Ugrás a tartalomhoz

Tudomány és történet

Békés Vera (1951-), Benedek András (1956-), Bloor, David (1960-), Forrai Gábor (1962-), Hronszky Imre (1942-), Kampis György (1958-), Kelemen János (1943-), Laki János (1956-), Ludassy Mária (1944-), Margitay Tihamér (1961-), Pléh Csaba (1945-), Ropolyi László (1949), Sobe, Alan, Tanács János, Vámos Tibor, Zemplén Gábor

Typotex

A direkt bizonyítások értéke a Bolyaiaknál

A direkt bizonyítások értéke a Bolyaiaknál

Az elméleti előkészítés után elsőként azt fogom történetírási eszközök bevonásával vizsgálni, hogy a Bolyaiak hogyan értékelték a direkt bizonyításokat általában véve, és hogy mi állt e felfogás hátterében. Ezt azonban fordított sorrendben teszem. Először tehát azt mutatom meg, hogy a matematikai-geometriai bizonyítások hátterében egy olyan felfogás állt, amely a direkt bizonyításokat nemhogy alárendeltté vagy egyenrangúvá tette az indirekt bizonyításokkal szemben, hanem sokkal inkább pozitív módon tüntette ki őket.

A pozitív diszkrimináció a matematikai (geometriai) bizonyítások olyan egyirányú - és ennek következtében egyoldalú - kauzális kapcsolatként történő felfogásának következménye, amely a logikai helyesség szempontjából egyébként egyenrangú direkt és indirekt bizonyítások között is megkülönböztetést eredményez.

A matematikai állítások adott halmazában az „axiómák” és „tételek” megkülönböztetése két státusz kijelölésével már önmagában is aszimmetriát eredményez. Az axiomatikus rendszer aszimmetrikus axióma-tétel viszonyának nem kellene a két bizonyítástípus közötti aszimmetriaként megjelenni, ha a bizonyításokra vonatkozó metodológiai reflexió - ahelyett, hogy jóváhagyná - valamilyen kauzális, heurisztikus vagy más elvek alapján kiküszöbölné ezt az aszimmetriát. Amíg ugyanis a helyes indirekt bizonyítás a kérdéses tétel tagadásától halad az axiómák felé, addig a direkt bizonyítás éppen fordított irányban. Az axiómák igazságának belátását az okság kiinduló alapjának és elsődlegesnek, míg a tételek igazságát származtatottnak és másodlagosnak tekintő szemlélet szerint az ugyanarra az axiómahalmaz-tétel párosra vonatkozó helyes indirekt bizonyítás okozat-oki, míg a helyes direkt bizonyítás ok-okozati kapcsolatot eredményez. Az ok-okozati viszonyt és irányítást az okozati-okival szemben nem egyenrangú vagy nem összetartozó félként felfogó, hanem az előbbit az utóbbi rovására egyoldalúan, önmagában kitüntető szemlélet a direkt bizonyításokat hozza előnybe. Ekkor az axióma és tétel elsődleges-másodlagos megkülönböztetésének meg kell jelennie a direkt-indirekt bizonyítások rangsorolásában is. A következő idézet Bolyai Farkasnak a matematikai axiómarendszerre és a bizonyításra vonatkozó szigorúan egyoldalú kauzális felfogását mutatja:

„Az Arithmeticai Ön-Igazságok (Axiomata)

Az ész, minekutánna valamely tudományban mindenünnen okról okra menve, némelyeknél meg áll; részszerint tovább nem mehetvén, részszerint további ok nélkül is igazaknak látván: az egyes eseteket közönséges képek alá véve, kiteszi ezeket, az eléadás rövidítésére, 's hogy tisztábban lássék, melyik állítatik magában további ok nélkül, 's meljik okmútatással; 's mi az alap, mellyen az egész alkotmány áll.”27n

A cím által sugallt megszorítás ellenére Bolyai Farkas szövegének általánossága egyértelművé teszi, hogy megállapításait a tudományra és minden axiomatikus megközelítésre érvényesnek tekinti. Habár műve aritmetikai tárgyú, de az előadás során végig szem előtt tartja a geometriát is, az utóbbira kizárólagosan jellemző eltéréseket mindig külön jelzi.28

A magyar nyelvújítási mozgalom keretében megszülető magyar matematikai műszavak megalkotásához Bolyai Farkas számos esetben csak a művei elején29 vagy végén30 külön közölt javaslatokkal és a kifejezések terjesztésével járult hozzá, némely esetben azonban maga is ajánlott elfogadásra szavakat. Így például a latin nyelvű Tentamen magyar nyelvű függelékeként közölt Egy kis toldalék és jelentésben a „demonstratio” (bizonyítás) kifejezésre az „okmutatás”, míg a „theoremára” az „okváró tét” kifejezéseket javasolja.31 Ennek alapján az „okmutatás” az előbb idézet részben is a „bizonyítás” mai magyar értelmében szerepelt. Bolyai János pedig az „okadat” kifejezést használja „bizonyítás” értelemben az 1854 és 1855 tájékán apjához írott leveleiben.32n

Mind a szövegösszefüggések, mind az alkotott vagy átvett szakkifejezések a bizonyítás egyoldalú és egyirányú ok-okozati kapcsolatként történő felfogását mutatják. Egy ilyen felfogásban az indirekt bizonyítás heurisztikus értéke továbbra sem csekély - hiszen képes lehet a kérdéses tétel igazságát megmutatni -, de nem a megfelelő típusú kauzális kapcsolatot hozza létre. Ennek következménye, hogy adott tétel indirekt bizonyításának létezése a keresés lezárása helyett a direkt bizonyítások további keresésére inspirál.33 A következő idézet (amelyben Bolyai Farkas az őt foglalkoztató matematikai kérdésekről számol be Bolyai Jánoshoz írott, 1844. november 2-i levelében) közvetett módon ugyan - Grunerthez kapcsolva, de implicit módon Bolyai Farkas véleményét is tartalmaz-va -, éppen ilyen további keresések fontosságát sugallja:

„Kepler a jövő idők mathematicusának hagyott volt egy astronomiai problemat, melyet Gauss solvált volt [oldott meg] 1809-be legelébb; de azt írja Grunert, hogy szép de indirect, s erősen dicséri a Bessel 1818-beli direct demonstratioját.”34

A következő, már Bolyai Jánostól származó levélrészletek jelzik a direkt módszer általános jelenlétét, sőt a két módszer egymáshoz való viszonyítását és rangsorolását is jellemzik. Az első idézetben kiemelendő Bolyai Jánosnak a módszerre reflektáló megjegyzése, amellyel az előadásra kerülő bizonyítás módszerét előre és külön jelzi:

„És világos, hogy directe adva elé a demonstratiot akármelj ugyanazon 3 planum peripheriaja vizsgálásából S által per se soha meg nem határozódhatik, hogy van-é i vagy nints...”

Itt „S” a hiperbolikus geometria rendszerét, „i” pedig a hiperbolikus geometria állandója jelenti, amelynek konkrét meghatározhatatlanságáról próbálja a levélben előadott bizonyítással Bolyai János kételkedő apját meggyőzni.

Egy késői, 1855. január 20-án kelt levelében a piramis térfogatára vonatkozó korábbi bizonyításával kapcsolatban pedig a következőket írja: „igaz, hogy jól ugyan, de H.F.-ként ok nélkül kerülőleg hoztam ki a pyramis telyét [köbtartalmát]”.35n

Az „ok nélkül kerülőleg” az indirekt bizonyításra utal, mint amely nem egyenes, hanem közvetett, és amely egy ok-okozati felfogásban „ok nélküli”. Ez az idézet a szövegkörnyezet segítségével a bizonyítás lépéseinek erőteljesen egyirányú ok-okozati kapcsolatként való felfogását, a direkt bizonyítás kitüntetett szerepét, valamint a keresés e szerepből eredeztethető inspirációját is jól mutatja.

Az utolsó idézet az előbbihez hasonlóan egyszerre demonstrálja a direkt bizonyítás előnyben részesítését az indirekt rovására, valamint egy tétel kész indirekt bizonyítását követő további, de már direkt bizonyítás keresésének erőfeszítését:

„A' küldött dem.-óm [demonstrációm] bár-is rútul irva, jó, 's directe nem lehet egyszerüöbbön; közelebb észre-véve, nem is tricás; egyáb-aránt nincs miért egy szót is irjak róla többöt, midön a Disq. Ar. §. 96ja 8 első rendjében indirecte ugyan, de röviden, jól és szépen van már dem.-va [demonstrálva].”36(Kiemelések az eredetiben.)