Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

Véges projektív síkok

Véges projektív síkok

Bérczi, Gergely

Gács, András

Köszönet a Bolyai Farkas Ösztöndíj támogatásáért. 

Szőnyi, Tamás

Köszönet az Alapítvány a Felsőoktatásért és Kutatásért Magyary Zoltán ösztöndíja és az F030737 számú OTKA projekt támogatásáért. 

1. Szabályos sokszög szabálytalan részsokszögei

Vizsgálódásainkat az alábbi ártalmatlannak látszó geometriai feladattal kezdjük:

1. feladat Tekintsük a szabályos13-szöget. Hány csúcsát lehet ennek úgy kiválasztani, hogy bármely kettő távolsága különböző legyen?

Az ilyen részsokszöget teljesen szabálytalan részsokszögnek(röviden: tsz. részsokszögnek) nevezzük. Ha a tsz. részsokszög s csúcsú, akkor a tsz. rész- s -szög elnevezést is használjuk. A megoldás során, sőt kicsit azon túlmenően is, bebizonyítjuk az alábbi állításokat is:

(1A) A válasz szempontjából mindegy, hogy két csúcspont távolságán a síkon vagy a köríven mért távolságot értjük.

(1B) Négy pontot ki tudunk választani, de többet nem.

(1C) Tekintsük egy teljesen szabálytalan résznégyszög elforgatottjait, mégpedig k 13 · 360 ° -os szöggel, ahol k = 0 , 1 , , 12 . Az eredeti szabályos 13-szög bármely pontpárjához pontosan egy olyan elforgatott tsz. résznégyszög van, amelynek csúcsai között szerepel a pontpár.

1. ábra.

Amikor az 1. feladat megoldásával próbálkozunk, akkor hamar rájövünk, hogy (a szabályos 13-szög csúcsait ciklikusan számozva) az 1, 2, 5, 7 sorszámú csúcsok tsz. résznégyszöget alkotnak. Ennek belátásához az (1A) állítást kell meggondolnunk: a körön mért távolság arányos a középponti szöggel, két körön levő pont euklidészi távolsága pedig pontosan akkor egyezik meg, ha a megfelelő középponti szögek megegyeznek. Azt is láthatjuk, hogy az előforduló középponti szögek mindig 360 ° 13 többszörösei. Így elegendő a csúcsok sorszámát megadnunk és azt ellenőrizni, hogy ezen sorszámok különbségeként nem kaphatjuk ugyanazt a számot kétszer, modulo 13 számolva. Vigyázat, ez úgy értendő, hogy minden pontpárhoz két különbség is tartozik! Például az 1 és 7, valamint a 2 és 9 közti távolság azonos, mert bár nem teljesül a 7 - 1 ? 9 - 2 ( mod 13 ) kongruencia, de 7 - 1 ? 2 - 9 ( mod 13 ) . A fenti négy csúcs közötti különbségek 2 - 1 = 1 , 1 - 2 = 12 , 5 - 1 = 4 , 1 - 5 = 9 , 7 - 1 = 6 , 1 - 7 = 7 , 5 - 2 = 3 , 2 - 5 = 10 , 7 - 2 = 5 , 2 - 7 = 8 , végül 7 - 5 = 2 , 5 - 7 = 11 , amelyek valóban mind különbözőek. Az (1C) állítás igazolásához gondoljuk meg, hogy a tsz. résznégyszög csúcsai között 4 2 = 6 különböző távolság fordul elő, ugyanannyi, mint ahány különböző távolság egyáltalán előrdulhat a szabályos 13-szög csúcsai között. Ez más szóval azt jelenti, hogy minden, a szabályos 13-szög csúcsai közötti lehetséges távolság (pontosan egyszer) előfordul a tsz. résznégyszög csúcsai között is. Ez éppen az (1C) állítás. Lényegében ugyanez az okoskodás mutatja, hogy nincs öt pontú tsz. részsokszög, mert annak pontjai között már 5 2 = 10 távolság fordulna elő.

A most látott gondolatmenet természetesen vezet feladatunk általánosításához. Ha szabályos 13-szög helyett n -szögre kérdezzük a tsz. részsokszög csúcsainak maximális számát, akkor az alábbi egyenlőtlenséget kapjuk (később világossá váló okból a maximális csúcsszámnál eggyel kisebb számot jelöljük k -val, a keresett maximum tehát k + 1 ):

k + 1 2 ? n 2 ,

hiszen a rész- ( k + 1 ) -szögünk csúcsai között k + 1 2 , a szabályos n -szög csúcsai között pedig [ n / 2 ] különböző távolság fordul elő. Ha most k -t rögzítjük, akkor ebben a becslésben egyenlőség csak akkor lehet, ha n = k 2 + k vagy n = k 2 + k + 1 . Eszerint a fenti feladatban szereplő k = 3 eset még a szabályos 12-szög esetén is olyan tsz. részsokszöget adna, amelyben minden lehetséges távolság előfordul. Az 1,2,5,7 sorszámú csúcsok itt is a kívánalmaknak megfelelő részsokszöget adnak. Ebben az esetben azonban az (1C) állítás nem teljesül, mert az 1 és 7 sorszámú csúcsok átellenesek, így ezeket nemcsak 1,2,5,7, hanem annak 180 ° -kal való elforgatottja, azaz 7,8,11,1 is tartalmazza. Ha n = k 2 + k , ami páros, akkor mindig ez a helyzet: tsz. rész- ( k + 1 ) -szögünk tartalmaz két átellenes pontot és ezeken a pontokon a részsokszög 180 ° -kal való elforgatottja is átmegy. Mivel az (1C) állítás szép geometriai jelenséget ír le, amelyet nem kívánunk elhagyni, mi a továbbiakban csak a másik extremális esettel, azaz n = k 2 + k + 1 -gyel foglalkozunk. Természetesen nem állítjuk, hogy n = k 2 + k + 1 -re mindig volna tsz. rész- ( k + 1 ) -szög. A legkisebb olyan eset, amikor ilyen részsokszög nincsen, k = 6 , azaz n = 43 esetén fordul elő. Ennek bizonyítása az összes esetet végigvizsgáló hosszadalmas próbálgatással történhet (ugyanakkor számítógépen nem nehéz végignézni ezeket az eseteket). Később látni fogjuk, hogy egy másik cikkben megfogalmazott állításból is következik, hogy a szabályos 43-szögben nincs tsz. részhatszög.

Érdemes a kis k -értékekre felírni a tsz. részsokszögek csúcsait, ciklikus sorrendben:

k = 2 , n = 7 : 1,2,4

k = 3 , n = 13 : 1,2,5,7

k = 4 , n = 21 : 1,2,5,15,17

k = 5 , n = 31 : 1,2,4,9,13,19.

Természetes kérdés, hogy vajon „egyértelműek-e” ezek a tsz. részsokszögek. Erre a kérdésre még visszatérünk, e pillanatban még az sem világos, hogy mit értsünk egyértelműség alatt. A táblázatban felsorolt esetekben, sőt a vizsgált extremális esetekben mindig igaz az (1C) állítás:

2. feladat Tekintsük valamely szabályos n = k 2 + k + 1 -szög egy teljesen szabálytalan rész- ( k + 1 ) -szögének elforgatottjait, mégpedig s k 2 + k + 1 · 360 ° -os szöggel, ahol s = 0 , 1 , , k 2 + k . Mutassuk meg, hogy az eredeti szabályos sokszög bármely pontpárjához pontosan egy olyan elforgatott tsz. rész- ( k + 1 ) -szög van, amelynek csúcsai között szerepel a pontpár.

Természetesen itt fel kell tennünk, hogy létezik a kívánt tsz. részsokszög. A korábbi becslésünkből láthatjuk, hogy az eredeti szabályos ( k 2 + k + 1 ) -szög bármely pontpárja között fellépő távolság pontosan egyszer szerepel a tsz. rész- ( k + 1 ) -szög csúcsai között. Ez éppen azt jelenti, hogy ezt a két pontot el tudjuk úgy forgatni, hogy fedje a megadott pontpárt. Más lehetőség viszont nincs is, ha a tsz. rész- ( k + 1 ) -szög két különböző pontpárja is elforgatható lenne az adott pontpárba, akkor ugyanaz a távolság kétszer szerepelne a részsokszögben. Az alábbi feladatot Kárteszi [K] könyvéből (77. oldal, 3. feladat) vettük.

3. feladat A szabályos ( k 2 + k + 1 ) -szög köré írt kör középpontja mikor van a teljesen szabálytalan rész- ( k + 1 ) -szög belsejében?

E feladat megoldását, csakúgy mint sok továbbiét, a cikk végén található „A feladatok megoldásai” című fejezetben közöljük.