Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

3. Véges projektív síkok

3. Véges projektív síkok

Visszatérünk a Zarankiewicz probléma m = n esetére. Az 1. tételben szereplő becslést egyenlőséggel megvalósító rendszereket fogjuk tüzetesebben megvizsgálni. Lefordítjuk az ezekre a rendszerekre vonatkozó 2. állítást a Zarankiewicz probléma halmazos változatára. Az, hogy alaphalmazunk { 1 , , n } volt, nyilván lényegtelen. Legyen tehát P tetszőleges n -elemű halmaz, L pedig P bizonyos részhalmazainak halmaza. A P halmaz elemeit pontoknak, L elemeit egyeneseknek fogjuk nevezni. A fordítást a 2. állítás IV. és V. feltételével kezdjük:

P1: Bármely két ponthoz pontosan egy olyan l ? L egyenes található, amelyben mindkét pont benne van;

P2: Bármely két egyenesnek pontosan egy közös pontja van.

A 2. állítás I., II., III. feltételei helyett két, azoknál sokkal gyengébbnek tűnő feltételt mondunk ki. Később azonban látni fogjuk, hogy ez a két feltétel nem is olyan gyenge, mert belőlük – P1 és P2 fölhasználásával – már következik a 2. állításbeli I., II. és III.

P3: Bármely egyenesnek legalább három pontja van;

P4: Bármely pontot legalább három egyenes tartalmaz.

A P1P4 axiómáknak eleget tevő ( P , L ) párokat projektív síkoknak nevezzük. Szóhasználatunk nagyon geometriai, de lehet, hogy az olvasó nem találkozott még a valós projektív síkkal, csak az euklidészi (affin) síkkal. Így igyekszünk megvilágítani az elnevezés eredetét.

Geometriában sokszor előfordul az a helyzet, hogy valamely tétel feltételeiben vagy állításában külön kell választani az egy ponton átmenő egyeneseket és a párhuzamosokat. Ilyen példa a Desargues-tétel vagy Ceva tétele, de említhetnénk a Menelaosz-tételt vagy Papposz tételét is. A Desargues tétellel már találkoztunk Montágh Balázs cikkében. Ott tulajdonképpen külön meg kellett volna fogalmazni a tétel azon speciális eseteit, amelyekben egy ponton átmenő egyenesek helyett egymással párhuzamos egyenesek szerepelnek. Ezek a speciális esetek gyakran nagyon fontosak: ha a két háromszög megfelelő csúcsait összekötő egyenesek, valamint a háromszögek két-két megfelelő oldalpárja párhuzamos, akkor a harmadik oldalpár is. Ez a, sokszor kis Desargues tételnek nevezett, speciális eset azzal van kapcsolatban, hogy a sík koordináta struktúrája kvázitest-e. Az a speciális eset is fontos, amikor a két háromszög megfelelő csúcsait összekötő egyenesek metszők, és két-két megfelelő oldalpár párhuzamos. (A konklúzió persze az, hogy ilyenkor a harmadik oldalpár is párhuzamos.) Igazából ezen két speciális eset univerzális érvényessége maga után vonja, hogy a síkot (ferde)testre építhetjük, ugyancsak a Montágh Balázs féle fejezetben látott módon.

A speciális esetekkel való bajlódást elkerülendő egyenesek párhuzamossági osztályaihoz szokás ideális pontot rendelni, és bevezetni az ideális pontok alkotta ideális egyenest. Eszerint tehát az euklidészi sík minden egyeneséhez egyetlen ideális pontot veszünk hozzá, azt amelyik az egyenes párhuzamossági osztályához van rendelve. Ez azt jelenti, hogy most már az eddig nem metsző egyeneseknek is van közös pontjuk, a párhuzamossági osztályukhoz tartozó ideális pont. Az így kapott geometriát szokás klasszikus (vagy valós) projektív síknak nevezni. A „projektív” szó a „projekció”-ból, a „vetítés” latin megfelelőjéből, származik. Amikor egy síkot egy ponton keresztül átvetítünk egy másikra, akkor az egymással párhuzamos egyenesekből metszők lehetnek: a párhuzamos egyenesekhez tartozó ideális pontból valóságos pont lesz. Lényegében ez történik akkor is, amikor rajzolunk, vagy fényképezünk: a párhuzamosok – egy sínpár, az út két széle, egy folyó két partja – a papíron találkoznak, vagy legalábbis összetartó egyenesekként jelennek meg.

A klasszikus projektív sík is eleget tesz a P1P4 axiómáknak, csak P és L nem végesek. Projektív síkokról és terekről részletesen olvashatunk Reimann [R] könyvének 17. fejezetében, valamint Coxeter [C] könyvének 14. fejezetében. Ugyanitt a fentinél részletesebb történeti áttekintést is találunk a projektív geometria létrejöttéről. A véges projektív síkok bevezetésének szokásos útja éppen ezeken a geometriákon keresztül történik: a klasszikus projektív sík ismeretében keresünk olyan „axiómákat”, amelyek csak az illeszkedés fogalmát használják. Ez a felépítés megtalálható például Kárteszi ([K], 1.1 szakasz) vagy Reiman ([R], 17.8 szakasz) könyvében. Lássuk, hogy a véges esetben milyen kapcsolat van affin és projektív síkok között. A salakmotor-versenyekről szóló Montágh cikk 4. feladata éppen azt mutatja, hogy párhuzamossági osztályok véges síkon is vannak, így a fenti ideális pontokkal és egyenessel való bővítés itt is elmondható.

12. feladat. Mutassuk meg, hogy az ideális elemekkel bővített affin sík eleget tesz a P1–P4 axiómáknak!

5. ábra. Fent: harmadrendű affin sík a különböző m meredekségű egyenesekkel; Lent: bővítés projektív síkká.

Kezdjük P1 ellenőrzésével. Ha a kétpont az affin síkon van, vagy ha mindkettő ideális pont, az őket tartalmazó egyenes létezése és egyértelműsége is nyilvánvaló. Ha a két pont egyike affin, másika ideális, akkor először tekintsük azt a párhuzamossági osztályt, amelyhez a szóbanforgó ideális pontot rendeltük. Ennek a párhuzamossági osztálynak az affin síkok Montágh Balázs cikkében megtalálható A2 axiómája miatt pontosan egy olyan egyenese lesz, amely tartalmazza az adott affin síkbeli pontot. P2 ellenőrzése hasonló esetszétválasztással történhet, P3 és P4 pedig azonnal következik Montágh Balázs cikke 3. feladatának a) és b) részéből, figyelembe véve, hogy minden egyeneshez még egy ideális pontot is hozzávettünk. A most látottak véges síkokra a következő tételt bizonyítják.

3. Tétel. Ha létezik k -adrendű affin sík, akkor létezik k 2 + k + 1 pontú projektív sík is.

Megfordítva, projektív síkból mindig kaphatunk affin síkot egy egyenes és annak összes pontjának törlésével. Figyelembe véve, hogy az l egyenes törlése után pontosan azok az egyenesek lesznek diszjunktak, amelyek metszéspontja l -en volt, P1P4 segítségével nem nehéz belátni a 3. tétel megfordítását sem.

4. Tétel. Ha létezik k 2 + k + 1 pontú projektív sík, akkor van k -adrendű (azaz k 2 pontú) affin sík is.

Hagyjuk el projektív síkból valamelyik egyenesét, és az egyenes pontjait. Így affin síkot kapunk. Most bővítsük ki ezt az affin síkot ideális elemekkel projektív síkká. Így ugyanazt a projektív síkot kapjuk vissza, amiből kiindultunk. Ez azt mutatja, hogy minden projektív síkot megkaphatunk alkalmas affin síkból ideális elemekkel való bővítéssel. Ilymódon Montágh Balázs cikkének 3. feladatából azonnal következik az alábbi tétel is.

5. Tétel. Minden véges projektív síkhoz van olyan k egész szám, amelyre a következő tulajdonságok teljesülnek:

1. Minden egyenesnek k + 1 pontja van;

2. Minden ponton k + 1 egyenes megy át;

3. A síknak k 2 + k + 1 pontja és ugyanennyi egyenese van.

Valóban, minden egyeneshez egy pontot vettünk hozzá, ami 1. teljesülését mutatja. Összesen k + 1 ideális ponttal bővítettünk, az egyenesek száma pedig csak eggyel nőtt, ami a 3.-beli állítás. Ideális ponton átmegy az ideális egyenes, valamint párhuzamossági osztályának k egyenese, összesen k + 1 egyenes. Az affin sík egy rögzített pontját tartalmazó egyenesekből egy-egy van mindegyik párhuzamossági osztályban. Mivel a párhuzamossági osztályok száma[6] éppen k + 1 , így ebben az esetben is teljesül 2. Ha az alábbi feladatot nehéznek találja az Olvasó, akkor a teljes megoldás előtt „segítő lökést” is talál hozzá „A feladatok megoldása” részben.

13. feladat Bizonyítsuk be az 5. tételt közvetlenül a P1P4 axiómákból.

Az 5. tétel szerint létező k -t a projektív sík rendjének nevezik, ugyanúgy mint az affin sík esetén. Jegyezzük meg, hogy ha síkunknak k 2 + k + 1 pontja van, akkor rendje szükségképp k . Eszerint a 3. és 4. tételek együtt azt mutatják, hogy pontosan akkor létezik k -adrendű affin sík, ha k -adrendű projektív sík létezik.

Kicsit megfeledkeztünk Zarankiewicz problémájáról. Erről, korábbi ismereteinket összerakva, a következőt mondhatjuk:

6. Tétel. Ha Zarankiewicz problémájának halmazos változatában m = n esetén a keresett maximum megegyezik a (Z) becslésben szereplővel, akkor halmazaink alkalmas projektív sík egyenesei. Megfordítva: bármely projektív sík egyeneseiből egyenlőséget kapunk a (Z) becslésben.

Az eredményt átfogalmazhatjuk a Zarankiewicz probléma mátrixos változatára is. Tegyük fel, hogy n = m = k 2 + k + 1 és egy n × n -es mátrixban ( k + 1 ) · ( k 2 + k + 1 ) darab 1-es van úgy, hogy semelyik két sor és két oszlop négy keresztezési mezőjében sincs mindenütt 1-es. Tekintsük az oszlopokat pontnak, a sorokat egyenesnek, és minden sort azonosítsunk azon oszlopok halmazával, amelyekben az adott sorban 1-es áll. Így projektív síkhoz jutunk. Megfordítva, bármely véges projektív sík illeszkedési viszonyait táblázatba írhatjuk: az oszlopokat a pontoknak a sorokat az egyeneseknek feleltetjük meg, és 1-est írunk az oszlop és a sor kereszteződésébe, ha a megfelelő pont és az egyenes illeszkednek egymásra. Ezt nevezik a projektív sík illeszkedési mátrixának, és minden esetben extremális ( ( k + 1 ) · ( k 2 + k + 1 ) darab 1-est tartalmaz) a Zarankiewicz problémának mátrixos változatában. A 3. ábrán látható mátrixok 2-odrendű, illetve 3-adrendű projektív síkok illeszkedési mátrixai. Most visszatérünk a projektív síkot definiáló axiómák vizsgálatára.

Más axiómarendszerek is használatosak, amelyek ugyancsak a projektív síkokat definiálják. Az affin síkok A1A3 axiómáinak mintájára[7] a P1, P2 axiómákhoz az alábbi P5-öt is hozzávehettük volna:

P5: Van négy olyan pont, amelyek közül semelyik három nincs egy egyenesen.

Ha valaki megoldotta a 13. feladatot, akkor talán látja, hogy mi az előnye a P1P4 axiómáknak. A megoldás során többször csináltuk „lényegében ugyanazt”, csak a pont és egyenes szavakat cseréltük fel, és „rajta van” (pont az egyenesen) helyett „átmegy rajta”-t (egyenes a ponton) kellett mondanunk. Ezt az elvet a dualitás elvének szokták nevezni, és ha két állítás ezen a módon keletkezik egymásból, akkor azokat egymás duálisainak nevezzük. A P1 axióma duálisa P2, P3P4, így ha valamely állítást le lehet vezetni P1P4-ből, akkor annak duálisát is.

A matematika sok más területén hasznosak a fentihez hasonló dualitási elvek, ezekről szól Recski András írása. A dualitás elvét a következő módon is megfogalmazhatjuk: ha ? = ( P , L ) projektív sík, akkor ? * = ( L , P ) is az. Itt csaltunk egy kicsit, mert P elemi nemrészhalmazai L-nek, azonban minden P ? P pontot azonosíthatunk a rajta átmenő egyenesek halmazával. Ha ezt az azonosítást elvégezzük, akkor ? * definíciója precízzé válik. ? * -t szokták ? duális síkjának nevezni. Montágh Balázs cikkében olvashattunk arról, hogy négy páronként nem-izomorf 9-edrendű projektív sík van. Ezek közül van olyan, amelynek duális síkja nem izomorf vele. Duális síkok illeszkedési mátrixa között nagyon egyszerű kapcsolat van: a sorok és oszlopok alkalmas permutációja után egyik a másiknak a transzponáltja (azaz az egyik mátrix elemei a másikból a főátlóra való tükrözéssel kaphatók). Ezen a módon, legalábbis az n = m esetben, a Zarankiewicz probléma megoldásai között is értelmezhetjük a dualitás fogalmát.

Próbáljuk meg dualizálni Desargues tételét! Ilymódon éppen a tétel megfordítását kapjuk. Ezt viszont nem nehéz bebizonyítani, ha felhasználjuk a Desargues tétel univerzális érvényességét. Ez azt jelenti, hogy ha a P1P4 axiómákhoz hozzávesszük Desargues tételét további axiómaként, akkor a dualitás elve továbbra is érvényben marad (hiszen ezekből az axiómákból a Desargues tétel duálisa levezethető). Ez viszont már gazdag, geometriai axiómarendszer. A Desargues tétellel bővített axiómarendszer ödualitását úgy is fogalmazhatjuk, hogy ha valamely síkon univerzálisan érvényes Desargues tétele, akkor duális síkján is. Montágh Balázs cikkében olvashattuk azt a tényt, hogy véges esetben a Desargues tétel univerzális érvényessége egyenértékű azzal, hogy síkunkat az ott leírt módon az F q testből készítettük.

14. feladat Mutassuk meg, hogy projektív síkban teljesül P5. Megfordítva P1, P2, P5 implikálja P3, P4 teljesülését.

Az F q véges testre épített affin sík kibővítésével keletkező projektív síkot P G ( 2 , q ) -val szokták jelölni, amelynek rendje q . A fentiek miatt szokás ezt desarguesi síknak nevezni. Ugyancsak gyakori elnevezés a Galois-sík elnevezés, amely onnan ered, hogy a véges testeket gyakran Galois-testnek is nevezik.

6. ábra.

Érdemes a kis k értékeket külön is megvizsgálni. A legkisebb szóbajövő érték a k = 2 . Ekkor három konstrukciónk is van: tekinthetjük a szabályos hétszög tsz. részháromszögének elforgatottjait, kibővíthetjük a másodrendű affin síkot projektívvá, és megadhatjuk a másodrendű síkot az alábbi ábra segítségével is.

Ezen az ábrán a pontok a szabályos háromszög csúcsai, oldalfelező pontjai, valamint középpontja, egyenesei pedig az oldalak, a magasságvonalak, valamint a beírt kör által megadott ponthármasok. Ezt a síkot szokás Fano-síknak nevezni.

15. feladat Mutassuk meg, hogy a Fano-sík tényleg projektív sík.

A véges síkok és az ezzel analóg véges terek felfedezője von Staudt (1856), újra felfedezője pedig Fano (1892) volt. Von Staudt a két- és három-dimenziós esetet vizsgálta. Fano-nál a (tetszőleges dimenziós) projektív tér rendje csak p prímszám lehetett. Gino Fano a ma Fano-síknak nevezett síkot, mint nem kívánatos konfigurációt megtiltotta, ld. Coxeter könyvében a 14.14. axiómát. Ez nem véletlen, hiszen a Fano-sík nem más, mint négy hármanként nem kollineáris pont („négyszög”) és annak három kollineáris „átlós pontja”[8]. A klasszikus euklidészi síkon viszont nincs olyan négyszög, amelynek átlós pontjai kollineárisak volnának.

Vajon van-e más példa hét pontú projektív síkra? Három konstrukciót is megadtunk, azonban nem biztos, hogy ezek lényegesen különbözők. A „Salakmotorversenyek és véges síkok” cikk 10. fejezetének elején már tisztáztuk, hogy mikor tekintünk két síkot egyformának, azaz izomorfnak.

16. feladat Mutassuk meg, hogy izomorfia erejéig egyetlen másodrendű projektív sík van.

A következő, k = 3 esetben is két konstrukciónk van: P G ( 2 , q ) , valamint a szabályos 13-szögből való. Talán nem meglepő, hogy ezek is izomorfak. Ennek bizonyítása lényegesen új gondolatot nem tartalmaz, csak sok eset végignézését.

Térjünk vissza a szabályos ( k 2 + k + 1 ) -szög tsz. rész- ( k + 1 ) -szögeire! Singer bizonyította az 1930-as években, hogy P G ( 2 , q ) mindig reprezentálható ezen a módon ( k = q ). Nem ismert azonban, hogy a 2. feladatbeli módszerrel kaphatunk-e ettől különböző síkot. Montágh Balázs cikkéből megtudhatjuk, hogy mi minden ismeretes véges affin síkok létezéséről illetve nem-létezéséről. Ott láttuk, hogy nincsen 6-odrendű sík, azaz tsz. rész-hétszög sem létezhet a szabályos 43-szögben. Ugyancsak Montágh Balázs cikkében olvashattuk, hogy vannak olyan kvázitestre épített síkok, amelyeken nem teljesül a Desargues tétel. Ezekről a síkokról az is megmutatható, hogy nem állhatnak elő szabályos ( k 2 + k + 1 ) -szög tsz. rész- ( k + 1 ) -szögeinek segítségével. Ez azt jelenti, hogy a Zarankiewicz problémának nem minden megoldását lehet a 3. ábrán szereplő ciklikus alakra hozni.

Ha a kedves Olvasó érdeklődését sikerült felkeltenünk, akkor további olvasásra az irodalomjegyzékben szereplő műveket ajánljuk. Ezek közül kiemeljük a [K] könyv első fejezetét, valamint [R] projektív geometriai részeit. Ezek anyaga túlmutat a jelen dolgozaton, de tárgyalásuk középiskolások számára is érthető.



[8] Átlós pont: a négy pont közül kettőt összekötő egyenes és a másik kettőn átmenő egyenes metszéspontja.