Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

4. Körosztás

4. Körosztás

Befejezésül vázoljuk, hogy a körosztási polinomok vizsgálata hogyan függ össze a szabályos sokszögek szerkeszthetőségének kérdésével. Ez az összefüggés magyarázza a „körosztási polinom” elnevezést.

Szabályos n -szög pontosan akkor szerkeszthető, ha a komplex számsík ? = cos 2 ? n + i sin 2 ? n pontja megszerkeszthető (amennyiben adott a 0 és az 1 pont). Az 5. feladat szerint ? gyöke F n -nek. Mint említettük, F n irreducibilis. Mármost Gauss bebizonyította, hogy ha egy ( Q [ x ] -beli) irreducibilis polinomnak van szerkeszthető gyöke, akkor foka 2-hatvány. (Vigyázat! Ennek megfordítása nem igaz!) Mivel a 4. a) feladat szerint F n foka ? ( n ) , ez azt jelenti, hogy ha szerkeszthető szabályos n -szög, akkor ? ( n ) 2-hatvány. Ismert, hogy ha n = ? p | n p ? p , akkor ? ( n ) = ? p | n p ? p - 1 ( p - 1 ) . Ez pontosan akkor 2-hatvány, ha p | n , p //>// 2 esetén ? p = 1 és p - 1 2-hatvány. A 2-hatvány + 1 alakú páratlan prímeket Fermat-prímeknek nevezzük.

Tehát ha szerkeszthető szabályos n -szög, akkor n = 2 ? · p 1 · ? · p r , ahol ? , r ? 0 egészek, és p 1 , …, p r különböző Fermat-prímek. Ennek megfordítása is igaz (lásd „A szabályos sokszögek szerkeszthetőségéről” című írást).

Megjegyezzük, hogy a fent vázolt bizonyítás végigviteléhez F n irreducibilitását valójában elég az n = p és n = p 2 esetre igazolni ( p prím) (miért?!), ami lényegesen könnyebb az általános esetnél, de a bizonyítás – akár a szerkeszthető gyökű irreducibilis polinom fokára vonatkozó Gauss-tételé – meghaladná ennek az írásnak a kereteit.