Ugrás a tartalomhoz

OXFORD - Matematika : Kislexikon

Tóth János (2007)

Typotex Elektronikus Kiadó Kft.

P

P

p

A piko- előtag rövidítése.

pálya

Egy mozgó részecske helyvektorának végpontja által leírt görbe. Ha a részecskére ható erőt a Newton-féle gravitációs erőtörvény írja le, akkor a pálya ellipszis, parabola vagy hiperbola, és a vonzócentrum mindegyik esetben a fókuszpontban, illetve a fókuszpontok egyikében van.

Papposz

(i.e. 320 körül) Az utolsó nagy görög geométer. Eukleidész és Ptolemaiosz munkáihoz írt magyarázatokat, de legértékesebb műve a Synagoge (Gyűjtemény), amely sok részletes beszámolót tartalmaz a görög matematikáról, ezek némelyike más forrásból nem ismert.

Papposz tételei

A következő két, forgási felületekre és forgástestekre vonatkozó tétel:

Tétel. Tegyük fel, hogy egy síkgörbe íve egy teljes fordulatot tesz egy olyan síkbeli egyenes körül, amely nem metszi az ívet. Ekkor a kapott forgási felület felszíne egyenlő az ív hossza szorozva a görbe súlypontja által bejárt távolsággal.

Tétel. Tegyük fel, hogy egy síktartomány egy teljes fordulatot tesz egy olyan síkbeli egyenes körül, amely nem metszi a tartományt. Ekkor a kapott forgástest térfogata egyenlő a tartomány területe szorozva a tartomány súlypontja által bejárt távolsággal.

A tételek olyan felszínek és térfogatok kiszámítására használhatók, mint amilyen a tóruszé. Segíthetnek másrészt a súlypont helyének meghatározásában is. Például ha a második tételt használjuk, és ismerjük egy gömb térfogatát, akkor meg tudjuk határozni egy olyan tartomány súlypontját, amelyet egy félkör és egy átmérő határol.

pár

Egy kételemű halmaz, lehet rendezetlen, vagy lehet rendezett, mint például az koordinátapár.

parabola

Olyan kúpszelet, amelynek excentricitása 1. A parabola tehát azon pontokból áll, amelyeknek egy rögzített F ponttól (a fókuszponttól) vett távolsága egyenlő egy rögzített l egyenestől (a vezéregyenestől) vett távolságával. Megkaphatjuk egy olyan kúp síkmetszeteként is, amelynél a metsző sík párhuzamos a kúp alkotójával (kúpszelet). A fókuszponton átmenő, a vezéregyenesre merőleges egyenes a parabola tengelye; az a pont, amelyben a tengely metszi a parabolát: a csúcspont. Választhatjuk a csúcspontot az origónak, a parabola tengelyét az x-tengelynek, a csúcspontbeli érintőt pedig az y-tengelynek és a fókuszt az pontnak. Ebben a koordináta-rendszerben a vezéregyenes egyenlete lesz, a parabola egyenlete pedig . Amikor egy parabola tulajdonságait vizsgáljuk, szokás ezt a kényelmes koordináta-rendszert választani.

Különböző a értékek különböző méretű parabolákat adnak, de minden parabola ugyanolyan alakú. t bármely értékére az pont kielégíti az egyenletet, és viszont, a parabola bármely pontjának a koordinátái előállnak alakban valamilyen t számmal. így az egyenletek az parabola paraméteres egyenleteinek tekinthetők.

A parabola egy fontos tulajdonsága a következő. Legyen a P pontbeli érintő és a P-n átmenő, a parabola tengelyével párhuzamos egyenes által bezárt szög. Legyen továbbá a P-beli érintő, valamint a P-n és a fókuszon átmenő egyenes közötti szög, ahogy az ábra mutatja.

Ekkor . Ez a parabolatükör alapja: ha egy fényforrás van a parabolatükör fókuszában, akkor minden fénysugár a tengellyel párhuzamosan verődik vissza, tehát párhuzamos fénynyalábot hoz létre.

parabola tengelye

Lásd parabola.

parabolikus henger

Olyan henger, amelynél a rögzített görbe egy parabola, és az a rögzített egyenes, amellyel az alkotók párhuzamosak, merőleges a parabola síkjára. A parabolikus henger másodrendű felület, egyenlete alkalmas koordináta-rendszerben

parabolikus spirál

Olyan spirál, amelyben az r sugárvektor hosszát polárkoordinátákkal az egyenlet határozza meg. Az alábbi diagrammon .

paraboloid

Lásd elliptikus paraboloid és hiperbolikus paraboloid.

paradoxon

Olyan helyzet, amelyben egy nyilvánvalóan ésszerű feltételezés ésszerűtlen következtetéshez vezet. Úgy tűnhet, hogy ha egy bizonyos állítás igaz, akkor abból az következik, hogy hamis; illetve, ha hamis, akkor igaz. Erre példa a Grelling-paradoxon, a a hazug paradoxona és a Russell-paradoxon. Lásd még Zénón, Simpson-paradoxon.

parallelepipedon

Olyan hatlapú poliéder, amelynek minden oldala egy parallelogramma. (Figyeljünk a szó helyesírására!)

parallelogramma

Olyan négyszög, amelyben

  1. a szemközti oldalak párhuzamosak, továbbá

  2. a szemközti oldalak egyenlő hosszúak.

Valójában bármely tulajdonságból következik a másik. A parallelogramma területe egyenlő az „alapszor magassággal”. Tehát mondjuk, ha az egyik b hosszúságú oldalpár h távol van egymástól, a terület bh lesz. Illetve, ha a másik pár a hossszúságú és a szomszédos oldallal szöget zárnak be, akkor a terület .

parallelogramma-szabály

Lásd vektorok összeadása.

paraméter

(az elméleti matematikában) Olyan változó, amely különböző értékeket vehet fel, ezáltal különböző értékeket ad bizonyos más változóknak. Például, a t paraméter segítségével felírhatjuk az egyenlet megoldásait alakban, a paraméter függvényében. Lásd még térbeli egyenes paraméteres egyenletei és paraméterezés.

paraméteres egyenlet

Lásd paraméterezés, térbeli egyenes paraméteres egyenletei.

paraméteres statisztika

A matematikai statisztikának az az ága, amely egy populáció eloszlásának paramétereire levonható következtetésekkel foglalkozik a mintából vett megfigyelések és mérések alapján.

paraméterezés

Legyen intervallum, folytonos (sőt általában differenciálható) függvény. Akkor a P függvény értékkészletét (sík)görbének nevezzük, és maga a P függvény ennek a görbének egy paraméterezése, vagy paraméteres egyenlete. Például az egyenletek az parabola paraméteres egyenletei; és az

ellipszis paraméteres egyenletei. A görbe gradiense minden pontban meghatározható, ha , az összefüggésből.

páratlan egész

A alakú páratlan számok, ahol n tetszőleges egész szám.

páratlan függvény

Az f valós függvény páratlan függvény, ha minden esetén és . Páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra, ugyanis, ha az pont a grafikonon van, akkor is rajta van. Például f páratlan függvény, ha az alábbi kifejezések bármelyike: 2x, , , , , , és a függvények értelmezési tartománya a valós számoknak az a legbővebb részhalmaza, amelyen a szóban forgó kifejezés értelmezhető.

páratlan rész

Egy adott egész szám legnagyobb páratlan osztója. A 14 szám páratlan része – amit az szimbólummal jelölünk – tehát 7; és minden pozitív n egész szám esetén.

parciális derivált

Tegyük fel, hogy f n változós valós függvény. Ha

tart egy határértékhez, amikor , akkor ezt a határértéket az f függvény pontban vett első változó szerinti parciális deriváltjának nevezzük. Többféleképpen jelölik: . Egy adott függvény esetén ez a parciális derivált a differenciálás megszokott szabályai szerint számítható ki, úgy deriválva, mintha a függvény csak függvénye lenne, az változókat pedig állandónak tekintve. A többi parciális derivált,

hasonló módon definiálható. Például, ha , akkor a parciális deriváltak , . Lásd még magasabb rendű parciális derivált.

parciális derivált rendje

Lásd a magasabb rendű parciális deriváltakat.

parciális differenciálás

Egy többváltozós függvény parciális deriváltjai meghatározásának folyamata. Azt mondjuk, hogy a parciális deriváltat az f függvényből kapjuk „az i-edik változó szerint parciálisan differenciálva”.

parciális differenciálegyenlet

Lásd differenciálegyenlet.

parciális integrálás

Lásd integrálás.

parciális tört

Lásd elemi tört.

Pareto-ábra

Olyan oszlopdiagramm, amelyen a kategóriák gyakoriságuk csökkenő sorrendjében vannak rendezve. Megmutatja, hogy egy adott szituációban melyek a legfontosabb tényezők, és lehetővé teszi, hogy reális költséghaszon-elemzést végezzünk annak megállapítására, hogy milyen intézkedéseket kell tennünk a teljesítmény javítása érdekében.

párhuzamos

Kettő vagy több egyenes vagy sík, amelyek mindig azonos távolságra vannak egymástól, következésképpen sohasem metszik egymást. Ez utóbbi tulajdonság azonban nem elégséges ahhoz, hogy egyenesek párhuzamosak legyenek három dimenzióban, mivel a kitérő egyenesek szintén sosem találkoznak. Párhuzamos egyeneseknek egy síkban kell feküdniük. Néha görbéket és felületeket is párhuzamosaknak mondanak, ha kielégítik az azonos távolságra való elhelyezkedés feltételét, ahol a távolság görbék, illetve felületek között úgy van definiálva, mint a görbe vagy a felület egy rögzített pontja és a másik görbe vagy felület pontjai közötti legrövidebb távolság.

párhuzamossági axióma

Az eukleidészi geometria egyik axiómája, amely azt mondja ki, hogy ha két egyenest keresztez egy harmadik, és az egyik oldalon a belső szögek összege kisebb, mint két derékszög, akkor a két egyenes azon az oldalon találkozik. Ez ekvivalens a Playfair-féle axiómával, amely azt mondja, hogy ha adott egy pont egy adott egyenesen kívül, akkor pontosan egy olyan egyenes halad át a ponton, amely párhuzamos az adott egyenessel. A tizenkilencedik században Bolyai János és Lobacsevszkij megmutatta, hogy a párhuzamossági axióma független az eukleidészi geometria többi axiómájától, s felfedezték a nemeukleidészi geometriát, amelyben a többi axióma fennáll, de a párhuzamossági axióma nem.

párhuzamos számítás

Ugyanazon feladat részeinek egyidejű végrehajtása több processzor segítségével, az eredmény gyors előállítása érdekében. Vesd össze soros számítás.

párhuzamos szárú szögek

Ha egy sík két egymással párhuzamos e és f egyenesét egy harmadik g egyenes metszi, akkor nyolc szög keletkezik, amelyek közül a két párhuzamos egyenes közé esőt belső szögnek, a többit külső szögnek nevezzük.

Az ábrán látható és szög csúcsszögek, és váltószögek, és egyállású szögek, és társszögek, és mellékszögek.

paritás

Egy egész szám azon tulajdonsága, hogy páros-e vagy páratlan. Tehát azt mondhatjuk, hogy a 6-nak és a 14-nek ugyanaz a paritása (mindkettő páros), míg 7 és 12 ellentétes paritású.

paritásellenőrzés

Lásd ellenőrző bit.

parkettázás

Parkettázásnak (vagy más néven csempézésnek) a sík egy befedését értjük különböző alakzatokkal. Gyakran az alakzatok sokszögek, amelyek valamilyen ismétlődés szerint vannak lerakva. A parkettázás szabályos, ha csak egyféle, egybevágó szabályos sokszögeket használunk hozzá. Szabályos parkettázásból az a három létezik, amelyeket az ábra szemléltet: a sokszögek vagy szabályos háromszögek vagy négyzetekkel vagy hatszögek.

A parkettázás félig szabályos, ha csak szabályos sokszögeket tartalmaz, de ezek nem mind egybevágók. Megmutatható, hogy az ilyenekből csak nyolcféle létezik, melyek közül az egyiknek két, tükörszimmetrikus megjelenése lehet. Belátható továbbá, hogy a félig szabályos csempézések csak háromszögeket, négyzeteket, hatszögeket, nyolcszögeket és tizenkétszögeket használhatnak fel. Az alábbi egyik ábra nyolcszögekből és négyzetekből, míg a másik hatszögekből és háromszögekből áll; mindkettő ismerős lehet padlómintázatokból. Ha nem szabályos sokszögeket is megengedünk, a csempézések száma végtelen sokféle lehet. Érdekes ábrák nyerhetők például egybevágó nemszabályos ötszögekből. A témakör(nek is) jeles kutatója Penrose, Roger.

páronként

Minden egyes lehetséges párra alkalmazva, amely előállítható egy halmaz elemeiből. így például, az, hogy páronként diszjunkt részhalmazok egy halmaza, azt jelenti, hogy , ha .

páronként diszjunkt

Azt mondjuk, hogy az halmazok páronként diszjunktak, ha minden i-re és j-re, ahol . A kifejezés végtelen sok halmaz esetén is alkalmazható.

páros

Maradék nélkül osztható kettővel.

páros függvény

Az f valós függvény páros, ha minden esetén. Tehát páros függvény grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre. f páros függvény lesz, ha értékét például a következők bármelyikeként definiáljuk: .

páros gráf

Olyan gráf, melynek a pontjai a és diszjunkt halmazba oszthatók úgy, hogy pontjai közül semelyik kettő között nem halad él, és ugyanígy pontjai között sem. A teljes páros gráf olyan páros gráf, melynek a halmazában m pontja van, a halmazában pedig n pontja úgy, hogy a halmazban lévő minden pont és a halmazban lévő minden pont között halad él.

párosítás

Páros gráfban élek olyan részhalmazát nevezzük párosításnak, amelynél semelyik két élnek nincs közös pontja. A párosítás maximális, ha az élek száma a lehető legnagyobb.

párosított kísérleti terv

Olyan kísérleti terv, ahol az alanyokat párba állítják, és a párok egyik tagját egy kezelést kapó csoportba, a másikat pedig egy kontrollcsoportba sorolják. Amikor különböző anyagokon tesztelnek egy mosóport más mosóporhoz viszonyítva, akkor egy ruhadarabot két részre vágnak, vagy egy klinikai tesztnél két csoport betegeit párba állítják kor, nem, súly stb. szerint úgy, hogy a megfeleltetés a lehető legpontosabb legyen: a párok tagjai minél inkább hasonlítsanak egymáshoz. Ezek után a kezeléseket a párokon véletlenszerűen alkalmazzák, és mérik az eredmények közötti különbségeket. E tervezési eljárás előnye, hogy csökkenthető vele az egyedek közötti különbségek hatása, és könnyebben azonosíthatók a kísérleti körülmények okozta eltérések.

párosított mintán alapuló próbák

Tegyük fel, hogy páronként egy bizonyos kapcsolat áll fenn egy-egy megfigyelés között: például szövetdarabokat két részre osztunk és minden egyes darab két fele egy párt alkot. A párosított mintán alapuló próbák általában sokkal hatékonyabbak, mint a hasonló kétmintás próbák, mivel a változékonyság egy fő forrását kiiktatják. Ha a párok két tagjának kimenetelei közti különbséget nézzük, mivel az egyedek közötti különbözőség ki van iktatva, könnyebb azonosítani a kísérleti kezelés okozta valódi eltérést.

páros permutáció

Az eredeti sorrend átrendezése páros számú elempár felcserélésével.

partikuláris megoldás

Lásd differenciálegyenlet, elsőrendű lineáris differenciálegyenlet.

pascal

Az SI egységrendszerben a nyomás mértékegysége, rövidítve . Egy Pascal egyenlő egy newton osztva egy négyzetméterrel.

Pascal, Blaise

(1623–1662) Francia matematikus és vallásos filozófus, aki a természettudományokban geometriai, hidrosztatikai és valószínűségszámítási munkásságáról ismert. A Pascal-háromszöget, a binomiális együtthatók elrendezését nem ő fedezte fel, de ő használta valószínűségszámítási tanulmányaiban, amelyről Fermat-val levelezett. Bekapcsolódott a görbék határolta alakzatok területének kiszámítására irányuló munkába is, amely hamarosan az analízishez vezetett. Fő hozzájárulása ehhez a munkához a ciklois egy íve alatti terület meghatározása volt.

Pascal-háromszög

Alább látható az első hét sora számok azon elrendezésének, melyet Pascal-háromszög néven ismerünk. Általában, az n-edik sor az vagy binomiális együtthatókból áll, ahol . A számok ilyen elrendezéséből látható, hogy az szám miért egyenlő az és a számok összegével, amelyek tőle fent balra és jobbra helyezkednek el. Például egyenlő 35-tel, ez , ami 15 és a , azaz 20 összegével egyenlő.

Pauli, Wolfgang Ernst

(1900–1958) Osztrák elméleti fizikus, akinek munkássága forradalmasította az atomi viselkedésről alkotott felfogást. Elsőként feltételezte zérus tömegű semleges részecskék létezését, melyeket ő neutronoknak hívott, és amelyek később neutrínó néven váltak ismertté, és ő rendelt elsőként spinkvantumszámot az elektronokhoz. 1945-ben fizikai Nobel-díjjal tüntették ki a Pauli-féle kizárási elv felfedezéséért, amely kimondja, hogy két elektron nem rendelkezhet ugyanazokkal a kvantumszámokkal.

Peano, Giuseppe

(1858–1932) Olasz matematikus, akinek a matematika axiomatizálását célzó munkássága nagy hatású volt. A szimbolikus logika fejlődéséhez hasznos jelölések bevezetésével is hozzájárult. Az egész számokkal kapcsolatos axiómái fontos fejlődést jelentettek az aritmetika formális elemzésében. ő volt az első, aki példákat adott az úgynevezett térkitöltő görbékre. Alapvető eredményeket ért el differenciálegyenletek megoldásainak létezése és egyértelműsége területén. Egyetemesnyelv-kísérlete a Latino sine flexione.

Peano-féle görbe

Vegyük egy négyzet átlóját, ahogyan a baloldali ábrán látható. Cseréljük ezt fel a kisebb négyzetek kilenc átlójával (itt úgy rajzoltuk, hogy látszódjon, milyen sorrendben járjuk végig az átlókat). Cseréljünk fel most ennek minden egyenes szakaszát még kisebb négyzetek kilenc átlójával, hogy a jobboldali eredményt kapjuk. A Peano-féle görbét akkor kapjuk, ha ezt a folyamatot a végtelenségig folytatjuk. Az a meglepő tulajdonsága van, hogy a négyzet minden pontján áthalad, és ezért térkitöltőnek mondják. Bármely térkitöltő görbe, amit hasonló módon szerkesztünk meg szintén nevezhető Peano-féle görbének.

Pearson, Karl

(1857–1936) Brit statisztikus, aki nagy hatással volt a biológiában és a társadalomtudományokban alkalmazott statisztika fejlődésére. Evolúciós és örökléstani problémáktól indíttatva definiálta az olyan alapvető fogalmakat, mint a szórás, a variációs együttható és (1900-ban) a -próba. Ez a munka fontos cikkek egy sorozatában jelent meg, amit akkor írt, amikor az alkalmazott matematika, majd az eugenika professzora volt a University College-ban, Londonban.

Pearson-féle korrelációs együttható

Lásd korreláció.

példa

Egy általános állítás specializálása egy konkrét esetre. Egy általános állítás megcáfolásához egyetlen ellenpélda elég, de akárhány példa sem bizonyíték rá. Például egy kör n különböző pontját összekötve húr keletkezik, ha n rendre . A húrok számai itt alakúak, de esetén 31 húr keletkezik, tehát az általános kifejezés nem . Valójában ez egy negyedfokú kifejezés.

példány

Speciális eset, gyakran egy általános kifejezésből kapható a paraméterek közül egy vagy néhány rögzítésével.

Pell, John

(1610–1685) Angol matematikus, akinek a Pell-féle egyenlet őrizte meg nevét, amelyet (ugyan Euler nyomán, de) helytelenül tulajdonítanak neki.

Pell-féle egyenlet

Az diophantoszi egyenlet, amelyben n pozitív egész szám, nem teljes négyzet. Ilyen egyenletek megoldására szolgáló módszereket Arkhimédész ideje óta kutatnak. Speciális eseteket oldott meg Bhāskara. Fermat látszólag értette, hogy mindig létezik végtelenül sok megoldás, erre bizonyítást Lagrange adott. Az egyenletet Euler nevezte el Pellről – helytelenül.

Penrose, Roger

(1931–) Brit matematikus és elméleti fizikus, aki 25 éven át volt az Oxfordi Egyetem matematikaprofesszora. 1988-ban Stephen Hawkinggal együtt fizikai Wolf-díjjal tüntették ki, de együttműködött más matematikusokkal is, aminek eredményeként fontos cikkeket tett közzé a kozmológia, a topológia és a sokaságok tárgykörében, valamint a tvisztorelméletről, amelynek célja a kvantumelmélet és a relativitáselmélet egyesítése a geometria és az algebra segítségével. Népszerű tudományos művek szerzőjeként is ismert, amelyek közérthető stílusukkal széles körben teszik ismertté a friss tudományos eredményeket.

penta-

Ötöt jelentő előtag.

percentilis

Lásd kvantilis.

perdület

Lásd impulzusmomentum.

perdületmegmaradás

Lásd impulzusmomentum-megmaradás.

peremeloszlás

Tegyük fel, hogy az X és Y diszkrét valószínűségi változók együttes eloszlása , ahol . Ekkor X peremeloszlása vagy marginális eloszlása

Hasonlóképpen adható meg Y peremeloszlása is.

Tegyük fel, hogy X és Y folytonos eloszlású valószínűségi változók, melyek együttes sűrűségfüggvénye f . Ekkor X peremeloszlása az az eloszlás, melynek sűrűségfüggvénye

peremérték-feladat

Egy differenciálegyenlet egy tartományon, a peremfeltételekkel együtt.

peremfeltétel

Differenciálegyenletek megoldására az értelmezési tartomány határán kirótt feltételek, amelyek egy partikuláris megoldást határozhatnak meg.

Pergai Apollóniosz

Lásd Apollóniosz.

perigeum

Lásd apszis.

perihélium

Lásd apszis.

periodikus

Lásd periódus.

periódus

Ha valamely p értékre minden olyan x-re, amelyre x és is benne van f értelmezési tartományában, akkor az f függvény periodikus, és periódusa p. Például periodikus szerint, hiszen minden x-re; vagy fokokat használva, periodikus, periódusa , hiszen minden x-re. A legkisebb ilyen tulajdonságú p-t nevezik alapperiódusnak.

periódusidő

A mechanikában bármely jelenség, amely szabályszerűen ismétlődik, periodikusnak mondható; a jelenség legközelebbi megismétlődéséig eltelt időt hívják periódusidőnek vagy peródusnak. Azt mondják, hogy a mozgás ismételt ciklusokból áll, a periódus az az idő, amely alatt egy ciklus végbemegy. Tegyük fel, hogy , ahol , és állandó. Ez megadhatja például egy egyenes vonalon mozgó részecske kitérését a t időpontban. Ez a részecske így az origó körül oszcillál. A periódus az egy teljes oszcillációhoz szükséges idő, és -val egyenlő.

permutáció

Elemi szinten n darab tárgy egy (ismétlés nélküli) permutációját úgy képzelhetjük el, mint a tárgyak egy elrendezését vagy átrendezését. A permutációk száma n tárgy esetében egyenlő -sal.

Tegyük fel, hogy az n tárgy k különböző féle lehet, ahol darab van az egyik fajtából, a másikból és így tovább. Az n tárgy különböző ismétléses permutációinak száma

ahol . Például a „KELEPEL” szó különböző anagrammáinak a száma , ami 420-szal egyenlő.

Ha az n tárgyból egyszerre r-et veszünk, akkor ezek ismétlés nélküli variációinak száma egyenlő -gyel, ami másrészt . Például az elemeknek 12 permutációja van, ha egyszerre kettőt veszünk ki közülük: . Ha az n tárgyból egyszerre úgy veszünk r számút, hogy közöttük azonosak is lehetnek, akkor ezek ismétléses variációkat alkotnak, számuk .

Ha az n tárgyból egyszerre r-et veszünk ki, és nem vagyunk tekintettel a sorrendre, akkor ezek (ismétlés nélküli) kombinációinak száma egyenlő . Ha ezen túlmenően az elemek még ismétlődhetnek is, akkor ismétléses kombinációkhoz jutunk, számuk .

Egy magasabb szinten egy X halmaz egy permutációját egy X-ből X-re való bijekcióként definiáljuk.

permutációcsoport

Permutációk csoportot alkotó halmaza, ahol a szorzás a permutációk egymás utáni alkalmazása. A teljes permutációcsoport, amelyet szimmetrikus csoportnak is nevezünk, darab elemből fog állni, elemei az n tárgy összes permutációi. Az összes páros permutációból álló részcsoportot alternáló csoportnak nevezzük.

permutációk és kombinációk

Annak a megszámlálása, hogy tárgyakat hányféleképpen lehet egy bizonyos sorrendbe rendezni. Lásd permutáció, kombináció.

permutáló mátrix

Olyan -es mátrix, amelynek minden sorában és oszlopában egyetlen 1-es van, az összes többi elem 0. Ilyen mátrixokkal valamely halmaz n elemének egy permutációját reprezentálhatjuk. Például arra, hogy leképezzük az számhármast az számhármasra, az

mátrixot használnánk, mivel

perspektíva

Annak művészete és matematikája, hogy hogyan lehet megjeleníteni kétdimenziós ábrán három dimenziót. A térbeli egyenes vonalak egyenesként jelennek meg a képen. A kép síkjával párhuzamos egyenesek párhuzamosokként jelennek meg a képen. Más, a térben párhuzamos egyenesek egy enyészpontban találkoznak, és minden új irányhoz másik enyészpont kell. Példának lásd az alábbi ábrát két enyészponttal. Lásd még projektív geometria.

p érték

Annak a valószínűsége, hogy egy adott próbastatisztika éppen a megfigyelt értéket veszi fel, vagy annál kevésbé valószínűt, feltéve, hogy a nullhipotézis igaz volt. Míg a legtöbb könyvben a kritikus értékek alapján készítenek próbákat a hipotézisek ellenőrzésére, vagy előre meghatározott szignifikanciaszinthez konstruálnak kritikus tartományokat, majdnem minden publikált statisztika és számítógépes program a próbák kimenetelét az aktuális p értékkel adja meg.

perturbáció

A paraméterértékek kis megváltozása egy egyenletben vagy egy optimalizálási problémában. Nem egyszer arra használjuk, hogy megvizsgáljuk egy helyzet stabilitását, vagy hogy azonosítsuk a keresett megoldást.

perturbáció

(a mechanikában) Például egy mozgó részecskének a pályájáról való kismértékű kitérítése, vagy egy potenciál kismértékű megváltoztatása.

peta-

SI mértékegységek előtagjaként a -nel való szorzást jelöli.

A körvonal hossza osztva az átmérő hosszával ugyanannyi, bármekkora kört is veszünk: ennek a hányadosnak az értéke , nyolc tizedes jegyig: . Néha -del közelítik, de tizedes kifejtése nem véges és nem is ismétlődő, ahogyan azt Lambert 1761-ben megmutatta: a szám irracionális. 1882-ben Lindemann bebizonyította, hogy a egyben transzcendens szám is. A szám olyan összefüggésekben fordul elő, amelyeknek látszólag nincs köze a körrel kapcsolatos definicióhoz. Például:

(ez utóbbi a Wallis-szorzat).

Picard-féle iteráció

Iterációs módszer közönséges differenciálegyenletek megoldására.

piko-

SI mértékegységek előtagjaként a -nel való szorzást jelöli.

pillanatnyi

Egy adott időpontban előforduló, időtartam nélküli. Például egy test sebessége a helyfüggvény idő szerinti deriváltja egy adott időpontban, definíció szerint a intervallumhoz tartozó átlagos sebesség, ha .

pillangó effektus

Lásd káosz.

pillangóeffektus

Lásd káosz.

piramisszám

alakú szám, ahol n pozitív egész számot jelöl. Az n-edik piramisszám nem más, mint az első n háromszögszám összege. Az első néhány piramisszám: 1, 4, 10 és 20. Az elnevezés oka az ábráról olvasható le.

placebo

A placebo ugyanolyannak tűnik, mintha kezelnénk egy vizsgálat résztvevőjét, (legyakrabban egy gyógyszer vagy egyéb klinikai kezelés esetén) de nincs hatásos összetevője. Kontroll csoportokban alkalmazzák, azoknak a pozitív hatásoknak a kiszűrésére, amelyeket a páciensek pusztán azért tapasztalnak, mert azt hiszik, olyasmit szednek, ami használ.

Planck, Max Karl Ernst Ludwig

(1858–1947) Német elméleti fizikus, aki a termodinamika területén végzett kutatásai során az energia és a hullámhossz közötti kapcsolatot vizsgálta. Eredményeiért – melyek hozzájárultak a később kifejlesztett kvantummechanika megalapozásához – 1918-ban fizikai Nobel-díjjal tüntették ki.

platóni test

Lásd szabályos test.

Playfair-féle axióma

Az az axióma, amely kimondja, hogy ha adva van egy egyenes és rajta kívül egy pont, akkor pontosan egy olyan egyenes van, amely átmegy a ponton és párhuzamos az egyenessel. Ez ekvivalens Eukleidésznek a párhuzamossági posztulátumával. Az axióma előfordul John Playfairnek egy könyvében, aki brit geológus és matematikus volt (1748–1819), ezért nevezték el róla.

pluszjel

A szimbólumot két (illetve több) szám összeadásának jelölésére használjuk, esetenként pedig más, hasonló tulajdonságokkal rendelkező kétváltozós műveletre. Egy mennyiség pozitivitásának jelölésére is használható, habár a vagy a előjel hiányában a mennyiségek pozitívnak veendő.

Poincaré, Jules Henri

(1854–1912) Francia matematikus, aki az utolsó olyan matematikusnak tekinthető, aki a matematika egész területén alkotott. A matematika egyik ágáról a másikra vándorolt, jelentősen hozzájárulva a legtöbb területhez – „inkább hódító, mint gyarmatosító”, mondták róla. Az elméleti matematikában a topológia egyik fő alapítójának, illetve az úgynevezett automorf függvények felfedezőjének tekintik. Az alkalmazott matematikában az égi mechanikát kvalitatív szempontból vizsgáló elméleti munkájáról emlékezetes, amely valószínűleg a legfontosabb munka volt ezen a területen Laplace és Lagrange óta. A két területet összekötő és motiváló új tudományág a differenciálegyenletek általa kezdeményezett kvalitatív elmélete. Nem kevésbé fontos eredménye egy könyvsorozat, amely mindkét értelemben népszerű, még ma is erősen ajánlott minden feltörekvő ifjú matematikusnak.

Poisson, Siméon-Denis

(1781–1840) Francia matematikus, aki Laplace és Lagrange tanítványa és barátja volt. Kiterjesztette az égi mechanikával kapcsolatos munkásságukat és kiváló eredményekkel gazdagította az elektromosságtan és mágnesességtan területeit. A valószínűségszámításről 1837-ben írt fontos cikkében vezette be azt az eloszlást, ami róla kapta a nevét és megfogalmazta a nagy számok törvényét. Lásd még a nagy számok gyenge törvénye.

Poisson-eloszlás

Az a diszkrét valószínűségeloszlás, amelyre , ahol pozitív paraméter. Ennek mind az átlaga, mind a szórásnégyzete -val egyenlő. A Poisson-eloszlás r-edik tagja megadja annak a valószínűségét, hogy egy esemény r-szer következik be egy bizonyos időtartam alatt, azon feltételek mellett, hogy az esemény véletlenszerűen következik be, de a bekövetkezések átlagos sebessége állandó. Használható a binomiális eloszlás közelítéseként, amikor n nagy és p kicsi, és .

polárkoordináták

Tegyük fel, hogy a sík O pontját választjuk origónak, és legyen Ox egy az O ponton átmenő, adott egységnyi hosszúságú irányított egyenes. A sík minden P pontjára legyen , és legyen az a szög (radiánban), amelyet OP bezár Ox-szel, az Ox-től az óra járásával ellentétes (azaz pozitív) irányban haladva, és a szögre teljesül. Ekkor a P polárkoordinátái. (Az O pont nem tartozik egyik értékéhez sem, hanem egyszerűen azt mondjuk, hogy -hoz tartozik.) Ha a P polárkoordinátái , akkor , ahol k egész szám, szintén lehetnek P polárkoordinátái.

Tegyük fel, hogy Descartes-féle koordináta-rendszert is bevezettünk ugyanazzal a origóval és egységhosszal és pozitív x-tengellyel az irányított Ox egyenes mentén. Ekkor a P pont Descartes-féle koordinátái így határozhatók meg az polárkoordinátákból, Fordítva, a polárkoordináták a Descartes-félékből a következőképp: , pedig olyan, hogy

(Igaz, hogy ha , , de ez nem elegendő egyértelmű meghatározásához.) Bizonyos körülmények között egyes szerzők megengedik r negativitását, amely esetben az polárkoordináták ugyanazt a pontot adják meg, mint az .

A mechanikában hasznos, hogy ha a P pont polárkoordinátái , akkor definiáljuk az és vektorokat az és a vektor segítségével, ahol i és j a pozitív x- és y-tengely irányába eső egységvektorok. Ekkor az OP mentén az r növekedésének irányába mutató egységvektor, illetve egy erre merőleges, a növekedésének irányába mutató egységvektor. Ezek a vektorok kielégítik az és a , egyenleteket, ahol .

polárkoordinátás egyenlet

Egy görbe egyenletét polárkoordinátákban általában alakban írjuk, ami annak rövidítése, hogy az koordinátájú pontok tartoznak hozzá. Néhány jól ismert görbe polárkoordinátás egyenletét soroltuk fel az alábbi táblázatban.

Görbe

poláregyenlet

körvonal

félegyenes

egyenes

egyenes

körvonal

körvonal

kardioid

Lásd kardioid

kúpszelet

Lásd kúpszelet

   

polártengely

A polárkoordináta-rendszer tengelye, amelytől a szöget mérjük.

poliéder

Néhány sokszöglap oldal által határolt test. Ez a meghatározás olyan poliédereket is magában foglal, mint például az alábbi ábrán látható, de gyakran az ilyen fajtákat ki szeretnénk zárni a tárgyalásból, és azt szeretnénk feltételezni, hogy egy poliéder konvex.

Egy konvex poliéder véges tartomány, néhány síklap által határolt test, ahol a tartomány úgy helyezkedik el, hogy teljes egészében minden egyes lap síkjának az egyik oldalán fekszik. A poliéder minden éle két csúcsot köt össze, és minden él két lap közös éle.

Egy konvex poliéderben a csúcsok, élek és oldalak száma közötti kapcsolatot a poliéderekre vonatkozó Euler-tételben megadott egyenlet határozza meg.

Bizonyos poliédereket szabályos testeknek nevezünk, öt ilyen van; a tizenhárom arkhimédészi test félig szabályos.

polinom

Legyen valós szám. Ekkor

az x változó valós együtthatós polinomja. Ha nem mind nulla, feltehető, hogy , ekkor a polinom foka n. Például és rendre másod- és negyedfokú polinomok. Az szám az tag együtthatója ( esetén); az állandó tag. Egy polinomot jelölhet (tehát ha f egy polinomfüggvény), ekkor például a polinom értékét jelöli, amikor x helyébe -et helyettesítünk. Ugyanilyen módon, tekinthetünk komplex együtthatós polinomokat x-ben, vagy – gyakrabban – z-ben, úgymint , az elnevezések ugyanazok.

polinomegyenlet

Az egyenlet, ahol polinom.

polinomfüggvény

A valós analízisben az függvény polinomfüggvény, ha polinom. A polinomoknál alkalmazott elnevezéseket használjuk a megfelelő polinomfüggvény esetében.

polinomiális együttható

Az

szám neve, ahol . Ez az együtthatója az tagnak az kifejtésében. Ez a szám adja meg azt is, hogy n elem közül, melyek k csoportba oszthatók, hányféleképpen lehet minden egyes csoportból darabot ( ) kiválasztani (visszatevés nélkül) úgy, hogy a sorrend nem számít.

polinomiális eloszlás

Többdimenziós eloszlás, mely a binomiális eloszlás általánosítása, ahol minden egyes kísérletnek kettőnél több kimenetele is lehet. Azaz, ha azonos eloszlású független valószínűségi változók sorozata, ahol , ahol , akkor a lehetséges kimenetelek valószínűségeit a kifejtésében szereplő együtthatók adják meg.

polinomiális tétel

A binomiális tétel általánosítása:

ahol az összegzést összes olyan értékére kell venni, amelyek összege n.

polinomok szorzása

Polinomokat a szorzásnak az összeadásra vonatkozó disztributív tulajdonsága alapján szorozhatunk össze, azaz minden tagot minden taggal megszorzunk. Például , majd a kifejtés (zárójelfelbontás) után összevonjuk a tagokat.

Pólya György

(1887–1985) Magyar matematikus, aki többek között együtt dolgozott Hardyval és Littlewooddal, matematikai fizikai, geometriai, komplex függvénytani, kombinatorikai és valószínűségszámítási cikkeken. Széles körben talán a matematika oktatásának módszertanában vállalt szerepe miatt ismert, könyve A gondolkodás iskolája, melynek második kiadása 1957-ben jelent meg. Még ma, fél évszázaddal később is széles körben az egyik legjobb olyan műnek ismerik el, amely a matematika művelésének művészetével foglalkozik. Matematikai témájú könyvhöz képest figyelemre méltóan hétköznapi hangvételben Pólya arról értekezik, hogy a problémamegoldás a heurisztika tanulmányozását igényli, és a problémamegoldási folyamatot négy lépcsőben összegzi:

  1. a probléma megértése,

  2. terv kigondolása,

  3. a terv végrehajtása,

  4. visszatekintés.

Más szavakkal: „látni, tervezni, csinálni, ellenőrizni”, amit rövidsége miatt érdemes angolul is ideírni: see, plan, do, check.

Számos matematikus nemzedék tanult Szegő Gáborral közös – szintén meglehetősen időtálló – feladatgyűjteményéből (Tételek és feladatok az analízis köréből).

Poncelet, Jean-Victor

(1788–1867) Francia hadmérnök és matematikus, a matematikában a projektív geometria alapítójának ismerik el.

pons asinorum

Latin kifejezés, szó szerinti jelentése szamárhíd, gyakran Eukleidész első könyvének ötödik állítását nevezik így, amely szerint az egyenlőszárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlők. Azt mondják, hogy ez az első, néhány olvasó által bonyolultnak ítélt bizonyítás. Általában pedig mentőkérdést, illetve iskolai puskát jelent.

pont

A „.” szimbólum jelölheti a tizedes pontot, ” pedig a szorzás műveletét. Használatos továbbá a deriválás jelölésére – alakban –, abban az esetben, amikor a független változó jelentése idő.

pont

Geometriai fogalom, a pontnak van helye, de nincs kiterjedése. Helyét gyakran koordináták adják meg.

pontbecslés

Lásd becslés.

pont és egyenes távolsága (síkon)

A P pont és az l egyenes távolsága a legrövidebb távolság l valamely pontja és P között. Ez megegyezik -nel, ahol az N az l egyenes olyan pontja, hogy a PN egyenesszakasz merőleges az l egyenesre. Ha P koordinátái , és l egyenlete , akkor a P és az l közti távolság

ahol az kifejezés abszolút értéke.

pont és sík távolsága (háromdimenziós térben)

A P pont és a p sík távolsága a legrövidebb távolság p valamely pontja és P között. Ez megegyezik -nel, ahol N a p sík olyan pontja, hogy a PN egyenesszakasz merőleges a p síkra. Ha P koordinátái , és p egyenlete , akkor a P és p közötti távolság

ahol az kifejezés abszolút értéke.

pontos

Az egyenlet pozitív megoldása , ami két helyi értékre vagy három értékes számjegyre helyes érték, a pontos válasz: .

pontosan akkor

Lásd előzmény, következmény, szükséges és elégséges feltétel.

pontosság

Egy numerikus mennyiség számított vagy becsült értéke és valódi vagy hibátlannak tekintett értéke kapcsolatának szorossága, illetve eltérése. A mennyiséget megadhatjuk n értékes jegyre (ahol a relatív pontosság a fontos), vagy n tizedes jegyre (ha az abszolút pontosság a fontosabb).

pontosság

(statisztikában) Valamely paraméter becsléseként használt statisztika minőségének mérése. A pontosságot a statisztika standard hibájával mérjük, tehát általában a pontosság javítható a minta méretének növelésével. A pontosságot egy paraméter két becslése hatékonyságának összehasonlítására használjuk.

pontosság

(numerikus analízisben) Az a pontosság, amellyel egy adott számítást végrehajtunk. A számítástechnikában az egyszeres pontosság rendszerint 16 számjegyet jelent, a kétszeres pontosság két kapcsolt egyszeres pontosságú blokot használ, a kettőnél több kapcsolt blokkokat különféleképpen hívják, nagy, többszörös vagy kiterjesztett pontosságnak. A matematikai programcsomagok képesek tetszőleges pontossággal, tehát akár többezer jeggyel is számolni.

pont vetülete egyenesen

Adott az l egyenes, és az egyenesen kívüli P pont. A P pont vetülete az l egyenesre az az N pont l-en, amelyre PN merőleges l-re. A hossz a P és l közötti távolság. Az N pont a P-ből p-re bocsátott merőleges talppontja.

pont vetülete síkon

Adott a p sík, és a síkon kívüli P pont. A P pont vetülete a p síkra az az N pont p-n, amelyre PN merőleges p-re. A hossz a P és p közötti távolság. Az N pont a P-ből p-re bocsátott merőleges talppontja.

populáció

Olyan halmaz, amelyről statisztikai következtetéseket vonunk le a halmazból vett minta alapján. A populációra vonatkozó hipotézisünket a minta alapján elfogadhatjuk vagy elutasíthatjuk.

populációátlag

Lásd átlag.

posztulátum

Lásd axióma.

potenciális energia

Minden konzervatív erőhöz társítható egy -vel, U-val vagy V -vel jelölt potenciális energia, amelyet a következőképpen definiálnak: A potenciális energia valamilyen időtartam során bekövetkező megváltozása egyenlő az erő által ugyanezen időtartam során végzett munka -szeresével. (A potenciális energia függvényéhez tehát mindig hozzáadható egy energia dimenziójú állandó.) Tehát a potenciális energia megváltozása a és a pillanat között:

Itt v jelöli az F konzervatív erő támadáspontjának sebességét. Ha például (lásd Hooke-törvény), akkor (zérusnak definiálva a potenciális energiát, ha ). Olyan problémáknál, melyekben szerepet játszik a Föld felszínének közelében fellépő gravitáció, a gravitációs erőt általában alakban írják fel. A potenciális energia , feltéve, hogy a egyenletű sík pontjaihoz zérus potenciális energiát rendelünk. Lásd még gravitációs potenciális energia.

A potenciális energia tömeg szorozva hosszúság a négyzeten szorozva idő a mínusz másodikon dimenziójú, SI mértékegysége pedig a joule.

pótszög

Két szög egymás pótszöge, ha őket összeadva derékszöget kapunk.

pozitív

Egy nullánál nagyobb érték.

pozitív irány

Lásd irányított egyenes.

pozitív korreláció

Lásd korreláció.

pozitív szög

Az óra járásával ellentétes irányban mért szög.

predikátum

Olyan kijelentés, amely egy tulajdonságot egy vagy több alanynak tulajdonít. „Luca lány” – ez egy predikátum egyetlen alannyal. Egy predikátum egynél több alannyal: reláció. így a „Luca, Jolán és Mari testvérek” egy predikátum több bináris relációval az alanyokból alkotott párok között.

prímfaktorizáció

Lásd a számelmélet alaptétele.

Prim-féle algoritmus

Amikor sok pont és/vagy távolság táblázatban van felsorolva, nem pedig egy (kisméretű) gráfon vannak ábrázolva, akkor a Prim-féle algoritmus hatékonyabb módszer a minimális súlyozott feszítő fa meghatározására, mint a Kruskal-algoritmus. Mivel minden pont rajta lesz a minmális összefüggő fán, ezért bármelyik pontot választhatjuk kezdőpontnak, tehát válasszunk egyet tetszőlegesen, és hívjuk ezt mondjuk -nek. Most válasszuk a -hez legrövidebb élen kapcsolódó pontot (ha több is van, válasszunk véletlenszerűen), és hívjuk ezt -nek. Minden lépésben azt az élet és azt az új pontot vegyük hozzá, amely a legrövidebb távolsággal járul hozzá az összeghez, és nem hoz létre hurkot. Amint elértük az utolsó pontot is, meghatároztuk a legrövidebb összefüggő utat.

primitív függvény

Az intervallumon értelmezett f valós függvénynek bármely olyan intervallumon értelmezett függvény primitív függvénye, amelyre minden esetén fennáll a összefüggés. Ha és az f folytonos függvény primitív függvényei, akkor és csak egy additív állandóban különbözik egymástól: valamilyen számmal. Ebben az esetben az f primitív függvényeinek halmazát

vagy egyszerűen jelöli, mindkettő tehát a halmaz rövidítése.

primitív függvény keresése

A deriválás inverz művelete. Lásd még primitív függvény. Folytonos függvény esetén bármelyik integrálfüggvény vehető primitív függvénynek.

prímszám

A p pozitív egész szám prímszám, ha , és nincs más pozitív osztója, mint 1 és önmaga.

Köztudott, hogy végtelen sok prímszám van. Eukleidész indirekt bizonyításában a következő módon érvel. Tegyük fel, hogy véges sok prímszám van: . Tekintsük a számot. Ez nem osztható a számok egyikével sem, tehát ez maga is vagy prímszám, vagy olyan prímszámokkal osztható, amelyeket eddig nem vettünk számításba. Ebből következik, hogy a prímek száma nem lehet véges. (Vegyük észre, hogy nem pontosan azt bizonyítottuk, hogy végtelen sok prímszám van!)

Nagy prím számok megtalálhatók számítógéppel. A legnagyobb ismert prím általában a legnagyobb ismert Mersenne-féle prím.

prímszámtétel

Legyen tetszőleges x pozitív valós számra az x-nél kisebb vagy egyenlő prímszámok száma. A prímszámtétel azt mondja ki, hogy ha , akkor

Más szavakkal, x nagy értékeire közelítőleg egyenlő -szel. Ez bizonyos értelemben mutatja, hogy az egészek mekkora része prím. Először 1896-ban Hadamard és Charles De La Vallée-Poussin bizonyította be egymástól függetlenül. Minden bizonyítás vagy rendkívül bonyolult vagy magaszintű matematikára épül. Elemi eszközökkel szép, de szintén nem egyszerű bizonyítást adott a tételre Erdős Pál és Selberg.

prímtényezős felbontás

Lásd a számelmélet alaptétele.

-próba

Olyan próba, amellyel meghatározhatjuk megfigyelések egy halmazáról, mennyire jól illeszkednek egy speciális diszkrét eloszláshoz, vagy mennyire tesznek eleget valamely más nullhipotézisnek (lásd hipotézisvizsgálat). Jelölje a megfigyelések gyakoriságát a különböző csoportokban , a statisztikai modellből elvárt gyakoriságot pedig . Minden i esetén kiszámoljuk az értéket, és ezeket az értékeket összegezzük. Az eredményt összevetjük egy megfelelő szabadságfokú -eloszlással. A szabadsági fok függ a csoportok számától és becsült paraméterek számától. A próba megköveteli, hogy a megfigyelések függetlenek legyenek, és hogy a minták mérete és várható gyakorisága meghaladjon egy minimális értéket, mely a csoportok számától függ.

próba ereje

A hipotézisvizsgálat során annak a valószínűsége, hogy a próba elutasítja a nullhipotézist, amikor az valóban hamis. Ez egyenlő -val, ahol a másodfajú hiba valószínűsége.

próbastatisztika

Hipotézisvizsgálatban használt olyan statisztika, amelynek eloszlása ismert, ha a nullhipotézis fennáll.

projektív geometria

A geometriának az a területe, amely a geometriai formák vetítés közbeni tulajdonságaival foglalkozik, különös tekintettel az eközben megmaradókra.

pszeudoprím

Az n pozitív egész szám pszeudoprím, ha , minden a egészre. A kis Fermat-tétel szerint minden prím egyben pszeudoprím is. Viszonylag kevés olyan pszeudoprím van, amely nem prím; az első ilyen az 561 szám. Ahhoz, hogy meghatározzuk, prímszám-e egy egész szám, vagy összetett, hasznos lehet először megnézni, hogy pszeudoprím-e. A legtöbb összetett számra már ez megmutatja, hogy összetett.

pszeudovéletlen számok

Lásd véletlen számok.

Ptolemaiosz

(i. sz. II. század) Görög csillagász és matematikus, a régi idők legjelentősebb trigonometriai művének szerzője, amit rendszerint arab nevén (Almagest, magyarul A legnagyobb) ismernek. Ez többek között húrok táblázatait tartalmazza, ami a mai szinusztáblának felel meg, és annak leírását is, hogy hogyan kapták meg ezeket a táblázatokat. Használja Ptolemaiosz tételét is, amiből a trigonometria szokásos addíciós képletei levezethetők.

Ptolemaiosz tétele

Az eukleidészi geometria következő tétele:

Tétel. Tegyük fel, hogy egy konvex négyoldal csúcsai A,B,C és D, ebben a sorrendben. Ekkor a négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha

Püthagorász

(meghalt kb. i. e. 500-ban) Görög filozófus és misztikus filozófus, aki követőivel együtt az első olyannak tűnik, aki komolyan vette a matematikát, mint önálló tudományt, és nemcsak gyakorlati számításokhoz használt képletek gyűjteményének tekintette. Püthagorász tanítványainak tulajdonítják a jól ismert Püthagorász-tételt a derékszögű háromszögekről, bár Egyiptomban már jóval korábban ismeretes volt. Sokat foglalkoztak a figurális számokkal, részben filozófiai okokból. Azt mondják, hogy az egész számokat a valóság alapépítőelemeiként tisztelték; ezt a nézetüket az irracionális számok felfedezése alapjaiban rázta meg. Vesd össze egész szám.

püthagorászi számhármas

Az olyan a,b és c pozitív egész számok, amelyekre fennáll, hogy (lásd Püthagorász-tétel). Ha püthagorászi számhármas, akkor is az, minden pozitív egész k esetén. Néhány olyan püthagorászi számhármas, amelyek legnagyobb közös osztója 1: , és .

Püthagorász-tétel

Valószínűleg a legismertebb geometriai tétel. Megadja egy derékszögű háromszög oldalai közti kapcsolatot.

Tétel. Egy derékszögű háromszögben az átfogó négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összegével.

Tehát, ha az átfogónak, azaz a derékszöggel szemközti oldalnak a hossza c, a másik két oldalé, a befogóké a és b, akkor . A tétel elegáns bizonyítását kapjuk, ha felosztunk egy oldalú négyzetet két különböző módon, ahogy az ábra mutatja, és felhaszáljuk, hogy a két terület egyenlő.