi azon P pontok mértani helye, amelyeknek két adott, egymástól 2 a távolságra lévő A , B ponttól vett távolságainak szorzata valamilyen c 2 állandó: P A · P B = c 2 ? A válasz: ezek éppen a Cassini-görbék. Itt c -re nem kell semmilyen megszorítást tenni: c //>// a esetén egy önmagát át nem metsző zárt görbét kapunk, c //<// a esetén pedig két diszjunkt görbét. Különösen érdekes a c = a eset. Ekkor a 22. ábrán is látható, önmagát átmetsző, „nyolcas” alakú görbe adódik. Ez a Bernoulli-féle lemniszkáta. Ez a görbe nagy szerepet játszott az ún. elliptikus függvények elméletének kialakulásában. (Érdemes észrevenni, hogy a Bernoulli-féle lemniszkáta is előáll másodrendű görbe, jelesül hiperbola inverziónál vett képeként. A 22. ábrán látható, ( x 2 + y 2 ) 2 - d 2 ( x 2 - y 2 ) = 0 egyenletű lemniszkáta nem más, mint az ugyanott látható, x 2 d 2 - y 2 d 2 = 1 egyenletű hiperbola képe annál az inverziónál, amelyet az O középpontú, d sugarú kör definiál. Ugyanebből a hiperbolából talpponti görbeként is előáll a lemniszkáta: a hiperbola érintőire O -ból bocsátott merőlegesek talppontjainak mértani helye éppen a lemniszkáta.)

22. ábra.

Egybevetve a Cassini-görbék fenti „ellipszis-szerű”, illetve „tóruszmetszetes” tárgyalásában szereplő paramétereket, láthatjuk, hogy a = R és 2 r R = c 2 . Tóruszmetszetként lemniszkátát akkor kapunk, ha R = 2 r .

Százával vannak még a részint a görögök által vizsgált, részint a XVII–XVIII. századi matematikusok által felfedezett „klasszikus” algebrai görbék. Közülük itt csak néhány leghíresebbnek a tárgyalására szorítkozhattunk.