Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

4. A szimmetriák száma

4. A szimmetriák száma

Tekintsünk egy négyzetet, és ennek a szimmetriáit (négy forgatás, négy tükrözés).

4.1. Kérdés. Hány helyre viheti a sík egy pontját ez a nyolc transzformáció?

Ezt könnyű végiggondolni. A négyzet középpontja csak önmagába mehet. A két átló többi pontja mind négy-négy helyre mehet. Ugyanez a helyzet az oldalfelező merőlegesek pontjaival is. A többi pontnak mind a nyolc képe különböző lesz.

4.2. Kérdés. A nyolc transzformáció közül hány hagyja helyben ezt a pontot?

A középpontot mind a nyolc. Azok a pontok, amelyeknek négy képe van, egy-egy szimmetriatengelyen helyezkednek el, ezeket két-két transzformáció hagyja helyben: a megfelelő tengelyes tükrözés, és a helybenhagyás. A többi pontot, amelynek tehát nyolc különböző képe van, csak a helybenhagyás viszi önmagába. Azt kaptuk tehát, hogy egy pont képeinek száma szorozva a pontot helyben hagyó transzformációk számával mindig nyolcat ad, azaz az összesen tekintett szimmetriák számát.

Ez általában is így van. Tegyük fel, hogy G egy X halmaz permutációiból álló csoport, és válasszunk ki egy P „pontot” az X halmazból. Ha a P pontra a G összes elemét alkalmazzuk, akkor a kapott pontok X -nek egy részhalmazát alkotják. Ezt úgy hívjuk, hogy a P pont orbitja (pályája). Azok a G -beli permutációk, amelyek a P pontot önmagába viszik, könnyen láthatóan egy permutációcsoportot alkotnak, ennek neve P stabilizátora.

4.3. Feladat. Mutassuk meg, hogy P orbitjának elemszáma szorozva P stabilizátorának elemszámával mindig G elemeinek a számát adja. Igazoljuk azt is, hogy ha két pont orbitjainak van közös pontja, akkor a két orbit egyenlő.

Ez az állítás alkalmas arra, hogy az ismeretlen G elemszámát meghatározzuk. Példaként álljon X a tér összes pontjaiból, és legyen G egy kocka összes szimmetriáinak csoportja. Hány eleme van G -nek?

Legyen A a kocka egyik csúcsa. Egy egybevágósági transzformáció A -t csak a kocka valamelyik csúcsába viheti, azaz legfeljebb 8 helyre. Persze mind a nyolc csúcsba el is lehet vinni A -t: a szomszédos csúcsokba például egy síkra tükrözéssel, a többi csúcsba ilyenek egymásutánjával. Vagyis A orbitja nyolcelemű. Jelölje H az A stabilizátorát G -ben. Tudjuk tehát, hogy G elemszáma a H elemszámának nyolcszorosa.

Most legyen B egy A -val szomszédos csúcs. Mi lesz B pályája H -nál? Persze B is csak csúcsba mehet, és mivel A fixen marad, csak A valamelyik szomszédjába (hiszen a transzformáció távolságtartó). Ilyen csúcs három van, mondjuk B , C és D . Könnyű olyan transzformációt találni (például az A -ból kiinduló testátló körüli 120 fokos forgatásokat), amelyek A -t fixen hagyják, és B -t C -be, illetve D -be viszik. Tehát B pályája H -nál háromelemű. Legyen K a B stabilizátora H -ban. Így H elemszáma K elemszámának háromszorosa.

Azonnal látjuk, hogy C pályája K -nál a C és D csúcsokból áll, vagyis kételemű. Ha pedig G egy eleme az A , B , C pontokat helyben hagyja, az nyilván csak az identitás lehet, vagyis C stabilizátora K -ban már egyelemű. Így G elemszáma 8 · 3 · 2 · 1 = 48 .

4.4. Feladat. Hány szimmetriája van egy szabályos tetraédernek? Egy oktaédernek? Egy négyzet alapú merőleges hasábnak, ami nem kocka?

Végül megjegyezzük, hogy a kocka most vizsgált szimmetriacsoportját jobban is megérthetjük a most bevezetett eszközök továbbfejlesztésével. Például vegyük észre, hogy a kocka nyolc csúcsa két szabályos tetraédert alkot. A szimmetriák egy része ezt a két tetraédert önmagába viszi, más részük pedig megcseréli őket. Tehát azt mondhatjuk, hogy a kocka szimmetriacsoportja „hat” ezen a kételemű, két tetraéderből álló halmazon. Könnyű belátni, hogy az orbit-stabilizátor tétel erre a „hatásra” is igaz, és mivel itt az orbit kételemű (hiszen a két tetraéder átmehet egymásba például középpontos tükrözéssel), ezért egy-egy tetraéder stabilizátora 48 / 2 = 24 elemű. Mivel a tetraédernek négy csúcsa van, ez azt mutatja, hogy a tetraéder csúcsainak minden permutációját megvalósítja a kocka valamelyik egybevágósága.

4.5. Feladat. Mutassuk meg, hogy a kocka szimmetriacsoportjában kiválasztható egy8 elemű, illetve egy 16 elemű permutációcsoport.