Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

3. Feladatok

3. Feladatok

A következő néhány feladat megoldása lehetőséget ad sok körosztási polinom gyors meghatározására, és általános összefüggések meghatározására az együtthatókat illetően.

Használni fogjuk a

µ ( n ) = 0 , ha n nem négyzetmentes, ( - 1 ) r , ha az n szám r különböző prím szorzata

jelölést (Möbius-függvény). ? ( n ) jelöli a 0, 1, …, n - 1 számok között az n -hez relatív prímek számát (Euler-féle ? -függvény).

1. Bizonyítsuk be, hogy x n + 1 előáll mint azon F d körosztási polinomok szorzata, amelyekre d | 2 n és d ? n .

2. Bizonyítsuk be, hogy

a) minden F számelméleti függvényhez[22] létezik egy és csak egy olyan f számelméleti függvény, amelyre

? d | n f ( d ) = F ( n )

minden n -re (azaz F az f összegzési függvénye).

b) µ összegzési függvénye M ( n ) = 1 , ha n = 1 , 0 , ha n //>// 1 .

c) ? összegzési függvénye ? ( n ) = n .

d) az a)-beli f -re f ( n ) = ? d | n µ ( d ) F n d (Möbius-féle inverziós formula).

3. Bizonyítsuk be, hogy

a) F n ( x ) = ? d | n ( x n / d - 1 ) µ ( d ) ;

b) p | n esetén F n p ( x ) = F n ( x p ) ( p prím);

c) p ? n esetén F n p ( x ) = F n ( x p ) / F n ( x ) ( p prím);

d) 2 ? n , n //>// 1 esetén F 2 n ( x ) = F n ( - x ) ;

e) F n minden együtthatója 0 vagy ± 1 , ha n -nek legfeljebb két páratlan prímosztója van, például ha n //<// 105 .

4. Bizonyítsuk be, hogy

a) F n foka ? ( n ) ;

b) n ? 2 esetén F n együtthatóinak sorozata szimmetrikus;

c) F n konstans tagja 1 ( n ? 2 );

d) F n -ben x együtthatója - µ ( n ) ( n ? 2 );

e) F n -ben x 2 együtthatója 0 vagy ± 1 .

Még egy feladat a komplex számok ismerőinek:

5. Bizonyítandó, hogy F n ( x ) = ? ? primitív n -edik egységgyök ( x - ? ) .



[22] a pozitív egészeken értelmezett számértékű függvényhez