Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

10. Test és geometria

10. Test és geometria

A továbbiakban azt próbáljuk áttekinteni, hogy van-e más véges affin sík a korábban megismert testre épített síkokon kívül. A vizsgálatot már a „másság” ellenőrzésének kérdése is nehézzé teszi. Két sík akkor „más”, ha nem „egyforma”, és két sík akkor egyforma, ha illeszkedési viszonyaik azonosak: párba lehet úgy állítani az egyik sík pontjait a másik sík pontjaival, és az egyik sík egyeneseit a másik sík egyeneseivel, hogy pontosan akkor illeszkedjen egy pont egy egyenesre az egyik síkon, ha párjaik is illeszkednek egymásra a másik síkon.

Ha két sík egyforma, akkor szerencsés esetben megtaláljuk a megfelelő párbaállítást. A „másság” igazolása viszont reménytelennek tűnik: ki kell zárnunk az összes lehetséges párbaállítást. Egyszerűbb a dolgunk, ha találunk olyan geometriai összefüggést, tételt, amely az egyik síkon teljesül, a másikon nem. Ebben az esetben a két sík nyilvánvalóan más. Az első ilyen irányú eredményekhez Hilbertnek a síkgeometriai axiómákkal kapcsolatos vizsgálódásai vezettek el.

Hilbert a geometriai axiómákat három fő csoportra osztotta, illeszkedési, rendezési és egybevágósági axiómákra, ezekhez jött még a párhuzamossági axióma. A párhuzamossági és az illeszkedési axiómák lényegében a mi A1A3 axiómáink; ezek csak a pontok és egyenesek egymásra való illeszkedését említik, nincs bennük szó arról, hogy egy egyenesen valamely speciális konfiguráció által kijelölt pontok milyen sorrendben következnek és nem említik a távolság fogalmát sem.

Hilbert rájött arra, hogy a geometria egy klasszikus tétele, a Desargues-tétel, bár csak az illeszkedés fogalmait használja, nem következik az A1A3 axiómákból. Ismerkedjünk meg ezzel a tétellel:

Desargues tétele: Legyen hat különböző pont egy A B C és egy A ' B ' C ' valódi háromszög hat csúcsa. Ha az A A ' , B B ' , C C ' egyeneseknek van egy közös D pontjuk, akkor az A B és A ' B ' oldalegyenesek C * metszéspontja, valamint a B C és a B ' C ' , illetve a C A és a C ' A ' egyenesek A * , B * metszéspontjai egy d egyenesen vannak (illetve előfordulhat, hogy az A * , B * , C * pontok egyike sem létezik, mert a megfelelő egyenesek párhuzamosak, vagy csak az egyik, mondjuk C * nem létezik, és ilyenkor az A * B * egyenes párhuzamos az A B , A ' B ' egyenesekkel).

2. ábra.

Desargues tétele az első pillanatban talán idegennek hat, de ha a térben képzeljük el a konfigurációt, akkor rögtön világossá válik az állítás. A d egyenes az A B C , A ' B ' C ' háromszögek síkjának metszésvonala lesz, ha létezik. (Ha nem, akkor a zárójelbe tett első eset áll fönn.) Ha ugyanis az A A ' , B B ' , C C ' térbeli egyenesek egy D ponton mennek át, akkor a D , A , A ' , B , B ' pontok mind egy síkban vannak, így az A B és A ' B ' egyenesek metszik egymást (vagy pedig párhuzamosak). Ugyanakkor az A B egyenes az A B C háromszög síkjában, míg A ' B ' az A ' B ' C ' síkban van, így metszéspontjuk e két sík metszésvonalán van (vagy mindkettő párhuzamos a metszésvonallal). Ugyanez elmondható a B C és B ' C ' , illetve a C A , C ' A ' egyenespárokra is, így a tétel térbeli változata igazolást nyert.

10. feladat. Bizonyítsuk be Desargues tételét a valós euklideszi síkon, azaz a valós számok testére épített affin síkon! Próbáljunk olyan bizonyítást adni, amely más testre épített síkon is használható!

Hilbertnek sikerült olyan síkot konstruálnia, amelyen az A1A3 axiómák teljesülnek, Desargues tétele azonban nem érvényes. Hilbert példáját Moulton egyszerűsítette, és a következő modellt adta.

3. ábra.

Tekintsük a valós számokra épített síkot és benne a szokásos x , y koordináta-tengelyeket. A Moulton-sík pontjai a valós sík pontjai lesznek, az egyeneseket viszont kicsit módosítjuk. A pozitív meredekségű és a tengelyekkel párhuzamos egyeneseket nem változtatjuk meg, a negatív meredekségű egyeneseknek az y tengelytől balra eső részét viszont „megtörjük”, hogy eredeti meredekségüknek a fele legyen az új meredekség ( m = 2 · m ' ).

Könnyű ellenőrizni, hogy erre a síkra teljesülnek az A1, A2, A3 axiómák, de Desargues tétele nem érvényes.

4. ábra. Ellenpélda Desargues tételére a Moulton-féle síkon

Hilbert nemcsak azt bizonyította, hogy Desargues tétele minden testre épített affin síkon teljesül, hanem lényegében meg is fordította ezt az állítást. Megmutatta, hogy ha egy affin síkon teljesül Desargues tétele, akkor az affin sík egy ferdetestre van építve, azaz egy olyan algebrai struktúrára, amelyben minden testaxióma teljesül, kivéve esetleg a szorzás kommutativitását.

Ez nem azt jelenti, hogy másmilyen algebrai struktúrára épített síkon biztosan nem teljesül a Desargues-tétel. Két különböző algebrai struktúrából ugyanis megkaphatjuk ugyanazt a síkot. Pl. vegyük a valós számok testét, és azon a szorzás helyett tekintsük az alábbi * műveletet:

a * b = a · b 2 , ha a //<// 0 , a · b egyébként.

Ez a művelet nem lesz kommutatív:

a * b ? b * a ,

( ¬ 5 )

és a jobboldali disztributivitás sem teljesül:

( a + b ) * c ? a * c + b * c .

( ¬ 8 )

(A ? jellel itt azt fejezzük ki, hogy a két oldal nem azonosan egyenlő, a változók bizonyos értékeinél lehet egyenlőség.) De az erre a struktúrára épített sík azonos lesz az eredeti testre építettel: az egyik sík pontjait most egyszerűen saját magukkal kell párba állítani, az m · x + b egyenest pedig, ha m pozitív, akkor az m * x + b -vel, ha pedig m negatív, akkor a ( 2 · m ) * x + b -vel.

11. feladat. Mi lett volna, ha az előbbiekben a * b -t minden teketória nélkül a · b 2 -ként definiáltuk volna minden a , b -re? Miért nem ezt a példát adtuk olyan, a valós számok testétől különböző algebrai struktúrára, amire az euklidészi sík épül fel?

Hilbert tehát azt látta be, hogy ha egy síkon teljesül Desargues tétele, akkor ez a sík a fejezetünk elején leírt értelemben egyforma (izomorf) a megfelelő méretű testre épített síkkal.