Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

Hibajavító kódok

Hibajavító kódok

Hraskó, András

Szőnyi, Tamás

Köszönet a Bolyai Farkas Ösztöndíj, valamint az OTKA T-032455 projekt támogatásáért. 

1. Bemelegítő feladatok

Kezdjük néhány bemelegítő feladattal! Ezek között nehezebbek is vannak. A cikkben a megfelelő résznél utalunk a megoldásra is. A szövegben és az írás végén további feladatokat találunk. A 2-es és 7-es feladatok a matematikai folklór részei, a 3. Pálvölgyi Dömötörtől, a 6. b) Dienes Pétertől származik.

1. feladat. Egy cég 10 szériában gyártott súlyokat. Az első szériában 1, a másodikban 2, a harmadikban 3, a tizedikben 10 kg-os súlyokat terveztek készíteni. Az azonos szériában készült egyforma súlyokat ugyanabban a ládában tartják, mind a 10 ládára rá van írva, hogy hanyadik szériában készült. Az egyik széria hibás lett, példányai egyforma súlyúak, de ez az érték nem egyezik meg az előre adott értékkel.

a) Egy (egykarú) kijelzős mérleg egyszeri használatával kell megtalálnunk, hogy mennyivel könnyebbek vagy nehezebbek a hibás súlyok az előírtnál.

b) Ezután határozzuk meg, hogy melyik súly szériája lett hibás! Most is csak a kijelzős mérleget használhatjuk, és azt is csak még egyszer.

2. feladat. [17] a) Egy hajó és utasai, összesen 100 fő, Ungabunga szigetén az emberevők fogságába esett. Tudják, hogy másnap reggel a kannibálok leültetik őket egymás mögé, és mindegyikük fejére egy-egy piros vagy kék sapkát húznak. Mindenki csak az összes előtte ülő ember fején lévő sapkát fogja látni, a sajátját és a mögötte ülőkét nem. A leghátsó embertől kezdve sorban mindenki hangosan mondhat majd egy színt: pirosat vagy kéket. A végén azt engedik szabadon, aki saját sapkája színét mondta, aki nem találta el, azt bizony megeszik. A kannibálok szigorúak, ha bárki mást tesz, minthogy a lehető legegyszerűbben kimondja a „piros” vagy a „kék” szót, akkor senkinek sem kegyelmeznek. A foglyoknak még egy esélye van. Most este még összebeszélhetnek. Szeretnék, hogy minél többen megszabaduljanak. Hány fogoly tud biztosan megmenekülni?

b) Könnyítés: és ha tudjuk, hogy összesen 10 kék sapka van?

c) Gondoljuk végig az a) feladatot kettő helyett három színnel! Minden rab fején háromféle sapka lehet, és mindenki háromféle színt is mondhat.

d) Mi a helyzet n szín esetén?

3. feladat. A budapesti telefonszámok 7-jegyűek. Sokszor előfordul, hogy valaki két szomszédos számot felcserél, ezért téves a hívása. Keressünk minél egyszerűbb eljárást arra, hogy a 7-jegyű számok végére még egy ellenőrző számot téve, a központ két szomszédos szám felcserélése esetén jelezni tudja, hogy a szám téves, és ne kapcsoljon!

4. feladat. Bergengóciában a totó, a bajnokságnak megfelelően csak 4 mérkőzést tartalmaz. Minden mérkőzés eredményére háromféleképpen lehet tippelni: 1-gyel, 2-vel vagy X-szel. Egy szelvényen csak egy tipposzlop van.

a) Hány szelvényt kell venni ahhoz, hogy biztosan legyen telitalálatunk?

b) És ahhoz, hogy biztosan legyen olyan szelvényünk, amely legalább 3 találatos?

5. feladat. a) Legkevesebb hány szelvényt kell kitölteni ahhoz, hogy a 13 mérkőzésből álló totón biztosan elérjünk legalább 12 találatot?

b) Tegyük most fel, hogy csak 11 mérkőzés van és azt szeretnénk elérni, hogy legyen legalább 9 találatos szelvényünk. Hány szelvényt kell ehhez kitöltenünk?

6. feladat. Mr. X az 1 , 2 , 3 , 16 számok egyikére gondolt. Ki szeretnénk „barkochbázni” a gondolt számot. Ehhez előre le kell írni a kérdéseket egy-egy cetlire, amelyeket Mr. X egy előre nem látható sorrendben néz át és (a három feltétel, három külön feladatot jelent)

a) mindegyikre pontosan válaszol;

b) legfeljebb egyre nem ad választ;

c) legfeljebb egyre téves választ ad.

Legalább hány kérdésre van szükség ahhoz, hogy biztosan ki tudjuk találni a gondolt számot?

7. feladat. Egy kém az ellenséges ország televíziójához fog beépülni. Elutazása előtt most beszéli meg kódrendszerét a hazai titkosszolgálattal. Tudják, hogy a kémnek egyik este alkalma lesz az adásba kerülő 8 × 8 -as fekete-fehér tábla egyetlen, általa majd akkor kiválasztott mezőjének színét megváltoztatni. Nem feltétlenül szükséges változtatnia. Sajnos nem tudják előre, hogy milyen mintázatú lesz a 64 mező, amikor a kém elé kerül, és várható, hogy semmilyen más lehetősége nem lesz üzenni. Hányféle információt tud így küldeni a TV-n keresztül?



[17] A 2., 3., 4. feladatok megoldása megtalálható a Bergengóc példatár 2. kötetében (Typotex, 2001) a 225., 227., 237. sorszámú példáknál.