Ugrás a tartalomhoz

Új matematikai mozaik

Ambrus Gergely, Bárszi Gergely, Csikós Balázs, Frenkel Péter, Gács András, Gyárfás András, Hraskó András, Kiss Emil, Laczkovich Miklós, Lovász László, Montágh Balázs, Moussong Gábor, Pach János, Pelikán József, Recski András, Reiman István

Typotex

Salakmotor-versenyek és véges síkok

Salakmotor-versenyek és véges síkok

Montágh, Balázs


1. Négyes futamok

A salakmotor-versenyek kedvelői jól tudják, hogy ha egy pályán egyszerre 4 versenyző fér el, és összesen 16 versenyző akarja összemérni az erejét egymással, akkor „szerencsére” éppen be lehet őket osztani négyes futamokba úgy, hogy mindenki mindenkivel egyszer találkozzon.

Próbáljunk meg elkészíteni ilyen futam-beosztást!

Sikerült? Nem meglepő, ha nem. Ha mégis, akkor is elég furcsán rendezetlennek tűnhet a megoldás, ahhoz képest, hogy az első pillanatban biztos valami szabályosabbat vártunk. Gondolkodhattunk például a következőképpen. Összesen 16 2 „találkozást” kell megszervezni, ebből egy futamban 4 2 valósul meg, tehát a szükséges futamok száma a két érték hányadosa: 20. Az első nyolc futamot még könnyen felírhatjuk. Jelöljük a versenyzőket számokkal, 0-tól 15-ig, az első négy futam legyen:

1. futam:

0

1

2

3

 

2. futam:

4

5

6

7

 

3. futam:

8

9

10

1

 

4. futam:

12

13

14

15

,

a következő négyet pedig alkossák az előbbiekben egymás alá került négyesek:

5. futam:

0

4

8

12

 

6. futam:

1

5

9

13

 

7. futam:

2

6

10

14

 

8. futam:

3

7

11

15

.

Most írjuk fel az 0-s versenyzőt foglalkoztató hátralévő három futamot! Az egyik legyen az „átló”:

9. futam:

0

5

10

15.

 

Ettől kezdve a futambeosztás már egyértelmű. A 0, 6, … kezdetű futamba egy-egy versenyző kell még a 3. és a 4. futamból, akik egymással még nem találkoztak, vagyis az első négy futam felsorolásakor nem kerültek egymás alá. Ilyen pár a 9, 15 és a 11, 13, de 0 most találkozott 15-tel, tehát a futam csak

10. futam:

0

6

11

13

 

lehet. Hasonlóképp a 0, 7-hez jöhetne 9, 14 vagy 10, 13, az előbbi kettővel nem találkozott még 0, tehát

11. futam:

0

7

9

14

 

az utolsó 0-t szerepeltető futam. Ugyanígy, 1, 4 folytatása lehetne 10, 15 és 11, 14, de az előbbi pár találkozott a 9. futamban, tehát ez a futam

12. futam:

1

4

11

14

 

és így tovább. Mindig pontosan egy lehetséges futamot kapunk a következő lépésben, mégpedig rendre az alábbiakat:

13. futam:

1

6

8

15

 

14. futam:

1

7

10

12

 

15. futam:

2

4

9

15

 

16. futam:

2

5

11

12

 

17. futam:

2

7

8

13

 

18. futam:

3

4

10

13

 

19. futam:

3

5

8

14

 

20. futam:

3

6

9

12

.

Ellenőrizhető, hogy bármely két versenyző pontosan egyszer találkozott.