Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

7. Véges testek elemszáma

7. Véges testek elemszáma

A következő természetesen adódó kérdés, hogy a fenti négyelemű halmazhoz hasonló véges halmazok mekkora elemszám esetén állíthatók még elő, vagyis, hogy mi lehet egy véges test elemszáma.

Be fogjuk látni, hogy 1-en kívül csak prímhatvány lehet.

Ehhez vizsgáljuk meg az 1, 1 + 1 , 1 + 1 + 1 , összegek sorozatát! Ezek között van olyan, amelynek értéke 0. Valóban, a sorozatban végtelen sok összeg van, így véges test esetén biztosan lesznek közöttük egyenlők. Két ilyen egyenlő értékű összeg különbsége is csupa 1-es tagokból áll, értéke pedig 0.

Válasszuk ki a sorozatból azt a legelső elemet, amelynek 0 az értéke! Az ebben az összegben előforduló 1-es tagok számát a test karakterisztikájának nevezik. Végtelen testeknél nem feltétlenül van értelme a definíciónak, mert lehetséges, hogy az 1, 1 + 1 , 1 + 1 + 1 , összegek egyike sem nulla. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a test karakterisztikája zérus.

Mint korábban említettük, minden véges test nullosztómentes, azaz teljesül rá (10). Ez azért igaz, mert ha egy testben a · c = 0 és a , c ? 0 teljesülne, akkor az a · x = 0 egyenlet megoldása x = c lenne, tehát x = 0 nem lehetne megoldása – de a 4. feladat megoldása során bebizonyítottuk, hogy minden testben minden a elemre a · 0 = 0 .

Emiatt a karakterisztika nem lehet összetett szám. Ugyanis az m · n darab 1-esből álló összeg megegyezik az m darab 1-esből és az n darab 1-esből álló összegek szorzatával, tehát az előbbi értéke csak akkor lehet 0, ha az utóbbi kettő közül legalább az egyik 0. Véges test karakterisztikája tehát csak prímszám vagy 1 lehet, és – mint azt a 4. feladattal kapcsolatban már láttuk –, utóbbi esetben a test elemszáma is 1. Korábban vizsgált F 4 testünk karakterisztikája 2.

Mármost legyen a test karakterisztikája p , és jelöljük minden 0 ? k //<// p -re a k db 1-esből álló összeget k -val! Ezzel a p darab elemmel úgy számolhatunk, mint az F p testtel, azaz mint az egész számokkal modulo p . Bármelyiket bármelyik másikkal (kivéve nullával) el is oszthatjuk, az osztás eredménye is köztük lesz. Ha a halmaznak nincs rajtuk kívül eleme, akkor tehát p db elem van.

Ha van még elem, jelöljük egyiküket a 1 -gyel! Ekkor a p 2 db k 0 + k 1 · a 1 alakú elem ( 0 ? k 0 , k 1 //<// p ) is mind különböző. Ha ugyanis valamely 0 ? k 0 , k 1 , k 0 ' , k 1 ' //<// p -re k 0 + k 1 · a 1 és k 0 ' + k 1 ' · a 1 egyenlőek lennének, akkor teljesülne a ( k 0 - k 0 ' ) + ( k 1 - k 1 ' ) · a 1 = 0 összefüggés. Ha itt k 1 = k 1 ' , akkor k 0 = k 0 ' , tehát azért kaptuk ugyanazt az elemet, mert ugyanazt az alakot írtuk fel, ha viszont k 1 ? k 1 ' , akkor az egyenletből a 1 = 0 - ( k 0 - k 0 ' ) / ( k 1 - k 1 ' ) , tehát a 1 mégsem különbözik a 0 , 1 , , p - 1 elemektől. Így tehát, ha a halmaznak nincs eleme a k 0 + k 1 · a 1 alakú elemeken kívül, akkor pontosan p 2 db eleme van.

Ha van még elem (pl. esetleg az a 1 · a 1 szorzás eredménye – de az is lehet, hogy ez a szorzat k 0 + k 1 · a 1 alakú és mégis van az ilyen alakú elemeken kívül más elem), akkor ezt a 2 -vel jelölve hasonlóképp beláthatjuk, hogy a k 0 + k 1 · a 1 + k 2 · a 2 alakú elemek ( 0 ? k 0 , k 1 , k 2 //<// p ) mind különbözőek. Tehát vagy p 3 elem van, vagy van olyan elem, ami nem ilyen alakú. Így haladhatunk tovább, a végtelenségig azonban nem találhatunk mindig az eddig már vizsgált alakúakon kívüli elemet, hiszen véges a halmazunk. Tehát az elemszám valóban prímhatvány.

5. feladat. Legyen a egy test tetszőleges 0-tól különböző eleme, n pedig az a legkisebb pozitív egész, amelyre az n tagból álló a + a + + a összeg értéke 0. Tudhatjuk-e biztosan, hogy n a test karakterisztikája?