Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

2. A konhois

2. A konhois

Egy másik nevezetes algebrai görbe, a konhois felfedezése Nikodémész nevéhez fűződik, aki valószínűleg Alexandriában működött az i.e. II. században. A konhois segítségével nemcsak a kockakettőzés, hanem a szögharmadolás is elvégezhető. (Egy megjegyzés azoknak, akik a geometriai szerkesztések algebrai elméletét legalább vázlatosan ismerik: a kockakettőzés és a szögharmadolás mindegyikében egy harmadfokú irracionalitás „megszerkesztéséből” áll a feladat. A görög geométereket foglalkoztató harmadik klasszikus szerkesztési feladat, a körnégyszögesítés esetében viszont az az akadály, hogy a ? szám transzcendens. Következésképpen mégoly ügyesen választott algebrai segédgörbe sem visz közelebb ahhoz, hogy ? -t megszerkeszthessük.)

Kezdjük tehát a konhois definíciójával. Legyen adva a síkon egy e egyenes és egy tőle d távolságra lévő O pont. Legyen adva továbbá egy h szakaszhossz. Az e egyenesen egy tetszőleges A pontot választva, tekintsük az O A egyenesnek azt a két P és P ' pontját, amelyek h távolságra vannak A -tól. Amint A végigfut az e egyenesen, az így előálló P és P ' pontok összessége alkotja a konhoist. A konhoisnak két ága van: az e egyenes mindkét partján egy-egy. A „túloldali” ( O -val átellenes oldalon lévő) ága minden paraméterértékre hasonló jellegű, de az „innenső” ág erősen eltérő aszerint, hogy h //<// d , h = d vagy h //>// d (6. ábra). h //<// d esetén az innenső ág elég „sima”, és nem megy át O -n, h = d esetén az O pontban „csúcsa” van, h //>// d esetén pedig önmagát hurkolva kétszer is átmegy O -n; O ún. „kettőspont”.

6. ábra.

Lássuk, hogyan használható a konhois a szögharmadolásra. Legyen a harmadolandó (hegyes)szög ? = A O B ? , ahol a jelölést úgy választjuk, hogy B éppen az A -ból az O B egyenesre bocsátott e merőleges egyenes talppontja legyen. Tekintsük az e egyenes és az O pont által meghatározott azon konhoist ( O B = d ), amelyet a h = 2 · O A választással kapunk. Az A -n átmenő, O B -vel párhuzamos egyenes messe a konhois „túloldali” ágát (csak erre az ágra lesz szükségünk) C -ben (7. ábra). Legyen ? = B O C ? . Azt állítjuk, hogy ? = ? 3 .

7. ábra.

Legyen az A B = e és C O egyenesek metszéspontja E és a C E szakasz felezőpontja D . Ekkor konhoisunk definíciója miatt az E C A derékszögű háromszög Thalesz-körének sugara: D A = D E = h 2 = A O . A D A O egyenlőszárú háromszög ß szárszögei közül az egyik – a D -nél lévő – egyben a C D A egyenlőszárú háromszög külső szöge is. Márpedig A C O ? = C O B ? = ? , tehát ß = 2 ? és ? = A O B ? = ß + ? = 3 ? .

8. ábra.

Ahhoz, hogy felírhassuk a konhois egyenletét, válasszuk a derékszögű koordináta-rendszert úgy, hogy az origó O legyen, az x -tengely pozitív iránya pedig az O -ból az e egyenesre bocsátott merőleges, illetve annak meghosszabbítása legyen; az y -tengely az erre O -ban állított merőleges egyenes. Az e egyenes egyenlete tehát x = d . A konhois egy P ( x , y ) pontját, illetve az O P és e egyenesek A ( d , y ' ) metszéspontját véve látjuk, hogy

y x = y ' d ( y ' - y ) 2 + ( d - x ) 2 = h 2 .

Innen átalakításokkal az

( x 2 + y 2 ) ( d - x ) 2 - h 2 x 2 = 0

(5)

egyenlet adódik. Látjuk, hogy az (5) egyenletnek az ( x , y ) = ( 0 , 0 ) pár akkor is gyöke, ha h //<// d . Az algebrai képlettel adott konhoisnak tehát O mindenképpen pontja, még ha ezt az eredeti geometriai definíció nem is indokolja. Ettől eltekintve azonban az (5) egyenletet kielégítő ( x , y ) valós számpárok azonosak a konhois P ( x , y ) pontjainak koordinátáival.)

Kimutattuk tehát, hogy a konhois is algebrai görbe, mégpedig negyedrendű.

A konhois egyenlete polárkoordinátákban nyilván

r = d cos ? ± h ,

(6)

azonban ahhoz, hogy (6) teljesen egzakt formulává váljék, a polárkoordináták szokásos definíciójának némi módosítására van szükség, jelesül meg kell engednünk r számára negatív értékeket is. Ezek értelmezése azonban eléggé kézenfekvő.