Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

5. Gyűrűk, kommutatív gyűrűk és testek

5. Gyűrűk, kommutatív gyűrűk és testek

Most térjünk vissza arra a kérdésre, hogy elő lehet-e valamilyen rendszer szerint állítani a 16 versenyző megfelelő beosztását.

A prímszám k -kra alkalmazott módszer alkalmazásához arra lenne szükségünk, hogy előbb egy négyelemű halmazon definiáljunk összeadást, kivonást és szorzást, úgy, hogy a szokásos műveleti szabályok teljesüljenek, és hogy – a négyes maradékosztályok esetével ellentétben – egy a · x = b alakú egyenletnek pontosan egy megoldása legyen, valahányszor a nem „nulla”, vagyis nem áll elő egy elem önmagával vett különbségeként.

Hajlamosak lehetünk azt gondolni, hogy négyelemű halmazon nem lehet így műveleteket definiálni. Lássuk, így van-e! Ehhez előbb nem árt végiggondolni, mik is azok a szabályok, amelyeket megszoktunk az alapműveletektől. Az összeadás olyan kétváltozós művelet, amely kommutatív:

a + b = b + a ,

(1)

és asszociatív:

( a + b ) + c = a + ( b + c ) ,

(2)

van egy 0-val jelölt eleme, amelyre

a + 0 = a

(3)

teljesül minden a -ra, végül minden a -ra van egy olyan, ( - a ) -val is jelölhető elem, amelyre

a + ( - a ) = 0 .

(4)

Ezek az összefüggések megadják a kivonás műveletét is: az a - b különbség nem más, mint az a + ( - b ) összeg. Ezek szerint tehát minden a -ra a - a = 0 . A szorzás is kommutatív és asszociatív:

a · b = b · a , (5) ( a · b ) · c = a · ( b · c ) , (6)

igaz továbbá, hogy

a · ( b + c ) = a · b + a · c .

(7)

azaz az összeadás a szorzásra nézve balról disztributív. Ha egy halmaz és rajta értelmezett két művelet rendelkezik az (1)(7) tulajdonságokkal, akkor azt mondják, hogy a halmaz – a két műveletre nézve – kommutatív gyűrű. Itt a kommutatív szó az (5) összefüggés teljesülését jelenti. Gyűrűnek akkor neveznek egy műveletekkel ellátott halmazt, ha a műveletek megfelelnek a többi hat szabálynak (azaz (1)-, (2)-, (3)-, (4)-, (6)-, (7)-nek), továbbá annak, hogy

( a + b ) · c = a · c + b · c

(8)

(jobbról disztributivitás), ami az első hét összefüggésből következik, de (5) nélkül a többi hatból már nem. Kommutatív gyűrű például Z , Q és R , tehát külön-külön az egész, a racionális és a valós számok halmaza a szokásos összeadással és szorzással; n Z , azaz bármely n egész szám többszöröseinek halmaza a negatív többszörösöket is beleértve; R x , azoknak a polinomoknak a halmaza is, amelyek együtthatói egy tetszőleges R kommutatív gyűrű elemei; továbbá Z n , egy n egész szám szerinti maradékosztályok halmaza. Gyűrűt, de nem kommutatívat kapunk, ha a valós számokon értelmezett valós értékű függvények halmazán az összeget a szokásos módon értelmezzük (két függvény összegének értéke bármely helyen a tagok azon a helyen felvett értékeinek összege: ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) ), két függvény szorzatának pedig a kompozíciójukat tekintjük, vagyis az f · g szorzat értéke az x helyen f ( g ( x ) ) .

Mint láttuk, a motorversenyzők beosztásához ezeken a szabályokon kívül még arra van szükség, hogy

minden x · a = b alakú egyenletnek, amelyben a nem 0, pontosan egy megoldása van.

(9)

(Talán természetesebbnek tűnne x · a helyett a · x -et írni. Ez persze most, hogy (5)-t már kikötöttük, teljesen mindegy. A későbbiekben viszont lesz jelentősége, és ott a fenti formájában lesz szükségünk erre a szabályra.) Ez éppen azt jelenti, hogy az osztás művelete is definiálva van 0-tól különböző osztókra, hiszen a b / a osztás eredményének az x · a = b egyenlet megoldását tekinthetjük. Tehát ( b / a ) · a = b , és ezért a · ( b / a ) = b . Az így definiált műveletekkel ellátott halmazokat testnek nevezik, bár természetesen semmi közük sincs a geometriai testekhez. A kommutatív gyűrűkre felsorolt példák közül a racionális számok, a valós számok, és a prímszám szerinti maradékosztályok halmaza test. Az utóbbit gyakran F p -vel jelölik, ugyanis az angol nyelvű szakirodalomban a testeket field-nek nevezik.

Lássuk be, hogy (1)(7) és (9) együtt maga után vonja azt, hogy a halmazban van „1” is, tehát olyan elem, amelyre a · 1 = a , azaz a / a = 1 , minden 0-tól különböző a -ra! (Ez nem igaz minden kommutatív gyűrűre, az előbbi példák közül nem igaz n Z -re, ha n //>// 1 .) Vagyis mutassuk meg azt, hogy a / a = b / b minden 0-tól különböző a -ra és b -re. Szavakkal elmondva ez azért igaz, mert a „keresztbe szorzás” után, tehát a két hányadost a · b -vel szorozva, azonos eredményeket kapunk (magát a · b -t), és az osztás egyértelműsége azt jelenti, hogy ha két elemet ugyanazzal szorozva egyenlők a szorzatok, akkor a két elem is egyenlő. Ugyanez betűkkel: legyen a / a = e és b / b = f , ekkor e · a · b = ( a / a ) · a · b = a · b = ( b / b ) · a · b = f · a · b , és így e = ( e · ( a · b ) ) / ( a · b ) = ( f · ( a · b ) ) / ( a · b ) = f .