Ugrás a tartalomhoz

OXFORD - Matematika : Kislexikon

Tóth János (2007)

Typotex Elektronikus Kiadó Kft.

R

R

racionális függvény

A valós analízisben a racionális függvény olyan f valós függvény, amely alakú, ahol és polinom, amelyeknek nincs olyan közös osztójuk, amelyiknek a fokszáma 1-nél nem kisebb. Értelmezési tartományként általában az egész halmaz vehető, kivéve a nevező zérushelyeit.

racionális szám

Olyan szám, amely alakban írható, ahol a és b egész, és . Az összes racionális számból álló halmazt általában -val jelöljük. Egy valós szám pontosan akkor racionális, ha tizedes tört alakja (lásd decimális számábrázolás) véges vagy ismétlődő szakaszokból áll. Például,

Egy Püthagorásznak tulajdonított híres bizonyítás megmutatja, hogy nem racionális, továbbá (a XIX. századtól fogva) ismert, hogy e és szintén irracionális.

Ugyanaz a racionális szám többféle módon is kifejezhető alakban, például . Valójában pontosan akkor, ha . Azonban egy racionális szám egyértelműen kifejezhető, ha kikötjük, hogy a és b legnagyobb közös osztója 1 és . Figyelembe véve, hogy egy racionális számnak különböző alakjai vannak, az összeg- és szorzatképzésre vonatkozó szabályok:

A racionális számok halmaza zárt az összeadásra, kivonásra, szorzásra és osztásra (a nullával való osztást nem megengedve). Valójában belátható, hogy a testaxiómák mindegyike fennáll.

Pontosabban a következőképpen építhetjük fel a racionális számok halmazát. Tekintsük az összes rendezett pár halmazát, ahol a és b egész szám, és . Vezessünk be egy ekvivalenciarelációt ezen a halmazon úgy, hogy ha , és legyen az az ekvivalenciaosztály, amely -t tartalmazza. A fenti intuitív megközelítés azt sugallja, hogy az ekvivalenciaosztályok közötti összeadást és a szorzást a következőképpen kell definiálnunk

ahol minden esetben igazolnunk kell, hogy a jobb oldali osztály független azoknak az és elemeknek a megválasztásától, amelyek a baloldalon álló ekvivalenciaosztályokat reprezentálják. Ezekután megmutatható, hogy az ekvivalenciaosztályok halmaza ezzel az összeadással és szorzással egy testet alkot, melynek elemeit, ezen megközelítéssel összhangban racionális számoknak nevezzük.

rad

A radián jele és rövidítése.

radiális és transzverzális komponensek

Legyenek a P pont polárkoordinátái , és definiáljuk az és az vektorokat az és képletekkel, ahol i és j a pozitív első (x-) és második (y-) tengely irányába mutató egységvektor. Ekkor egy r növekedésének irányába mutató egységvektor az OP szakasz mentén, továbbá egy erre merőleges egységvektor, ami növekedésének irányába mutat. Minden v vektor felírható és irányába eső komponensei segítségével. Ekkor , ahol és . A komponens a radiális komponens, a a transzverzális komponens.

radián

Elemi munkákban a szögeket fokokban mérik, ahol egy teljes fordulat . Magasabb szintű könyvekben a szögeket más módon mérik. Tegyük fel, hogy a kör O középpontján két félegyenes megy át, amelyek az A, illetve a B pontban metszik a körvonalat. Vegyük az AB ív hosszát és osszuk el az OA szakasz hosszával. Ez az érték független a kör sugarától és csak az méretétől függ. Ezt az értéket az radiánokban mért méretének nevezik.

A szög 1 radián, ha az AB ív hossza egyenlő az OA szakasz hosszával. Ez akkor áll fenn, amikor az körülbelül . Pontosabb közelítéssel: . Mivel egy r sugarú kör kerülete , egy fordulat radián. Következésképp radián. Sok elméleti műben, különösen azokban, amelyek matematikai analízist is használnak, a radián alapvető fontosságú mérték. Amikor trigonometrikus függvényt értékelünk ki számológéppel, biztosan kell tudni, hogy a megfelelő mértékegységet használjuk.

A radián a szögek mértékegysége az SI rendszerben, rövidítése „rad”.

rádiuszvektor

Tegyük fel, hogy az O pont az origó a síkon. Ha a síkon a P pont helyvektora p, akkor p-t rádiuszvektornak is szokás nevezni, különösen olyankor, amikor P egy tipikus pont egy bizonyos görbén vagy P-t egy a síkon mozgó pontnak vagy részecskének képzeljük el.

ragadozózsákmány-egyenletek

Ahhoz, hogy egy ragadozót és zsákmányt tartalmazó modellt készítsünk, a szokásos születési és halálozási arányokat további tagok hozzávételével módosítjuk, amelyek tükrözik azok egymásrahatását: mivel egy ragadozó és egy zsákmány találkozásának valószínűsége közelítőleg arányos a populációk méretének szorzatával, ezért csatolt differenciálegyenleteket kapunk, melyek

alakúak. A modell egyszerűbb, mint a valóságos élet, de ezen csatolt differenciálegyenletek megoldásai betekintést adnak azokba a feltételekbe, amelyek mellett a ragadozó- és zsákmánypopuláció egymás mellett létezhet.

ráképezés

Lásd szűrjektív leképezés.

Ramanujan, Srinivasa

(1887–1920) A modern idők kiemelkedő indiai matematikusa. Eredetileg egy madrasi tisztviselő, aki a matematikával teljesen cél nélkül foglalkozgatott. G. H. Hardyval folytatott levelezését követően elfogadott egy Nagy Britanniába szóló meghívást 1914-ben. Hardyval együtt tanulmányozták a particionálás problémáját és más témákat, főként a számelmélet területén. Zseninek tartották azok miatt a megmagyarázhatatlan képességei miatt, ahogyan például a sorokat és a lánctörteket kezelte. Gyenge egészségi állapota miatt egy évvel korai halála előtt visszatért Indiába.

randomizál

Adatokat rendez vagy válogat, szándékosan véletlenszerű (random) módon.

randomizálás kísérletek tervezésében

Fontos, hogy a kutatóknak ne legyen lehetőségük rugalmasan megválasztani, hogy mely egyedeket tegyék az egyes kísérleti csoportokba ahhoz, hogy minimalizálják a torzítás lehetséges forrásait, mivel (még öntudatlanul is) úgy oszthatják be az egyedeket, hogy az kedvezzen annak a kimenetnek, amelyet várnak vagy remélnek. A kísérlet természetétől függően ez azt jelentheti, hogy célszerű randomizálni (=véletlenszerűen megválasztani) vagy azt, hogy melyik egyed melyik kezelést kapja, vagy a kezelések sorrendjét stb.

randomizált blokkok

Ahol egy populáció csoportjai nagy valószínűséggel eltérően válaszolnak egy kísérlet során, a változékonyság az egyedek között olyan nagy lehet, hogy egyszerű randomizált kísérletek nem mutatják ki a kezelésekben egyébként meglévő különbségeket. A randomizált blokkokból álló kísérleti terv a becslési célokra végzett rétegezett mintavételhez hasonló; a helyzet is hasonló, ugyanis hasonló egyedekből álló csoportok között végezzük a randomizációt – ezeket a csoportokat nevezik blokkoknak. Minden egyes kezelést minden egyes blokkban egyenlő számú egyeden végezünk el, de azt, hogy melyik egyed melyik kezelést kapja, az egyes blokkokon belül véletlenszerűen választjuk meg. Ha például két emlékezetet javító módszert hasonlítunk össze, valószínűnek tekinthető, hogy a kor és a nem teljesítményt befolyásoló tényezők lesznek, ebben az esetben a blokkok különböző korcsoportokhoz tartozó férfiakból vagy nőkből állhatnak.

rang

Lásd mátrix rangja, mintaelem rangja.

rangkorrelációs együttható

Számos kétváltozós adat nem teljesíti azokat a követelményeket, amelyek ahhoz kellenek, hogy a szorzatmomentumból számoljunk korrelációs együtthatót. Ennek gyakran az az oka, hogy legalább az egyik változót ordinális skálán mértük, és nem valamely intervallumon. Ahol a mérések eredményét nem numerikus skálán közlik, ott nem intervallumot használnak, hanem szubjektív értékelésen alapuló fokozatokat, amelyeket azután numerikus skálán jelentetnek meg.

A Spearman-féle korrelációs együtthatót úgy kapjuk, hogy a rangok szorzatmomentumából számoljunk korelációs együtthatót. Abban az esetben, ha nincs döntetlen a rangok között, ez algebrailag egyenértékű az kifejezéssel, ahol az i-edik pár két tagjának rangja közötti különbség, n pedig a párok száma. Ha n kicsi, akkor ezt a kifejezést könnyű kiszámolni. Döntetlenek esetén nem pontos, de jó közelítést ad.

A Kendall-féle korrelációs együttható azon alapul, hogy hány szomszédot kell átugrani ahhoz, hogy eljussunk az egyik rangtól a másikig. Ha az átugrások minimális száma Q, akkor a Kendall-féle korrelációs együttható értéke: . Statisztikai táblázatokat tartalmazó könyvek, vagy az eloszlásokat kiszámoló programok segítségével statisztikai próbákat végezhetünk a felhasználásával.

reciprok

Kommutatív szorzás esetén egy elem multiplikatív inverzét az elem reciprokának nevezhetjük. Eszerint 2 reciproka , reciproka és reciproka .

reciprokszabály

Lásd deriválás.

reductio ad absurdum

A q állítás egy direkt bizonyítása olyan logikailag helyes érvelés, amely alátámasztja q igaz voltát. A reductio ad absurdum viszont azt feltételezi, hogy q hamis, és ebből levezeti, hogy valamely r állítás, illetve annak tagadása is igaz. Ez az ellentmondás azt mutatja, hogy a kezdeti feltételezés nem lehet igaz, így q-nak igaznak kell lennie. Bonyolultabb példa annak indirekt bizonyítása, hogy „ha p, akkor q”. Ekkor feltételezzük, hogy p igaz és q hamis, és ebből levezetjük, hogy valamely r állítás, illetve annak tagadása is igaz. Ez az ellentmondás azt mutatja, hogy nem lehet igaz az a kezdeti feltételezés, hogy q hamis, így érvényes bizonyítást kaptunk arra, hogy ha p igaz, akkor q is igaz.

redukál

Módosítja vagy egyszerűsíti egy kifejezés vagy egy szám alakját; például, egyszerűsíthető az ekvivalens alakra, és egyszerűsíthető -re, feltéve, hogy .

redukált lépcsős alak

Nevezzük a mátrix egy sorát nulla sornak, ha a sor minden komponense nulla. Azt mondjuk, hogy a mátrix redukált lépcsős alakú, ha

  1. minden nulla sor a nullától különböző sorok alá kerül,

  2. minden nullától különböző sor legelső nullától különböző komponense 1, és a felette lévő sor első egyesétől jobbra elhelyezkedő oszlopban áll,

  3. minden nullától különböző sor legelső egyese az egyetlen nullától különböző szám abban az oszlopban, amelyikben van.

(Ha 1. és 2. fennáll a mátrix lépcsős alakú.) Például, ez a két mátrix redukált lépcsős alakú:

Minden mátrix redukált lépcsős alakúra hozható elemi sortranszformációkal, a Gauss–Jordan-féle kiküszöbölésként ismert módszerrel. Ez a redukált lépcsős alak minden mátrix esetén egyértelmű. Egy lineáris egyenletrendszer megoldásai azonnal megkaphatók a kibővített mátrix redukált lépcsős alakjából. Egy lineáris egyenletrendszert redukált lépcsős alakúnak nevezünk, ha kibővített mátrixa redukált lépcsős alakú.

redukált maradékok halmaza

Az n pozitív egésznél kisebb, hozzá relatív prím számok számát -nel jelöljük (lásd Euler-féle függvény). A redukált maradékok halmaza modulo n egészek egy számú számból álló halmaza, amelyek mindegyike kongruens az n-nél kisebb, hozzá relatív prím számok valamelyikével. így például redukált maradékok egy halmaza modulo 12, éppúgy, mint .

redundáns

Azt mondjuk, hogy egy egyenlőség vagy egyenlőtlenség redundáns, ha fennállása nem ad új információt. Például, ha és , akkor bármelyik ezen egyenletek közül redundánsnak mondható, mivel a másik kettő elegendő az egyetlen megoldás ( ) azonosítására. Ha és akkor az első egyenlőtlenség redundáns, mivel -ből az következik, hogy , tehát az első egyenlőtlenség automatikusan teljesül.

reflexív reláció

Az S halmazon értelmezett kétváltozós reláció reflexív, ha minden esetén .

Regiomontanus

(1436–1476) A matematika egyik központi alakja a XV. században. Johann Müllerként született, nevét szülőhelye, Königsberg latin megfelelőjéből alkotta. A De triangulis omnimodis (A háromszögek összes osztályáról) című munkája az első modern trigonometriai mű, és jóllehet 1533-ig nem jelent meg nyomtatásban, mégis hatással volt a téma nyugati újjáéledésére.

regiszter

A populáció teljes listája a minta létrehozásának céljára. Például, ha a mintát egy iskola tanulóiból választjuk, akkor két nyilvánvaló regiszter lehet az összes diák neve ábécé sorrendben vagy évenkénti csoportjaik ábécé sorrendben.

regresszió

Olyan statisztikai eljárás, amely egy függő változó és egy vagy több magyarázó változó közötti kapcsolat meghatározására szolgál. A cél általában az, hogy a függő változó értéke kiszámítható legyen a magyarázó változók adott értékeiből. Többváltozós regresszióról beszélünk, ha kettő vagy több magyarázó változó van. A modell általában feltételezi, hogy az Y függő változó várható értékét valamely képlet adja meg, amely bizonyos ismeretlen paramétereket tartalmaz. Az egyszerű lineáris regresszió esetében . Ha többváltozós lineáris regressziónál a k számú magyarázó változó , akkor: . Itt a regressziós együtthatók. Lásd még: legkisebb négyzetek.

regresszió az átlaghoz

Lásd visszatérés az átlaghoz.

reguláris komplex függvény

Egy komplex változós, komplex értékű függvény az értelmezési tartományának egy pontjában reguláris, ha az adott pont valamely környezetében deriválható. A függvény reguláris, ha az értelmezési tartományának minden pontjában reguláris.

reguláris mátrix

Lásd nemszinguláris mátrix.

reguláris pont

A függvény értelmezési tartományának olyan pontja, amelyben egy függvény folytonosan deriválható.

rejtett változó

Olyan lehetséges zavaró változó, amelyet nem mértek, vagy nem tárgyaltak egy kísérlet vagy egy megfigyelés kiértékelése során.

rejtjelez

Információt vagy adatokat kódolt formába transzformál.

rekurzió

Lásd differenciaegyenlet.

reláció

Az S halmazon értelmezett reláción leggyakrabban egy kétváltozós relációt értünk, jóllehet a fogalom kiterjeszthető kettőnél több változóra is. Egy példa háromváltozós (ternér) relációra, azaz amelyben három elem szerepel: az „a a b és a c szám között fekszik”, ahol és c valós számegyenes pontjai.

reláció gráfja

Legyen R kétváltozós reláció az S halmazon, és jelölje aRb, hogy a relációban van b-vel. Az R reláció gráfja az Descartes-szorzat megfelelő részhalmaza, azaz azon párok halmaza, melyekre aRb teljesül.

relatív cím

Táblázatkezelő programokban egy képlet gyakran használja egy vagy több másik cella tartalmát. Ha ezek mindig ugyanazon a helyen vannak a képlet cellájához képest, akkor a képletben relatív címzést használunk, amelyet aztán át lehet másolni más cellákba a kívánt számítások elvégzéséhez. Egy képlet tartalmazhatja relatív és abszolút cím keverékét is.

relatív gyakoriság

Ha N kísérlet közül egy bizonyos eseményt n alkalommal figyeltünk meg, akkor az esemény relatív gyakorisága az arány. Ahogy N növekszik, a a nagy számok gyenge törvénye szerint 1 valószínűséggel az esemény valószínűségéhez fog tartani. Olyan esetekben, amelyeknél nincs mód a valószínűség olyan kiszámítására, mint például ahogyan a szabályos kocka dobásánál az egyenlő valószínűségek elve alapján, az értéket használhatjuk ennek a valószínűségnek a becslésére. Minél nagyobb N értéke, annál jobb becslést ad ez a statisztika.

relatív hatékonyság

Lásd statbecs.

relatív hely, relatív sebesség és relatív gyorsulás

Jelölje és az és az részecske helyvektorát egy olyan vonatkoztatási rendszerben, amelynek origója az O pont (lásd ábra)! Az részecske -től mért helyvektora az vektor. A illetve vektorok az egyes részecskék sebességei az O origójú vonatkoztatási rendszerhez képest, pedig az részecskének az részecskéhez viszonyított sebessége. A illetve vektorok az egyes részecskék gyorsulásai az O origójú vonatkoztatási rendszerhez képest, pedig az részecskének az részecskéhez viszonyított gyorsulása. Ezeket a mennyiségeket az részecske -höz viszonyított helyének, sebességének illetve gyorsulásának, röviden az részecske relatív helyének, relatív sebességének, illetve relatív gyorsulásának hívják.

Ezek a fogalmak akkor válnak fontossá, ha kettő vagy több vonatkoztatási rendszert használnak, melyek mindegyikéhez társul egy megfigyelő. Például egy olyan problémában, melyben szerepel egy hajó és egy repülőgép, mind a hajóskapitány, mind a szárazföldön álló megfigyelő láthatja a repülőgépet. A repülőgépnek a két megfigyelő által mért sebessége eltérhet egymástól, ezért különbséget kell tenni a repülőgépnek a hajóhoz, illetve a szárazföldhöz viszonyított sebessége között.

relatív hiba

Legyen x valamely közelítése az X értéknek, valamint legyen . A relatív hiba . Amikor 1.9-et vesszük 1.875 közelítésének, a relatív hiba , három tizedes jegy pontosságig. (Ez úgy is kifejezhető, hogy 1.3% a százalékos hiba.) Vegyük észre, hogy ebben a példában három tizedes jegy pontossággal ugyanazt adja. Általában, ha e kicsi, nem változtatunk sokat, ha helyett -et tekintjük a relatív hibának; ha a pontos értéket nem ismerjük, csak a közelítést, jobbat nem is tehetünk. A relatív hiba hasznosabb lehet az abszolút hibánál. A fenti példában 1.9 abszolút hibája, 0.025 elfogadható. De ugyanez az abszolút hiba mondjuk 0.2 esetében az értéket (azaz a % százalékos hibát) adná relatív hibának, amelyet valószínűleg elég komolyan vennénk.

relativitáselmélet

A XX. század elején Albert Einstein által felállított fizikai elmélet, mely alapvetően megváltoztatta az Univerzumról alkotott képet, illetve a tér és az idő fogalmát, melyeket addig egymástól függetlennek tekintettek. A speciális relativitáselmélet a részecskék mozgását vizsgálja olyan vonatkoztatási rendszerekhez képest, amelyek egymáshoz viszonyítva állandó sebességgel mozognak. Magába foglalja a tömeg–energia-egyenletet, a Lorentz–Fitzgerald-kontrakciót és az idődilatációt. Utóbbi fogalom azt a jelenséget jelöli, hogy két esemény között eltelt idő függ a vonatkoztatási rendszer megválasztásától, és minél nagyobb a két esemény helyének távolsága, annál több idő telik el a két esemény között az adott vonatkoztási rendszer megfigyelője számára. Az általános relativitáselmélet a gravitációs erőt a téridőnek a tömegek jelenléte által okozott görbületéből származtatja, és foglalkozik a részecskék mozgásával olyan vonatkoztatási rendszerekhez képest, amelyek egymáshoz viszonyítva gyorsulnak.

relatív kiegészítő

Ha az A halmaz teljes egészében része a B halmaznak, akkor a különbséghalmaz A (relatív) kiegészítője B-ben, vagy A kiegészítője B-hez képest.

relatív kockázat

Ha ugyanazon kimenetel kockázata két különböző csoport esetén különböző, vagy ha két különböző kimenetel kockázata ugyanannál a csoportnál különböző, akkor a kimenetelek kockázatainak az aránya a relatív kockázat. Tehát egy autóbaleset relatív kockázata, amikor a vezető a megengedett mennyiségű alkoholt fogyasztotta vezetés előtt, összehasonlítva azzal, amikor nem fogyasztott alkoholt, 2.5 lehet. Hasonlóan, kiszámíthatjuk a repülővel, illetve az autóval való utazás relatív kockázatát.

relatív prím

Az a és b egész szám relatív prím vagy viszonylagos törzsszám, ha a legnagyobb közös osztójuk 1. Hasonlóan, akárhány egész szám relatív prím, ha a legnagyobb közös osztójuk 1.

rend

Lásd csoport rendje, differenciálegyenlet rendje, négyzetes mátrix rendje, parciális derivált rendje.

rendezett halmaz

Elemek olyan sorozata, amelyben az elemek természete és sorrendje is fontos, tehát p,q,r és p,r,q nem azonos. Ha például tollaslabdát játszunk, akkor kap egy pontot a szerváló játékos, ha a másik hibázik, ha pedig a szerváló hibázik, akkor a másik szerválhat. így ha az A játékos szervál, és az ütéseket B,A majd ismét B nyeri, akkor senki nem kap pontot, de az A,B,B sorozat az (szervacsere), eredményre vezet.

rendezett hármas

A rendezett hármas nem más, mint három dolog valamilyen rögzített sorrendben felsorolva. Például az térvektor három koordinátája rendezett hármast alkot.

rendezett minta

A statisztikai minta elemeiből képzett monoton nemcsökkenő sorozat.

rendezett mintán alapuló statisztika

Olyan statisztika, amely a rendezett mintától függ, például a maximum, a minimum, a medián, a kvartilisek és a percentilisek.

rendezett n-es

n objektum meghatározott sorrendben vett elrendezése; jelölése például . A rendezett pár ( ) és a rendezett rendezett hármas ( ) általánosítása.

rendezett pár

Egy rendezett pár két objektumot tartalmaz meghatározott sorrendben. így, ha , akkor az és a rendezett pár különböző. Lásd még Descartes-szorzat.

rendszerelemzés

A matematikának az a területe, amely nagy komplex rendszerekkel, speciálisan kölcsönhatásokat tartalmazó rendszerekkel foglalkozik.

Rényi Alfréd

(1921–1970) Magyar matematikus, foglalkozott analitikus számelmélettel, fő kutatási területe a valószínűségszámítás, erről sok változatban és számos nyelven megjelent tankönyveket írt. Erdőssel közös cikke a véletlen gráfokról alapvető jelentőségű a hálózatok modern elméletében. Az általa bevezetett entrópia a statisztikus fizika kulcsfogalmává vált.

reprezentáció (egy vektoré)

Amikor az irányított egyenesszakasz képviseli az a vektort, akkor az a vektor egy reprezentációja.

reprezentáns

Ha adott egy ekvivalenciareláció egy halmazon, az ekvivalenciaosztályok bármelyike jellemezhető egy eleme megadásával. Ezt a bizonyos a elemet hívhatjuk az osztály egy reprezentánsának. Az osztályt -val jelölhetjük.

reprezentatív minta

Olyan minta, amely rendelkezik a populáció bizonyos jellemzőivel, általában megtartja adott csoportok azon tagjainak arányszámát, amelyek eltérően viselkedhetnek a vizsgált változók tekintetében. Mind az csoportos mintavétel, mind a rétegezett minta reprezentatív mintát ad.

részbenrendezési reláció

Ha egy reláció reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív, akkor az a halmazon részbenrendezést valósít meg. Például a ’nagyobb vagy egyenlő’ reláció rendezést valósít meg a valós számok halmazán.

részcsoport

Legyen G csoport valamilyen művelettel. Ha H olyan részhalmaza az G halmaznak, amely maga is csoport ugyanazzal a művelettel, akkor H a G csoport részcsoportja. Például részcsoportja a nullától különböző komplex számok multiplikatív csoportjának.

részecske

Pontszerűnek (azaz zérus kiterjedésűnek) tekintett objektum, amelynek mindazonáltal tömeget, helyet, sebességet, gyorsulást stb. tulajdonítanak. A matematikai modellben részecskék képviselik az elhanyagolható méretű testeket. A részecskék dinamikája egy vagy több, erőrendszer hatásának kitett részecske mozgását vizsgálja.

részecskerendszer

Ha több részecske mozgását vizsgálják egyidejűleg, akkor azokat együttesét nevezik részecskerendszernek. A vizsgálat során használt matematikai modellben a részecskék szabadon mozoghatnak egymáshoz képest, vagy összeköthetik őket könnyű rudak, rugók vagy húrok.

részgráf

Egy gráf pontjainak és éleinek olyan részhalmaza, amely maga is gráf.

részgyűrű

Legyen R gyűrű az összeadás és a szorzás műveletével. Ha S olyan részhalmaza az R halmaznak, amely maga is gyűrű ugyanazokkal a műveletekkel, akkor S az R gyűrű részgyűrűje. Például az egész számok gyűrűje a valós számok gyűrűjének részgyűrűje, a páros számok gyűrűje pedig részgyűrűje.

részhalmaz

Az A halmaz a B halmaz részhalmaza, ha A minden eleme egyúttal eleme a B halmaznak is. Ha ez fennáll, akkor az A halmaz benne van a B halmazban, amit így jelölünk: (ritkábban ), s ekkor azt is mondjuk, hogy a B halmaz tartalmazza az a A halmazt. Érvényesek a követekező összefüggések.

  1. Tetszőleges A halmaz esetén és .

  2. Tetszőleges A és B halmaz esetén pontosan akkor, ha és .

  3. Tetszőleges A,B és C halmaz esetén, ha és , akkor .

Lásd még valódi részhalmaz.

részletösszeg

Az sor n-edik részletösszege az első n tag összege; tehát .

részletszorzat

Amikor egy

végtelen szorzatot képezünk az sorozatból, az első n tényező szorzatát (végtelen sorok részletösszegének mintájára) az n-edik részletszorzatnak hívhatjuk.

részmátrix

Az A mátrix részmátrixait úgy kapjuk, hogy törlünk belőle néhány sort és oszlopot. Ha például -es mátrix, akkor első és harmadik sorának valamint második oszlopának törlése után ezt a részmátrixát kapjuk:

résztest

Legyen F test az összeadás és a szorzás műveletével. Ha S olyan részhalmaza az F halmaznak, amely maga is test ugyanazokkal a műveletekkel, akkor S az F test résztestje. Például a racionális számok teste a valós számok testjének résztestje.

retardáció

Lásd lassulás.

rétegezett minta

Ha egy populáció nem homogén, hanem olyan csoportokból (rétegekből) tevődik össze, amelyeknél a bennünket érdeklő jellemző valószínűleg jelentősen különbözik, egy rétegezett minta várhatóan jobb becslését szolgáltatja majd az adott jellemzőnek, mint egy egyszerű véletlen minta, abban az értelemben, hogy a becslés gyakran lesz közelebb az igazi értékhez. Az eljárás abban áll, hogy minden csoportból annak nagyságával arányos méretű, de egyébként véletlen mintát veszünk. Ezzel megszabadulunk az egyszerű véletlen mintavétel egy lényeges ingadozásának forásától, azaz attól, hogy hányat veszünk az egyes csoprtokból. Ha például a teniszklubban 8, 15 és 12 játékos van az egyes korcsoportokban, akkor egy olyan ötelemű minta, amelyik az egyes korcsportokból 1, 2 és 2 játékost tartalmaz valószínűleg jobban reprezentálja a populációt, mint egy egyeszerű véletlen minta, amelybe esetleg az összes játékos egyetlen csoportból kerül be.

rezgésszám

Lásd frekvencia.

rezgőmozgás

Egy részecske vagy egy merev test rezgőmozgást végez, ha ide-oda mozog egy központi helyzet – általában stabilis egyensúlyi helyzet – körül. Ilyen például a matematikai és a fizikai inga lengése, egy rugóra függesztett részecske emelkedő-ereszkedő mozgása, és egy hegedűhúr rezgése. Fékező erő jelenléte esetén csillapított rezgőmozgásról, külső gerjesztő erő fellépte esetén kényszerrezgésről beszélnek.

reziduál

Egy megfigyelt érték, illetve a valamely statisztikai modell által megjósolt érték közti különbség. A rezidulok vagy maradékok segítségével megbecsülhetjük, hogy a modell milyen jól illeszkedik az adatokra, például egy -próbával. Egy nagy maradék kiugró adatot jelezhet.

rezonancia

Tegyük fel, hogy egy rezgőmozgásra képes testre oszcilláló külső erő hat, és a testre nem hat fékező erő! Ha a külső erő olyan frekvenciával oszcillál, amely megegyezik a test sajátfrekvenciájával, akkor olyan rezgőmozgás jön létre, melynek amplitúdója elméletileg a végtelenhez tart. Ebben az esetben beszélnek rezonanciáról. Például tegyük fel, hogy a rendszer mozgása az egyenlettel írható le! Akkor lép fel rezonancia, ha . Ebben az esetben az egyenlet egy partikuláris megoldásának a t helyen vett értéke

Ez a partikuláris megoldás tehát növekvő amplitúdójú rezgőmozgást ír le.

Ha fékező erő is fellép, akkor a külső erő rezgési frekvenciájának létezik egy olyan értéke, amely esetén a kialakuló kényszerrezgés amplitúdója maximális. A rezonanciának ez az esete fontos szerepet játszik a szeizmográfok – a földrengések erősségének mérésére szolgáló műszerek – tervezésénél.

Riemann, Georg Friedrich Bernhard

(1826–66) Német matematikus, aki a XIX. század meghatározó alakja volt matematikában. Sok szempontból Gauss szellemi utódjának tekinthető. A geometriában ő kezdte azoknak az eszközöknek a kidolgozását, amelyekkel Einstein végül leírta a világegyetemet, és amelyek a huszadik században a sokaságok elméletévé fejlődtek. Alapvető geometriai elgondolásait híres székfoglaló előadásában, Göttingában mutatta be, ahol Gauss is jelen volt a hallgatóság sorai között. Sok jelentős munkát végzett az analízis területén, amelyben megőrződött neve is, a Riemann-integrálban, a Cauchy–Riemann-egyenletekben és a Riemann-felületek révén. Kapcsolatot teremtett a prímszámok elmélete és az analízis között: megfogalmazta a Riemann-sejtést, egy az úgynevezett -függvénnyel kapcsolatos sejtést, amely – ha sikerülne bizonyítani – információt adna a prímszámok eloszlásáról.

Riemann-gömb

A kiterjesztett komplex sík reprezentációja sztereografikus vetítéssel.

Riemann-integrál

Lásd integrál.

Riemann-összeg

Lásd integrál.

Riemann-sejtés

A sejtés szerint a függvénynek csak olyan nem-triviális z nullahelyei vannak, amelyekre . (Triviálisan gyökök a páros negatív egész számok.)

Riesz Frigyes

(1880–1956) Magyar matematikus, a funkcionálanalízis egyik megteremtője, számos fizikai alkalmazással is foglalkozott. Alapvető eredménye a lineáris funkcionálok általános alakját megadó Riesz–Fischer-tétel.

ritka mátrix

Olyan mátrix, amelynél a nullától különböző elemek aránya kicsi. Vesd össze sűrű mátrix.

robusztus

Egy statisztikai próba vagy statbecs robusztus, ha nem érzékeny a feltevések kicsiny megváltozására, például arra a feltevésre, hogy az alapulvett sokaság normális eloszlású. Egy próba robusztus a kiugró adatokra, ha jelenlétük nem befolyásolja nagyon az eredményt.

Rodrigues-féle formula

Lásd Legendre-polinomok.

Rolle, Michel

(1652–1719) Francia matematikus, elsősorban a nevét viselő tételről ismert, amely 1691-ben publikált könyvében található.

Rolle-tétel

Függvények stacionárius pontjainak létezésére vonatkozó eredmény:

Tétel. Legyen f az intervallumon folytonos és az intervallumon differenciálható olyan függvény, amelyre . Ekkor van olyan c szám, amelyre és .

A tételben szereplő eredmény átfogalmazható egy az f grafikonjára kimondott állítássá: az f függvényre tett megfelelő feltételek mellett f grafikonjának bármely két azonos magasságú pontját véve a megfelelő argumentumok között kell lennie stacionárius pontnak; vagyis olyan pontnak, amelyben az érintő vízszintes. A tétel valójában a Lagrange-féle középértéktétel egy speciális esete; habár megszokott dolog először kimondani Rolle tételét és abból levezetni a középértéktételt. Egy szabatos bizonyítás arra a nemtriviális eredményre épít, amely szerint egy folytonos függvénynek zárt intervallumon van minimuma és maximuma.

római számjegy

Lásd számjegy.

romboéder

Hatoldalú sokszög, amelynek mindegyik lapja rombusz. így ez olyan parallelepipedon, amelynek az élei egyenlő hosszúságúak.

rombusz

Olyan négyszög, amelynek minden oldala azonos hosszúságú. Egy rombusz egyszerre deltoid és parallelogramma.

rosszul kondicionált

Egy problémáról azt mondjuk, hogy rosszul kondicionált, ha a bemeneti adatok (vagy egy egyenlet együtthatói) csekély megváltoztatása esetén a kimeneti adatok (vagy az egyenlet megoldásai) nagyon megváltoznak. Ha például , akkor , vagy a két majdnem párhuzamos egyenes metszéspontjai esetén , esetén .

rotáció

A vektorváltozós vektorértékű függvény rotációját a operátor és V keresztszorzata adja: melyet a következő determinánssal megadott formában is fölírhatunk:

Vesd össze divergencia, gradiens.

röppálya

Egy lövedék által befutott út.

rózsa

Bizonyos számú, az origóban találkozó hurokból álló görbe, amelyek egy rózsaszerű virág szirmaira hasonlítanak. Polárkoordinátákban az egyenlete vagy alakú, ahol a határozza meg a hurkok csúcsának origótól vett távolságát. A polártengely mindig szimmetriatengelye a koszinuszos görbéknek, míg a szinuszos görbéknél a polártengelyre merőleges tengely lesz a szimmetriatengely. Ha n páros, akkor 2n számú hurok lesz, míg ha n páratlan, akkor csak n számú hurok lesz mindegyik között egy-egy hézaggal. Ennek az eltérésnek az oka az, hogy ha n páratlan és r negatív értéket vesz fel, akkor egy -kal eltolt hurkot kapunk, miután r pozitív lesz. Amikor n páros, bármely két szögre, amelyek között különbség van, r ugyanolyan előjelű, ezért egy új hurok keletkezik.

.

.

rúd

Egydimenziósnak tekintett test, azaz olyan test, melynek csak hosszúságot tulajdonítanak, szélességét és vastagságát nullának tekintik. A rúd tömegeloszlását vonalmenti sűrűséggel írják le. A matematikai modellekben rudak reprezentálhatják a keskeny, egyenes testeket. A rudak egyaránt lehetnek merevek vagy rugalmasak.

rugalmas

Egy testet akkor neveznek rugalmasnak, ha a rá ható és őt deformáló erők megszüntével visszanyeri eredeti alakját.

rugalmas energia

Lásd potenciális energia.

rugalmas húr

Lásd rugalmas szál.

rugalmasság

Lásd rugalmassági modulus.

rugalmassági modulus

Anyagra jellemző paraméter, jele E. A Hooke-törvényben szereplő arányossági tényezőben jelenik meg.

rugalmas szál

Nyújtható, de össze nem nyomható szál, amely azonnal visszanyeri eredeti hosszát, amint a rá ható nyújtóerők megszűnnek. A rugóban fellépő feszültség bonyolult módon függhet a megnyúlástól. Legegyszerűbb matematikai modellje azon a feltételezésen alapszik, hogy a feszültség arányos a megnyúlással, azaz hogy érvényes a Hooke-törvény. Egy részecske, mely egy rögzített felfüggesztési ponthoz erősített rugalmas szál végén függ, éppúgy egyszerű harmonikus rezgőmozgást végez, ahogyan egy rugóra függesztett test is, feltéve, hogy rezgések amplitúdója elég kicsi ahhoz, hogy a szál a mozgás folyamán ne ernyedjen el.

rugalmas ütközés

Olyan ütközés, amelynek során nincs mozgásienergia-veszteség.

rugó

Általában spirál alakúra hajlított huzalból álló eszköz, amely megnyújtható és összenyomható. Rugalmas, ezáltal visszanyeri alakját, ha a rá ható húzó- vagy nyomóerő megszűnik. A rugó által kifejtett húzóerő gyakran bonyolult módon függ a megnyúlástól. A rugó legegyszerűbb matematikai modellje azon a feltételezésen alapszik, hogy a húzóerő arányos a megnyúlással, azaz hogy érvényes a Hooke-törvény.

rugóállandó

Lásd direkciós erő.

Runge–Kutta-módszerek

Az alakú differenciálegyenlet megoldására szolgáló numerikus módszerek családja, amelyek az intervallum(ok) belső pontjait is felhasználják a pontosság javítására. Tehát, ha ismerjük a függvény értékét az pontban, és keressük a megoldás becslését az -ban, akkor a másodrendű Runge–Kutta képlet

a negyedrendű Runge–Kutta képlet pedig

Russell, Bertrand Arthur William

(1872–1970) Brit filozófus, logikus és sok témában publikáló író. A matematikában a Principia Mathematica (A matematika alapjai) című könyv társszerzőjeként ismert, melyet Whiteheaddel együtt írtak, és három kötetben 1910 és 1913 között publikáltak. Ebben a könyvben megkísérelték megmutatni, hogy a tiszta matematika teljes egészében levezethető bizonyos alapvető logikai axiómákból. Habár a kísérlet nem volt teljesen sikeres, Gödel, Kurt a munka nagy hatással volt másokra. Russell nevéhez kötődik még a Russell-paradoxon is.

Russell-paradoxon

A halmazelmélet fogalmait használva egy halmaz definiálható úgy, mint mindazon elemek összessége, melyek kielégítenek valamilyen tulajdonságot. Ekkor nyilvánvalóan lehetséges, hogy egy halmaz nem tartalmazza önmagát: számok bármely halmaza, mondjuk, nem tartalmazza önmagát, mivel ahhoz, hogy önmagát tartalmazza, számnak kellene lennie. De az is lehetséges, hogy egy halmaz tartalmazza önmagát: például az összes halmazt tartalmazó halmaz tartalmazza önmagát. 1901-ben Bertrand Russell felhívta a figyelmet arra az ellentmondásra, ami azután Russell-paradoxonként vált ismertté. Tekintsük az R halmazt, amely definíció szerint . Ha , akkor ; és ha , akkor . A paradoxon megmutatja a megszorítások nélküli absztrahálás veszélyét; különböző javaslatok vannak a paradoxon elkerülésére.

Rutherford, Ernest

(1871–1937) Új-Zélandon született angol anya és skót apa gyermekeként. A Canterbury College-ben matematikát és fizikát hallgatott, majd 1894-ben állást kapott a Cambrigde-i Egyetemen. Tíz éven át a montreali McGill Egyetemen dolgozott, majd visszatért Angliába, és Cambrigde-ben lett fizikaprofesszor. 1908-ban kémiai Nobel-díjjal tüntették ki „az elemek bomlásával és a radioaktív anyagok kémiájával kapcsolatos kutatásaiért”. ő vezette be és nevezte el az atomfizika számos alapfogalmát. Ilyenek például az alfa-, a béta- és a gamma-sugarak, a proton, a neutron és a felezési idő. ő ismerte fel elsőként, hogy az atomnak szinte a teljes tömege és valamennyi pozitív töltésú része az atom méretének egy nagyon kicsi hányadában összpontosul, amely később atommag néven vált ismertté. A beszámolók szerint elégedetlenül vette tudomásul, hogy kémiai Nobel-díjat kapott, mivel elsősorban fizikusnak tekintette magát.