Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

6. Szerkeszthetőség és gyökképlet

6. Szerkeszthetőség és gyökképlet

Az eldönthetetlenséggel kapcsolatban még megemlítünk két klasszikus témakört. Mivel ezekről jó magyar nyelvű irodalom áll rendelkezésre (sőt mindkettő fontos része az egyetemi tanárszakos tananyagnak), éppen csak mesélünk róluk egy kicsit.

Az első témánk a geometriai szerkeszthetetlenség. Hogyan lehet egy olyan állítást bizonyítani, hogy például nem szerkeszthető szabályos hétszög körzővel és vonalzóval? Az elvet a következő kérdés kapcsán érthetjük meg.

6.1. Kérdés. Adott egy négyzethálós papír, és egy vonalzó. Meg tudjuk-e szerkeszteni az egyik kis négyzetoldalra támaszkodó szabályos háromszög harmadik csúcsát?

Ismét pontosan meg kell fogalmazni, mit értünk szerkesztésen. Ha csak vonalzónk van, akkor kétféle dolgot tehetünk: két, már meglévő ponton át egyenest húzhatunk, vagy pedig kijelölhetjük két, már meglévő egyenes metszéspontját. Ezeket a lépéseket ismételgethetjük.

Ha felveszünk egy koordinátarendszert úgy, hogy az origó és a ( 0 , 1 ) pont egy kis négyzet szomszédos csúcsaiba kerüljön, akkor a négyzetrácsban adott pontok éppen azok, amelyek koordinátái egészek. Ha két ilyen pontot összekötő egyenes egyenletét felírjuk, akkor a kapott együtthatókat a négy alapművelet segítségével számolhatjuk ki, és ezért racionális számokat kapunk. Két ilyen egyenes metszéspontjának ismét racionális számok lesznek a koordinátái.

A szerkesztési eljárás tehát csak racionális koordinátájú pontot adhat. A keresett pont koordinátái azonban ( 1 / 2 , 3 / 2 ) , és így a 6.1. Kérdésre nemleges a válasz.

Ha megengedünk körzőt is, akkor a racionális számok mellett a négyzetgyökvonást tartalmazó kifejezések is szerkeszthetővé válnak. A szabályos hétszög szerkeszthetetlensége azon múlik, hogy a cos ( 2 ? / 7 ) szám nem írható fel ilyen kifejezésként. Ennek bizonyítása algebrai (testelméleti) módszerekkel lehetséges.

6.2. Tétel. Egy szabályos n -szög akkor és csak akkor szerkeszthető, ha az n szám 2 k · p 1 · · p m alakban írható, ahol a p i páronként különböző olyan páratlan prímek, melyekre p i - 1 mindig a 2-nek hatványa.

Megoldatlan probléma, hogy ilyen prímszámból van-e ötnél több. Az említett testelméleti apparátus még további tételeket is ad: nemcsak klasszikus problémákról (kockakettőzés, körnégyszögesítés, szögharmadolás) mutatható meg a szerkeszthetetlenség, hanem tetszőleges szerkesztési feladat esetén van esélyünk ezzel a módszerrel eldönteni, hogy megoldható-e, vagy sem. Például megmutathatjuk, hogy nem szerkeszthető háromszög két oldalából, és az egyikhez tartozó szögfelezőből.

A másik klasszikus témakör az egyenletek gyökjelekkel való megoldhatósága. Például az x 5 - 4 x + 2 polinom egyik gyökét sem lehet olyan képlettel felírni, amelyben a négy alapművelet és gyökvonás szerepel. Ez némiképp hasonlít a szerkeszthetőséghez, de itt nemcsak négyzetgyököket engedünk meg. Emiatt a fenti testelméleti apparátust még a permutációcsoportok elméletével is ki kell egészíteni. Az algebrista mennyországot N. H. Abel norvég és E. Galois francia matematikusok teremtették meg, amikor felfedezték az alábbi eredményt:

6.3. Tétel. A legalább ötödfokú egyenletre nem létezik általános megoldóképlet.