Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

Klasszikus algebrai görbék

Klasszikus algebrai görbék

Pelikán, József


Algebrai (sík)görbének nevezünk egy olyan geometriai alakzatot a síkban, amelynek egyenlete a Descartes-féle koordináta-rendszerben

f ( x , y ) = 0

alakú, ahol f ( x , y ) = ? i , j a i j x i x j egy kétváltozós polinom. A polinom egy a i j x i y j ( a i j ? 0 ) tagjának foka alatt az i + j számot értjük, magának a polinomnak a foka pedig definíció szerint a tagjai fokának a maximuma. Egy olyan algebrai síkgörbét, amelyet egy n -edfokú polinom ad meg, n -edrendű síkgörbének nevezünk. Az f ( x , y ) polinomról feltehetjük, hogy irreducibilis (vagyis nem áll elő két alacsonyabb fokú polinom szorzataként), hiszen különben a megfelelő síkgörbe is előáll két alacsonyabbrendű síkgörbe uniójaként. A továbbiakban f -ről mindig feltesszük, hogy irreducibilis.

Egy elsőrendű síkgörbe általános egyenlete a 10 x + a 01 y + a 00 = 0 , vagy egyszerűbb jelöléssel a x + b y + c = 0 alakú, ahol a és b közül legalább az egyik nem 0. Ezek éppen az egyenesek.

Másodrendű síkgörbék egyenlete legáltalánosabb alakban az

a 20 x 2 + a 11 x y + a 02 y 2 + a 10 x + a 01 y + a 00 = 0

képlettel adható meg, ahol a 20 , a 11 és a 02 közül legalább az egyik nem 0. Megfelelő koordináta-transzformációkkal minden ilyen egyenlet az alábbi három egyenlet valamelyikébe megy át:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 (ellipszis) x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 (hiperbola) y 2 = 2 p x (parabola)

A fent elmondottak jelentik körülbelül a maximumát annak, amit egy – matematika iránt érdeklődő – középiskolás algebrai görbékről tud(hat). Vannak azonban egyéb érdekes (magasabbrendű) algebrai síkgörbék, amelyekről valóban elmondható, hogy „már a régi görögök is ismerték” őket.

1. A cisszois

A cisszois nevű görbét egy i.e. II. században élt görög matematikus, Dioklész vezette be először. A cisszois egyik lehetséges definíciója a következő:

1. ábra.

Tekintsünk egy A B átmérőjű kört, ennek A B -re merőleges átmérője legyen C D (1. ábra). Húzzuk meg a C D -vel párhuzamos E 1 E 2 és F 1 F 2 egyeneseket, amelyek ugyanakkora távolságra vannak C D -től, de a C D egyenes más-más partján fekszenek. ( E 1 , E 2 , F 1 , F 2 -vel ezen egyeneseknek a körrel való metszéspontjait jelöljük.) Az A F 1 és E 1 E 2 egyenesek metszéspontja legyen P . A cisszois ezen P pontok mértani helye.

Ha az E 1 , E 2 , F 1 , F 2 pontok jelölését az 1. ábrának megfelelő módon választjuk, akkor amint F 1 a B ( F 1 ) C köríven fut végig, P a cisszoisnak az ábra szerint a körbe eső és A B felett lévő A ( P ) C ívén fog végigfutni. F 2 és F 1 szerepe azonban szimmetrikus: ha F 2 -t használjuk F 1 gyanánt, kapjuk a cisszoisnak a körbe eső, az ábra szerint A B alatti A D ívét. Ugyancsak szimmetrikus az E -k és az F -ek szerepe: ha az ábra szerinti E 1 -et használjuk F 1 gyanánt, kapjuk a cisszoisnak az A C ív folytatásaként a körből kinyúló, végtelenbe menő ívét, illetve E 2 -t használva F 1 gyanánt a fenti végtelen ívnek az A B egyenesre vett tükörképét.

Dioklész célja a cisszois bevezetésével az ún. „déloszi probléma” (más szóval: kockakettőzés) megoldása volt. A feladat az, hogy adott kockához szerkesszünk kétszer akkora térfogatú kockát. Itt persze kocka „szerkesztése” alatt valójában az élhosszának a szerkesztése értendő. Mivel az általánosság megszorítása nélkül választhatjuk a kiindulási kocka élhosszúságát 1-nek, a feladat tulajdonképpen a 2 3 szám megszerkesztése, vagyis két olyan szakasz szerkesztése, amelyek hosszúságainak aránya 2 3 .

Ismeretes, hogy ez a feladat a hagyományos („euklideszi”) szerkesztési módszerekkel: körző és vonalzó használatával nem oldható meg. Viszont megoldható a feladat, ha megengedünk nem-hagyományos („nem-euklideszi”) módszereket, például használhatunk egy adott cisszoist.

2. ábra.

Adott tehát az A B átmérőjű, O középpontú körből származtatott cisszois, a kör A B -re merőleges átmérőjének egyik végpontja C , M pedig legyen az O C szakasz felezőpontja. Az a pont, ahol a B M félegyenes metszi a cisszoist, legyen P . A P -n át C O -val párhuzamosan húzott egyenes messe a 2. ábrán látható félkört az E , az A B átmérőt az U pontban, ezen egyenesnek a C O egyenesre vett tükörképe messe a félkört az F , az A B átmérőt a V pontban.

Nyilván

B U P U = B O M O = 2

és az A E U , B F V , F A V , E B U , P A U háromszögek egybevágósága, illetve hasonlósága alapján

B U E U = E U A U = F V B V = A V F V = A U P U .

Tehát a v = B U , w = E U , z = A U jelölést használva

v w = w z = z 1 2 v ,

ahonnan v 3 = 2 w 3 adódik, tehát a déloszi problémát „megoldottuk”.

„Megoldásunk”-kal nem csak az a probléma, hogy ez nem a szó euklideszi értelmében vett szerkesztés. A módszert ebben a pillanatban még praktikus technikai kisegítő eszközként sem tudnánk használni, hiszen – noha az 1. ábrán illusztrált módszerrel a cisszois egy-egy pontját meg tudjuk szerkeszteni – nem rendelkezünk olyan eszközzel, ami a cisszoist mint folytonos vonalat megrajzolja. Márpedig nekünk egy teljes cisszoisívre van szükségünk, ha meg akarjuk kapni a B M félegyenes és a cisszois metszéspontját.

3. ábra.

Egy ilyen cisszoisrajzoló eszközre nem kisebb tudós, mint maga Newton adott egy konstrukciót. Tekintsük az egymásra merőleges, d hosszúságú R S , S T szakaszokat (képzeljük őket nagyon vékony, S -ben összeforrasztott rudaknak; 3. ábra), és ez az alakzat mozogjon úgy, hogy T mindvégig egy rögzített A O egyenesre O -ban állított merőleges egyenesen maradjon, az R S szakasz pedig mindig menjen át az O A félegyenes azon Z pontján, amelyre O Z = d . (Az O A távolság legyen d 2 ). Ekkor a T S szakasz P felezőpontja egy cisszoist fog leírni (legalábbis azt a teljes ívét, amire nekünk a 2. ábrán látható szerkesztéshez szükségünk van). Ez éppen az O középpontú, O A sugarú körhöz tartozó cisszois. A bizonyítást az Olvasóra bízzuk.

4. ábra.

Próbáljuk most felírni az A B ( = d ) átmérőjű körhöz tartozó cisszois egyenletét alkalmas derékszögű koordináta-rendszerben. A koordináta-rendszer origója legyen az A pont, az x -tengely pozitív irányú félegyenese az A B félegyenes, az y -tengely az erre A -ban állított merőleges (4. ábra). A P pont koordinátái legyenek ( x , y ) . Itt x ? 0 , és a felső félsíkban y ? 0 , tehát x = A U , y = P U . Legyen

x ' = A V = d - x , y ' = F V = O F 2 - O V 2 = d 2 2 - d 2 - x 2 = x ( d - x ) .

Nyilván

y x = y ' x ' ,

ahonnan az

y 2 · ( d - x ) - x 3 = 0

vagy másként

x ( x 2 + y 2 ) - d y 2 = 0

(1)

egyenlet adódik a cisszois egyenleteként. (Közvetlenül ellenőrizhető, hogy az (1) egyenletnek a cisszois P ( x , y ) pontjainak koordinátái és csak azok tesznek eleget, továbbá, hogy az (1) egyenlet baloldalán álló harmadfokú polinom nem bomlik fel két alacsonyabb fokú polinom szorzatára.) Látjuk tehát, hogy a cisszois egy harmadrendű algebrai görbe.

A 4. ábráról a cisszois egy alternatív definícióját is leolvashatjuk. Ha az A B átmérőjű körhöz B -ben húzott érintőegyenest e -vel jelöljük, az A P félegyenes e -vel való metszéspontját pedig G -vel, akkor A U = V B miatt A P = F G . Innen a következő konstrukció adódik: Az A B átmérőjű körhöz húzzuk meg B -ben az e érintőegyenest. Vegyünk fel egy tetszőleges G pontot e -n. Az A G félegyenes és a kör metszéspontja legyen F . Keressük meg az A G félegyenesen azt a P pontot, amire A P = F G . Amint a G pont végigfut az e egyenesen, az ezen P pontok által leírt mértani hely éppen a cisszois. Az e egyenest, amelybe a cisszois – egyre távolabb menve – mintegy „belesimul”, a cisszois aszimptotájának nevezzük. (Hasonló tulajdonságú egyenesekkel találkozhattunk hiperboláknál.)

Noha azt, hogy egy síkgörbe algebrai-e vagy sem, a derékszögű koordináta-rendszerben felírt egyenlete alapján tudjuk eldönteni, más célokra jó szolgálatot tehet a görbe polárkoordinátákban felírt egyenlete. Emlékeztetőül: a sík egy P pontját polárkoordinátákban az ( r , ? ) párral adhatjuk meg, ahol r ( ? 0 ) a P pont origótól mért távolsága, ? pedig az origót P -vel összekötő félegyenesnek az x -tengely pozitív irányú félegyenesével bezárt szöge. (Általában ? -t úgy választjuk, hogy 0 ? ? //<// 2 ? legyen, de választhatjuk bármilyen más, 2 ? hosszúságú intervallumból, például a ( - ? , ? ] intervallumból is.) A polárkoordináták és a derékszögű koordináták között nyilván fennáll a

x = r cos ? , y = r sin ?

összefüggés.

Ezek után könnyen kiszámolható, hogy a cisszois egyenlete polárkoordinátákban felírva:

r = d · sin 2 ? cos ? . - ? 2 //<// ? //<// ? 2

(2)

(2)-ből közvetlenül adódik a cisszois egy paraméteres megadása (derékszögű koordináta-rendszerben):

x = d · sin 2 t , y = d · sin 3 t cos t . - ? 2 //<// t //<// ? 2

(3)

Azt, hogy egy ilyen paraméteres előállítás gyakran jó szolgálatot tehet, alább egy példán illusztráljuk. Vessük fel a következő kérdést: mekkora a cisszois e aszimptotája és a cisszois közé eső terület nagysága? Mivel ez a terület mindkét irányban a végtelenbe nyúlik, első benyomásunk könnyen az lehet, hogy ez a terület bizonyára végtelen. Ez azonban nincs így. Akik az integrálszámítás elemeit ismerik, azok tudják, hogy ezt a T területet az alábbi (improprius) integrál adja meg:

T = 2 · ? 0 d x 3 d - x d x .

A (3) paraméteres előállítás segítségével ez az integrál így számítható ki:

T = 2 · ? 0 ? / 2 d · sin 3 t cos t · 2 · d · sin t · cos t d t = 4 d 2 ? 0 ? / 2 sin 4 t d t = = d 2 · ? 0 ? / 2 d t - d 2 · ? 0 ? 2 cos ( 2 t ) d ( 2 t ) + d 2 2 · ? 0 ? cos 2 ( 2 t ) d ( 2 t ) = = d 2 · ? 2 - d 2 · 0 + d 2 2 · t + sin ( 2 t ) cos ( 2 t ) 2 0 ? = d 2 · ? 2 + d 2 · ? 4 = = 3 · d 2 2 · ? = 3 T 0 ,

ahol T 0 az A B = d átmérőjű kör területe.

Azt kaptuk tehát, hogy a cisszois és aszimptotája közé eső terület pontosan háromszorosa azon kör területének, amelyből kiindulva a cisszoist megkonstruáltuk (tehát amelyik átmegy a cisszois csúcsán, és érinti az aszimptotát).

A cisszois még egy figyelemreméltó származtatását tárgyaljuk, ehhez azonban fel kell idézni az inverzió nevű geometriai transzformáció alaptulajdonságait. Legyen adva a síkon egy O középpontú, R sugarú kör. ( O -t origónak fogjuk hívni.) A sík minden P pontjához rendeljük hozzá az O P félegyenes azon P ' pontját, amelyre O P · O P ' = R 2 . Ha nagyon precízek vagyunk, észrevehetjük, hogy az O ponthoz ily módon nem tartozik semmilyen pont. Ezen úgy segíthetünk, hogy a síkhoz hozzáveszünk egy (csak egy!) végtelen távoli pontot; úgy képzeljük, hogy ez a végtelen távoli pont minden egyenesen rajta van, az inverziónál pedig az origó és ez a végtelen távoli pont helyet cserél.

Polárkoordináták segítségével nagyon könnyű leírni az inverziót: az eredeti P ( r , ? ) és a képként kapott P ' ( r ' , ? ' ) pont polárkoordinátái között nyilván az alábbi összefüggés áll fenn:

r ' = R 2 r , ? ' = ? .

Könnyen megadható az összegfüggés a derékszögű P ( x , y ) , illetve P ' ( x ' , y ' ) koordináták között is:

x ' = R 2 · x x 2 + y 2 , y ' = R 2 · y x 2 + y 2 .

(4)

Ezután – az alakzatok egyenletét felírva – könnyen igazolhatók az inverzióra az alábbi állítások:

(1) Origón átmenő egyenes képe saját maga.

(2) Origón át nem menő egyenes képe origón átmenő kör.

(3) Origón átmenő kör képe origón át nem menő egyenes.

(4) Origón át nem menő kör képe origón át nem menő kör.

5. ábra.

Az inverzió fent felsorolt tulajdonságai általában eléggé közismertek. Ritkán teszik fel azonban a kérdést: mi lesz az egyéb kúpszeletek (másodrendű görbék) képe inverziónál. Mi most egy speciális esetet fogunk megvizsgálni.

Tekintsük az O origójú derékszögű koordináta-rendszerben y 2 = 2 p x egyenlettel megadott parabolát, és vizsgáljuk ennek képét annál az inverziónál, amit az O középpontú, R sugarú kör definiál (4) képleteket alkalmazva könnyen látszik, hogy az inverzióval előállított kép egyenlete

y 2 ( d - x ) = x 3 , ahol d = R 2 2 p ,

a képalakzat tehát egy cisszois! Ez egyike a legtermészetesebb módoknak, ahogyan másodrendű görbéből kiindulva harmadrendű görbéhez jutunk.