Ugrás a tartalomhoz

OXFORD - Matematika : Kislexikon

Tóth János (2007)

Typotex Elektronikus Kiadó Kft.

F

F

F

A 15-ös szám tizenhatos (hexadecimális) számrendszerben.

fa

Olyan összefüggő gráf, amelyben nincs kör. Megmutatható, hogy egy n pontú egyszerű összefüggő gráf pontosan akkor fa, ha éle van. Az ábrán az összes, legfeljebb ötpontú fát láthatjuk.

A gyakorlati alkalmazásokban az egyik pontot gyakran gyökérnek hívják, és a fagráf pontjait szintekre osztva rajzolják fel, ezzel jelezve a gyökértől vett távolságot. Az olyan gyökeres fát, ahol (a kétfokú gyökér kivételével) minden pont foka 1 vagy 3, bináris fának hívjuk, lásd például az alábbi illusztrációt.

Fahrenheit

Jele F. Egy hőmérsékleti skála és az ahhoz tartozó mértékegység elnevezése. A víz fagyáspontjához a skála 32 F értéke, a víz forráspontjához pedig a skála 212 F értéke tartozik légköri nyomás mellett. Vesd össze Celsius, Kelvin.

fajlagos várható nyereség

Ha egy játékban egy játékos nyeresége véletlen események kimenetelétől is függ, akkor a fajlagos várható nyereség a játékos nyeresége várható értékének egy játszmára eső része. Úgy számítjuk ki, hogy a jatékos által kapható nyereségek értékét megszorozzuk az egyes értékek valószínűségével, majd ezeket a szorzatokat összeadjuk.

A fenti ábrán ez például , és ezt az értéket beírtuk a körbe.

faktoranalízis

(statisztikában) Olyan statisztikai eljárások együttese, melyeknek célja, hogy a magyarázó változók (faktorok) számát csökkentve adjon magyarázatot a megfigyelések kimenetelére. Az eredeti változók (általában lineáris) kombinációiból új változókat képezünk azzal a céllal, hogy találjunk egy egyszerűbb szerkezetű modellt. Ahol számos változó úgy értelmezhető, mint ami egy olyan összetett mennyiség különböző aspektusait méri, amilyen például az intelligencia, esetleg bevezethető egy olyan összetett változó, amely majdnem ugyanannyi információt tartalmaz, mintha az összes az eredeti változót használnánk. Óvatosan kell viszont bánni ennek az interpretációjával.

faktoriális

Az n pozitív egész szám esetén (olvasd: n faktoriális) jelöli a következő szorzatot: . Tehát például és . Definíció szerint .

Farkas Gyula

(1847–1930) Magyar matematikus és elméleti fizikus, a lineáris programozás alapjául szolgáló lineáris egynlőtlenségekkel, és a termodinamikai egyensúly stabilitásával foglalkozott.

fázis

Tegyük fel, hogy adott az képlettel értelmezett x függvény, ahol és állandó. Ez megadhatja például egy egyenes vonal mentén mozgó részecske t pillanatbeli kitérését. Ebben az esetben a részecske az origó körül rezeg. Az állandót nevezik fázisnak. Ha két részecske azonos amplitúdójú és periódusidejű, viszont eltérő fázisú rezgőmozgást végez, akkor a két részecske lényegében ugyanazt a mozgást végzi – a két mozgás egymásból időbeli (és térbeli) eltolással megkapható.

Feigenbaum, Mitchell Jay

(1944– ) Amerikai matematikai fizikus, a káoszelmélet matematikai leírásában ért el jelentős eredményeket.

Fejér Lipót

(1880–1959) Magyar matematikus, Fourier-sorokkal, komplex függvénytannal foglalkozott.

fékező erő

Olyan erő, amelynek iránya mindig ellentétes annak a testnek a sebességével, amelyre hat, ezáltal a fékező erő akadályozza a test mozgását. Tegyük fel például, hogy egy olajjal töltött hengeres edénybe golyót ejtünk. A süllyedő golyóra lefelé a gravitációs erő, felfelé az olaj által kifejtett fékező erő hat. További példák a súrlódás és az aerodinamikai ellenállás. Fékező erő fellépte esetén a teljes mechanikai energia nem állandó, viszont teljesül a munkatétel.

felbont

Lásd felbontás.

felbont

Egy szám vagy mennyiség felbontását állítja elő.

felbontás

Egy mennyiség vagy kifejezés egyszerűbb összetevőkre bontása. Például a 24 szám prímtényezőkre való bontása. Másik példa egy polinomfüggvény felbontása tényezők szorzatára.

felbontás

Vektorok megadása komponenseik segítségével. A komponenseket úgy kapjuk, hogy az adott vektort két vagy három, páronként merőleges tengelyre vetítjük. Például akkor használják, ha egy részecskére ható két vagy több erő eredőjét akarják képezni. Ilyenkor érdemes lehet az erők mindegyikét két vagy három, páronként merőleges irányhoz tartozó komponensre felbontani. Egyes problémáknál az egyik irány vízszintes, a másik függőleges. Más problémáknál az egyik irány párhuzamos egy lejtő síkjával, a másik merőleges arra. A vektorok segítségével felírt mozgásegyenlet a vektorok komponensekre bontása révén két vagy három skaláris mozgásegyenletté írható át.

felbontás (egész számé)

Az n pozitív egész szám felbontása , ahol pozitív egész számok, a sorrendjük nem fontos. Az n szám felosztásainak számát jelöli. Például 5 felbontásai

tehát . értékei n kicsi értékeire a következők:

felcserélhető

Legyen kétváltozós művelet az S halmazon. Az elemek felcserélhetők a műveletre nézve, ha . Például a szorzásra nézve a -es mátrixok halmazának nem minden elempárja cserélhető fel, de ha például A és B diagonális mátrix, akkor felcserélhetőek.

félegyenes

Egy egyenest egy O pontja két félegyenesre bont fel. Bármelyik félegyenes az egyenes azon pontjaiból áll, amelyeket az O pont nem választ el egymástól. Az O pont mindkét félegyenesnek kezdőpontja.

felez

Két egyenlő részre oszt.

felezéses módszer

Numerikus eljárás az egyenlet egy gyökének megkeresésére. Legyen intervallum. Ha találunk olyan és számokat, hogy , vagyis az f függvény az a és b helyen ellentétes előjelű, továbbá f folytonos függvény az intervallumon, akkor az egyenletnek (Bolzano tétele értelmében) az intervallumba esik (leglalább) egy gyöke. Ennek megkeresére szolgál a felezéses módszer, amely abban áll, hogy megfelezzük az intervallumot, majd az eredetit az egyik vagy a másik féllel helyettesítve közrezárjuk a gyököt.

Részletesebben: legyen tehát . Számoljuk ki értékét. Ha ugyanolyan előjelű, mint , akkor a szerepét a következő lépésben játssza c, egyébként pedig (ha tehát előjele előjelével egyezik meg), legyen b új értéke c. (Ha , akkor c egy gyök, és így találtunk egy gyököt.) Ismételgessük ezt az eljárást mindaddig, amíg az intervallum hossza kisebb lesz, mint , ahol egy előre meghatározott érték. Ha ekkor az intervallum közepét vesszük az egyenlet egy gyökének a közelítéseként, akkor a hiba kisebb lesz, mint .

felezési idő

Lásd exponenciális bomlás.

felező merőleges

Az AB egyenesszakasz felező merőlegese az AB-re merőleges, annak felezőpontján átmenő egyenes.

felezőpont

Legyen A és B két pont a síkon, melynek derékszögű koordinátái és . Ekkor az AB szakasz felezőpontjának koordinátái az arányos osztás speciális eseteként adódnak: . Ha A és B térbeli pontok, melyek derékszögű koordinátái és , akkor az AB szakasz felezőpontjának koordinátái

Ha az A és B pontok helyvektora a és b, akkor az AB szakasz felezőpontjának helyvektora .

felezőpont-szabály

Az egyik legegyszerűbb numerikus integrálási módszer. Tegyük fel, hogy az határozott integrál kiszámításához az intervallumot felosztottuk n egyenlő részre, azaz egy részintervallum hossza . A görbe alatti területet közelíthetjük n számú téglalap területösszegével, ahol a téglalapok alapja h, magassága pedig az intervallum középpontjában felvett függvényérték, azaz . Az intervallumok középpontját -nel jelölve tehát a következő közelítést kapjuk: .

félgömb

Egy gömb fele, amelyet úgy kapunk, hogy a gömböt egy középpontján átmenő síkkal két részre vágjuk.

félig nyílt

Lásd félig zárt.

félig szabályos parkettázás

Lásd parkettázás.

félig szabályos test

Egy konvex poliédert félig szabályos testnek hívunk, ha lapjai szabályos sokszögek, noha nem mind egybevágóak, és ha minden csúcsa hasonló abban az értelemben, hogy egyaránt olyan, hogy a különböző fajta oldalak ugyanabban a sorrenben vannak elrendezve a csúcs körül. Az egyenes négyzetes oldalú hasábok és az olyan egyenes antiprizmák, amelyeknek az oldallapjai egyenlőszárú háromszögek, félig szabályosak. Ezektől eltekintve, tizenhárom félig szabályos poliéder létezik, amelyeket arkhimédészi testekként ismerünk. Ezek között szerepel a csonkolt tetraéder, a csonkolt kocka, a kuboktaéder és az ikozidodekaéder.

félig zárt

Az intervallum félig zárt, ha az egyik végpontját tartalmazza, de a másikat nem, azaz vagy alakú intervallum, ilyen például a vagy a intervallum.

félkör

Egy kör átmérő határolta fele.

F-eloszlás

Nemnegatív folytonos eloszlás, amely két független -eloszlású valószínűségi változó hányadosa, ahol mindkét valószínűségi változót még elosztjuk a szabadsági fokukkal is. Az F-eloszlás várható értéke (sic!), szórása , ahol a számláló és a nevező szabadsági foka. Az eloszlást annak eldöntésére használják, hogy két normális eloszlású valószínűségi változó szórása megegyezik-e, továbbá lineáris regressziónál a függő és a magyarázó változó közötti kapcsolat ellenőrzésére. Az eloszlás sűrűségfüggvénye „jobbra dől” (ferdesége pozitív); kritikus értékei táblázatból kikereshetők.

felosztás (intervallumé)

Legyen zárt intervallum. Az számú pontból álló halmaz az intervallum egy felosztása, ha

A fenti felosztás az intervallumot az n számú részintervallumra osztja. A P felosztás normája a legnagyobb részintervallum hossza, jele . Ilyen felosztásokat használunk egy függvény feletti Riemann-integráljának definíciójában. (Lásd integrál).

félsík

Tekintsük azt az e egyenest, melynek egyenlete , vagyis . Azon pontok, melyekre , az e egyenes egyik oldalán nyílt félsíkot alkotnak, az egyenlőtlenséget teljesítő pontok pedig e másik oldalán alkotnak nyílt félsíkot. Ha adott az egyenletű egyenes, és például , akkor könnyen eldönthető, hogy melyik félsíkről van szó: az origó koordinátáit behelyettesítve látható, hogy melyik egyenlőtlenség teljesül. Az origót az a félsík tartalmazza, melyre , ha , a másik félsík pedig az, amelyikre , ha .

Zárt félsíkot alkotnak azok az pontok, melyekre vagy teljesül. Nyílt és zárt félsíkokat használnak többek között lineáris programozásban is.

felső egészrész

A legkisebb olyan egész szám, mely az adott számnál nem kisebb. Az a valós szám felső egészrészét jelöli. Például . Lásd még egész rész.

felső háromszögmátrix

Lásd háromszögmátrix.

felső határ

Lásd határozott integrál, szuprémum.

felső határérték

Az valós számsorozat felső határértékének értelmezéséhez képezzük az számok limeszét:

illetve legyen amennyiben a sorozat felülről nem korlátos. Ez a szám a sorozat összes konvergens részsorozatának határértékéből álló halmaz legnagyobb eleme.

felső korlát

Lásd korlát.

felszín

Egy felület, vagy egy felület valamilyen adott határral körülhatárolt része nagyságának mértéke. Az olyan egyszerű alakzatoknak, mint a téglalapok, háromszögek, hengerfelületek stb. a felszíne, a méreteik alapján egyszerű képlettel kiszámolható. Más, bonyolultabb síkbeli alakzatok, vagy háromdimenzós felületek kiszámításához integrálásra vagy numerikus közelítésre van szükség. Lásd terület.

félszög

Lásd kúp.

félszögek szögfüggvényei

Trigonometrikus összefüggések, amelyek egy szög felének a szögfüggvényét az egész szög szögfüggvényeként adják meg, vagy amelyek egy szög szögfüggvényét a szög felének a szögfüggvényével fejezik ki.

és ha , akkor

féltér

Kevésbé szabatosan, ha a háromdimenziós teret egy síkkal két részre bontjuk, akkor az így kapott két tartományt nevezzük félsíknak. Pontosabban leírva, ha egy sík egyenlete , akkor azon pontok halmaza, melyekre , illetve teljesül, a sík két egymással ellentétes oldalán nyílt félsíkot alkotnak. Az , illetve egyenlőtlenségeket teljesítő pontok halmaza pedig zárt félsíkot alkot.

feltételes állítás

Olyan állítás, amely szerint valami (a következmény) igaz lesz, ha valami más (az előzmény) igaz. Például a „ha n osztható kettővel, akkor n páros” feltételes állítás, melyben az előzmény „n osztható kettővel”, a következmény pedig, hogy „n páros”.

feltételes eloszlás

Legyen B olyan esemény, amelyre , és legyen X diszkrét valószínűségi változó. Akkor az X valószínűségi változó B feltétel melletti feltételes eloszlásának tagjai: .

feltételes optimalizálás

Optimalizáció bizonyos kényszerekkel. Például lineáris programozásban.

feltételes valószínűség

Annak a valószínűsége, hogy az A esemény bekövetkezik, feltéve, hogy a B esemény bekövetkezett, jelölésben . Ezt hívjuk feltételes valószínűségnek. Feltéve, hogy , . Ez a definíció gyakran a következő formában hasznos: . Az A és B esmények független események, ha , ekkor tehát mellett .

feltételes várható érték

Az X valószínűségi változó várható értéke feltételes eloszlást használva.

feltevés

Olyan állítás, amelyről alkalmas körülmények között feltehető, hogy igaz. Bármilyen belőle levont következtetés függ a feltevés érvényességétől.

felület

Descartes-féle alakban: azon pontok halmaza, amelyekre vagy vagy teljesül. A felület megadható még paraméteres alakban is: , ahol alkalmas paramétertartomány.

felület normálisa

Lásd érintő sík.

felülről

Lásd jobb oldali.

felülről és alulról konvex

Lásd konvexitás.

felülvonás

A felülvonás szimbólumot leggyakrabban a z komplex szám konjugáltjának, illetve az x statisztikai változó átlagának, illetve halmaz lezártjának jelölésére használjuk.

fényév

A vákuumban terjedő fény által egy év alatt megtett távolság. Mivel a fénysebesség , egy év pedig másodpercből áll, ezért egy fényév . A fényév a csillagászatban a távolság egyik alapegysége, amit a világűrben lévő hatalmas távolságok indokolnak.

fénysebesség

A fény – csakúgy, mint a többi elektromágneses hullám – vákuumban sebességgel terjed.

ferde aszimptota

Lásd aszimptota.

ferdén szimmetrikus mátrix

Az mátrix ferdén szimmetrikus, ha (lásd transzponált); azaz ha minden i és j esetén teljesül. Következésképpen, ferdén szimmetrikus mátrix minden főátlóbeli eleme nulla: minden i mellett.

ferdeség

Egy eloszlás aszimmetriája. Egy lehetséges mérőszáma ennek a ferdeségi együttható, amit definiál, ahol és az eloszlás második és harmadik centrális momentuma. Ez a mérőszám nulla, ha az eloszlás szimmetrikus a várható értékére. Ha az eloszlásnak hosszú baloldali farka van, amint a baloldali ábrán látható, akkor azt mondjuk, hogy balra dől, ekkor ferdeségi együtthatója negatív. Ha az eloszlásnak hosszú jobboldali farka van, amint a jobboldali ábrán látható, akkor azt mondjuk, hogy jobbra dől, ekkor ferdeségi együtthatója pozitív. Az eloszlás ferde eloszlás, ha balra dől vagy jobbra dől.

ferdeségi együttható

Lásd ferdeség.

ferdeszögű

Ferdeszögű a sík- vagy térbeli koordináta-rendszer, ha koordinátatengelyei nem merőlegesek egymásra páronként.

Fermat, Pierre de

(1601–1665) A XVII. század első felének kiemelkedő matematikusa. Elsősorban számelméleti tételei révén vált híressé; ismertebbek például a kis Fermat-tétel és a nagy Fermat-tétel. Ismeretes, hogy érintőkre vonatkozó munkái ösztönözték Newtont az analízis kidolgozásában. Fermat koordinátákat vezetett be görbék tanulmányozásának eszközéül. Foglalkozása szerint Toulouse-ban volt ügyvéd; a matematikusok számára ő az „amatőrök fejedelme”.

Fermat-féle prímszám

alakú prímszám. Jelenleg az ilyen alakú ismert prímszámok azok, ahol 0, 1, 2, 3 és 4.

feszítő fa

Egy gráf olyan részgráfja, amely fa, és amely az eredeti gráf összes pontját tartalmazza.

feszültség

Egy test belsejében vegyünk fel egy A felületdarabot, és egy azon lévő P pontot! Vegyünk fel a P pont körül egy r sugarú gömböt! Az A felület két részre osztja a gömböt. Jelölje az A felület azon részének felszínét, mely az r sugarú gömbön belül van! Azt az erőt, amelyet az egyik rész a másik részre a felület gömbön belüli része mentén kifejt, jelölje ! Ha létezik az mennyiségnek határértéke esetén, akkor ezt a határértéket az A felület P pontjához tartozó feszültségnek vagy mechanikai feszültségvektornak nevezik. Ha a feszültség merőleges a felületre, és annak a résznek az irányába mutat, amelyre a erő hat, akkor nyomófeszültségről beszélnek. Ha a feszültség iránya ezzel ellentétes, akkor húzófeszültségről beszélnek. Ha a feszültség iránya párhuzamos a felület P pontbeli érintősíkjával, akkor nyírófeszültségnek nevezik. A rugalmas húrokhoz és rugókhoz hasonlóan a legtöbb test visszanyeri eredeti alakját, ha a rá ható külső erők megszűnnek. Nagy külső erők esetén azonban előfordulhat, hogy az erők megszűnte után a test deformált marad, illetve hogy a külső erők nyomán a testben fellépő feszültségek törést okoznak.

Feuerbach-féle kör

Egy háromszög oldalainak felezőpontjai, magasságainak talppontjai és a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai egy körre illeszkednek, ez a háromszög Feuerbach-köre (vagy a kilencpontos kör). A kör középpontja felezi a magasságpont és a háromszög körülírt körének középpontja által meghatározott szakaszt, és rajta van a háromszög Euler-egyenesén. Karl Wilhelm Feuerbach (1800–1834) (aki nem azonos Ludwig Andreas von Feuerbach (1804–1872) német filozófus és antropológussal) 1822-ben azt is bebizonyította, hogy ez a kör a beírt kört és a háromszöget kívülről érintő köröket is érinti (ez a Feuerbach-tétel).

Feynman, Richard Phillips

(1918–1988) Amerikai elméleti fizikus, aki 1965-ben Schwingerrel és Tomonogával megosztva fizikai Nobel-díjat kapott a kvantumelektrodinamika területén végzett munkásságáért. A második világháború idején az atombomba kifejlesztésén dolgozott, és már ebben az időben e terület egyik vezető kutatójaként tartották számon. Sikeres szerző volt, mert az alapvető fizikai elvek intuitív megragadása révén sokkal szélesebb közönséggel volt képes kommunikálni, mint a legtöbb élvonalbeli tudós. Egyik legismertebb könyve Tréfál, Feynman úr? Egy mindenre kíváncsi pasas kalandjai címen jelent meg (eredeti címén: Surely You’re Joking Mr Feynman – Adventures of a Curious Character).

Fibonacci

(1170–1250 körül) A korai középkor utáni egyik első európai matematikus álneve. Itáliai kereskedő volt, valódi nevén Leonardo Pisano, egyike azoknak, akik az arab számrendszert bevezették Európába. E számrendszert javasolta 1202-ben kiadott Liber Abaci (A számolás könyve) című munkájában, amely több problémát is tartalmazott, köztük olyat is, amely a Fibonacci-sorozathoz vezetett. Más írásaiban foglalkozott az eukleidészi geometriával és a diophantoszi egyenletekkel.

Fibonacci-sorozat

A következő sorozatot nevezzük Fibonacci-sorozatnak: , ahol a harmadiktól kezdve minden szám az előtte lévő két szám összege. A sorozat tagjait Fibonacci-számoknak nevezzük. A sorozatnak több érdekes tulajdonsága van, például az egymás után következő számok hányadosából képzett sorozat határértéke az aranymetszés aránya. Lásd még: differenciaegyenlet, generátorfüggvény.

Fibonacci-szám

Lásd Fibonacci-sorozat.

Fields-érem

Kiemelkedő matematikai teljesítményért járó díj, amelyet a matematikusok a Nobel-díjjal tartanak egyenértékűnek. Az érmet a négyévente megrendezett Nemzetközi Matematikai Kongresszuson adják át. Először az 1924-es torontói kongresszuson J. C. Fields tett javaslatot arra, hogy hozzanak létre két aranyérmet a kongresszus költségvetéséből fennmaradő tőke felhasználásával. Az első két érmet az 1936-os oslói kongresszuson adták át; később három, illetve négy érmet is odaítéltek. A kialakult gyakorlat szerint a nyertes legfeljebb negyvenéves lehet. A díjazottak névsorát a 8. Függelék tartalmazza.

figurális szám

A püthagoreusok és más korai matematikusok számos olyan számsorozatot tekintettek különlegesnek, amelyek különböző geometriai alakzatokkal kapcsolatosak, ezeket lehet kissé pongyolán figurális számoknak nevezni. Ezek közé tartoznak a tökéletes négyzetek, a háromszögszámok, és a piramisszámok, és továbbiak, mint amilyenek az ötszögszámok és a hatszögszámok.

figyelmeztetési határok

A kontrollkártyán kijelölt belső határok egy termelési folyamathoz. Ha a megfigyelt érték a figyelmeztetési és a beavatkozási határ közé esik, akkor ezt a tényt annak jeleként kell tekinteni, hogy a folyamat eltér a kitűzött céltól, és azonnal mintát kell venni. Ha ez is a figyelmeztetési határon kívül esik, akkor be kell avatkozni, de ha a második megfigyelés a határokon belülre esik, akkor a folyamt feltehetőleg a cél felé halad. Ha n elemű mintát veszünk olyan folyamatban, ahol a várható érték , a szórás pedig , akkor a figyelmeztetési határt a értékre szokás beállítani.

fiktív erő

Lásd tehetetlenségi erő.

Fisher, Ronald Aylmer

(1890–1962) Brit genetikus és statisztikus, aki kísérletek megtervezésére és az eredmények elemzésére fejlesztett ki különböző eljárásokat, amelyeket azóta is széles körben használnak. Alapvető statisztikai módszereket tartalmazó könyve 1925-ben jelent meg. Az ő nevéhez fűződik a legnagyobb valószínűség elvének kidolgozása, a kismintás módszerek bevezetése, kontingenciatáblázatok használata, továbbá a varianciaanalízis módszere is. Számos statisztika pontos eloszlását határozta meg. Az evolúció matematikai elméletének megalapozója.

Fisher-féle egzakt próba

Olyan statisztikai próba, amelyet -es kontingenciatáblázattal megadott kategorikus valószínűségi változók közötti kapcsolat erősségének mérésére használnak. A próba alkalmazásához az szükséges, hogy a várható érték minden egyes cellában legalább 10 legyen, viszont nem függ a minta jellemzőitől.

fix pont

Lásd síktranszformáció.

fixpontos ábrázolás

Lásd lebegőpontos ábrázolás.

fizikai inga

Olyan inga, mely egy vízszintes tengely körül szabadon forgó merev testből áll. Tegyük fel, hogy a merev test tömegközéppontja d távolságban van a tengelytől, m a test tömege, I pedig a testnek a tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka. Megmutatható, hogy a fizikai inga mozgásegyenlete . A matematikai ingához hasonlóan a fizikai inga is közelítőleg egyszerű harmonikus rezgőmozgást végez, ha abszolút értéke a mozgás folyamán mindig sokkal kisebb radiánnál. Ebben az esetben rezgőmozgás periódusideje .

fluens

Lásd fluxió.

fluxió

Newton az x függvényre mint folyó mennyiségre, fluensre gondolt, változási ütemét fluxiónak nevezte, és a szimbólummal jelölte.

fok

Lásd gráf pontjának fokszáma.

fok

(szög mértéke) A szögek fokban való mérése i. e. 2000 körülre, a babiloni matematikába nyúlik vissza. A teljes szöget 360 fokra ( ) osztjuk, a derékszög . Egy fok 60 szögpercből ( ), egy szögperc 60 szögmásodpercből ( ) áll. A szög radiánban is mérhető.

fokális

Fókusszal kapcsolatos, azon átmenő vagy attól mért.

fokszám

Lásd polinom és gráf pontjának fokszáma.

fokszámok összege

Tetszőleges gráfban a pontok fokszámainak összege páros szám. Ez abból az egyszerű megfigyelésből ered, hogy ha összeadjuk a fokszámokat, akkor éppen az élek számának kétszeresét kapjuk. Ebből az is következik, hogy a páratlan fokszámú élek száma páros.

fókusz

Lásd: kúpszelet, ellipszis, hiperbola, parabola.

folytonos adat

Lásd adat.

folytonosan deriválható

Egy függvény folytonosan deriválható, ha deriválható, és a deriváltfüggvénye folytonos.

folytonos függvény

Az f egyváltozós valós függvény folytonos az pontban, ha (lásd határérték). Ez szemléletesen azt jelenti, hogy az a ponthoz közeli pontok képei az ponthoz közel esnek. Ez azt jelenti, hogy a függvény nem ugrik az a pontban hirtelen, és nem vesz fel nagyon különböző értékeket az a ponthoz közel. Az f függvény folytonos egy nyílt intervallumon, ha folytonos az intervallum minden pontjában; és f folytonos az zárt intervallumon, ahol , ha folytonos az nyílt intervallumon és és . Fennállnak a következő állítások.

  1. Két folytonos függvény összege is folytonos.

  2. Két folytonos függvény szorzata is folytonos.

  3. Két folytonos függvény hányadosa is folytonos bármely olyan pontban, vagy bármely olyan intervallumon, ahol a nevező nem nulla.

  4. Tegyük fel, hogy f folytonos az a pontban és , továbbá, hogy g folytonos a b pontban, és hogy . Ekkor folytonos az a pontban.

  5. Az előbbi tulajdonságok segítségével belátható, hogy a konstans függvény és az identitásfüggvény folytonosak (tetszőleges pontban és intervallumon). Az 1., 2. és 3. pont felhasználásával következik, hogy tetszőleges polinomfüggvény, és tetszőleges racionális függvény folytonos bármely pontban, bármely intervallumon, ahol a nevező nem nulla.

A folytonos függvények alábbi tulajdonságai nyilvánvalóak, ha úgy tekintünk egy folytonos függvényre, mint olyan függvényre, amelynek a gráfja folytonos görbe; a pontos bizonyítások nem elemiek, mivel a valós számok meglehetősen mély tulajdonságain alapulnak:

  1. Bolzano tétele.

  2. Ha f folytonos az zárt intervallumon, akkor f korlátos ugyanitt.

  3. Továbbá ha , és , akkor létezik olyan , hogy (és hasonlóan -re), ezt úgy mondjuk, hogy „zárt intervallumon folytonos függvény felveszi a szuprémumát és infimumát” (ez Weierstrass tétele).

folytonos valószínűségi változó

Lásd valószínűségi változó.

fonálinga

Lásd matematikai inga.

font

Angolszász országokban használatos tömegegység, jele . Egy font egyenlő 0.454 kilogrammal. Egy kilogramm egyenlő 2.2 fonttal.

Fontana, Niccolò

Lásd Tartaglia.

fordítottan arányos

Lásd arányosság.

fordított arányosság

Lásd arányosság.

fordított bejárás

Egy olyan tevékenységi hálózatban, (ahol a tevékenységeknek az élek felelnek meg), a fordított bejárás azonosítja a legkésőbbi időt az egyes pontokhoz. A nyelővel kezdve, és a hálózaton visszafelé haladva az egyes pontokra kiszámoljuk az élek összegét, hozzávéve az ebből a pontból kiinduló utakkal elérhető szomszédos pontokhoz rendelt teljes időt. Ezután ezen idők közül a legnagyobb lesz a pont értéke.

fordulat

Körmozgás esetén egy kör megtételét nevezik egy fordulatnak. A fordulatszám vagy frekvencia a megtett körök számának és a közben eltelt időnek a hányadosa. Tipikus példa valamely gépkocsi esete, amelynek motorja – mondjuk – 3500 fordulat/perc esetén működik optimálisan.

fordulópont

Az a pont, ahol a bevétel kezdi meghaladni a költségeket. Ha rajzolunk egy olyan ábrárt, amelyen a gyártott tételek számának függvényeként ábrázoljuk az összbevételt, meg egy másikat, ahol az összköltséget tüntetjük fel, akkor a két görbe normális esetben a fordulópontnál metszi egymást. A fordulóponttól balra a költség fölülmúlja a bevételt, és a cég vesztséges, attól jobbra a bevétel múlja fölül a költségeket, és a cég ettől kezdve hasznot termel.

forduló pont

Egy differenciálható f függvény esetén az pontban a derivált előjelet vált, ha , és valamely számmal , ha (vagy fordítva, , ha ). (Az ilyen pontot lehet forduló pontnak nevezni.) A derivált előjelváltása elégséges, noha nem szükséges feltétele annak, hogy -ban f -nek lokális szélsőértéke (lokális maximuma vagy lokális minimuma) legyen.

forgásfelület

Forgassuk meg teljes fordulattal egy síkgörbe valamely ívét a sík egy olyan egyenese körül, amely nem metszi az ívet. A kapott háromdimenziós alakzat forgásfelület. Lásd még forgástest felszíne.

forgási energia

Lásd mozgási energia.

forgási szimmetria

Egy síkbeli alakzat forgásszimmetrikus az O pontra nézve, ha az alakzat ugyanúgy néz ki, miután az O körül valamilyen pozitív, egy teljes fordulatnál kisebb szöggel elforgatjuk. Például egy egyenlő oldalú háromszög (és valójában minden szabályos sokszög) forgásszimmetrikus a középpontja körül.

forgástengely

Olyan egyenes, ami körül megforgatunk egy görbét, hogy testet, vagy felületet kapjunk.

forgástest

Forgassunk teljesen körbe egy síkbeli tartományt egy olyan egyenes körül, amely nem metszi. így forgástestet kapunk. Lásd ezt is: forgástest térfogata.

forgástest felszíne

Legyen az f függvény olyan, hogy folytonos függvény az intervallumon, és az intervallum minden pontjában. Forgassuk meg egyszer f gráfját az első (x-)tengely körül, ekkor az a és b közé eső ív megfogatásával kapott forgástest palástjának felszíne

Paraméteres alakban: Az paraméteres alakban adott görbe megforgatásból származó forgástest palástjának felszíne

Polárkoordinátás alakban: A polárkoordinátás alakban adott görbe megforgatásból származó forgástest palástjának felszíne

forgástest térfogata

Az nemnegatív értékű folytonos függvény grafikonjának első (x-)tengely körüli körbeforgatásakor nyert forgástest térfogata a

integrállal számítható ki. Ha a megforgatott görbe deriválható, és az ( ) paraméteres alakban van megadva, akkor a forgástest térfogata

forgatás

(a síké) A sík O origó körüli szöggel való elforgatása a síknak az a transzformációja, amelynél az O pont önmagára képződik le, az polárkoordinátájú P pont pedig arra a -re, amelynek lesznek a koordinátái. Descartes-féle koordinátákkal kifejezve, az koordinátájú P pont az koordinátájú pontra képződik le, ahol

forgatónyomaték

Egy erőnek egy adott A pont körüli forgató hatását jellemző vektor. Tegyük fel, hogy az A pont és valamennyi erő vektora ugyanabban a síkban helyezkedik el! Ebben az esetben bármely erő forgatónyomatéka úgy definiálható, mint az adott erő nagyságának és az A pont és az erő hatásvonala közötti távolságnak a szorzata, és vagy az óramutató járásával egyező irányba, vagy az ellenkező irányba forgat. Tegyük fel, hogy és nagyságú erők hatnak a B és C pontban (lásd az ábrát)! Az első erőnek az A pontra vonatkoztatott forgatónyomatéka , és az óramutató járásával azonos irányba forgat. A második erőnek az A pontra vonatkoztatott forgatónyomatéka , és az óramutató járásával ellentétes irányba forgat. A nyomatéki elv azt az esetet vizsgálja, amikor egy koplanáris erőrendszer egyensúlyi állapotot eredményez.

Érdemes azonban egy erőnek egy adott pontra vonatkoztatott forgatónyomatékát vektorként definiálni a következő módon: a B pontban ható F erőnek az A pontra vonatkoztatott forgatónyomatéka az vektor, ahol és az A, illetve a B pont helyvektora, pedig a vektoriális szorzást jelöli. A vektorok használata nem csak a forgatási irányok jelzését teszi feleslegessé, hanem lehetővé teszi a nem koplanáris erőrendszer forgató hatásának jellemzését is.

Ehhez hasonlóan definiálják egy r helyvektorú, p impulzusú részecskének az helyvektorú A pontra vonatkoztatott J impulzusmomentumát: .

Tegyük fel, hogy egy testre erőpár hat: F erő hat a B pontban, erő hat a C pontban. Jelölje és a B illetve a C pont helyvektorát, pedig egy rögzített A pont helyvektorát! Az erőpárnak az A pontra vonatkoztatott forgatónyomatéka , és ez a vektor független az A pont megválasztásától.

formális tevékenység

Ha egy tevékenységi hálózatban két útnak van egy közös eseménye, de ezek függetlenek, vagy részben függetlenek egymástól, akkor be kell vezetnünk egy formális tevékenységet, ami lényegében egy logikai kényszer, amely összeköti a két utat abban a pontban, egy nulla időtartamig tartó formális tevékenységgel. Általálában pontozott vonallal és címkével jelöljük. Ha R függ P-től és Q-tól, és S függ P-től, akkor a tevékenységi hálózat így néz ki:

A tevékenységi hálózatokban egy él legfeljebb egy tevékenységet fejezhet ki, így tehát ha a Q és R tevékenység a P tevékenység után, és egy másik S tevékenység előtt megy végbe, akkor szükség van egy formális tevékenységre, ahogy az alábbi ábra mutatja:

formális változó

Egy kifejezésben előforduló változó formális változó, ha a használt betű helyett a kifejezés értelmének és értékének megváltozása nélkül ugyanúgy használható egy másik betű. Például

ugyanazt a határozott integrált fezei ki, így az x és t változó formális változók. Hasonlóképpen a

szumma az összeget jelöli, és akkor is ezt tenné, ha az r betűt kicserélnénk s betűre, tehát r is formális változó.

forog

Egy tengely vagy pont körül forog.

forrás

Egy hálózat olyan csomópontja, amelyből csak kifelé halad áram. Lásd még szállítási feladat.

Foucault-inga

Olyan inga, mely egy rögzített ponton felfüggesztett, hosszú, nyújthatatlan huzal végére erősített nehéz súlyt tartalmaz, amely minden irányban szabadon kilenghet. A Föld forgásának kimutatására szolgál. 1851-es eredeti kísérletében Jean-Bernard-Léon Foucault (1819–1868) francia fizikus egy 28 kilogramm tömegű súlyt függesztett fel egy 67 méter hosszú huzalra, mely a párizsi Panthéon kupolájának belsejéhez volt rögzítve. 1995-ben helyreállították az eredeti ingát. Ha a kísérletet az északi vagy a déli sarkon végeznénk, akkor a Földhöz képest nyugalomban lévő megfigyelő számára úgy tűnne, hogy az inga lengési síkja egy fordulatot tesz meg naponta. Az északi félteke szélességi fokán a függőleges lengési sík az óramutató járásával egyező irányban forog szögsebességgel, ahol a Föld forgásának szögsebessége. Budapesten például a lengési sík körülbelül harminckét és fél óra alatt fordul körbe, amit az ELTE Természettudományi Karán elhelyezett ingán akár követni is lehet.

Fourier, Jean Baptiste Joseph

(1768–1830) Francia mérnök és matematikus. Alapvető eredményeket ért el a hővezetés matematikai elméletének kidolgozásában és a trigonometrikus sorok vizsgálatával kapcsolatban. Az úgynevezett Fourier-soroknak jelentős szerepe van a fizikában, a műszaki és egyéb tudományokban is, ezenkívül matematikai szempontból is érdekesek.

Fourier-analízis

A Fourier-sorok és a Fourier-transzformált használata az analízisben.

Fourier-együtthatók

Egy függvény Fourier-sorában szereplő és együtthatók neve, ahol

Fourier-sor

Az végtelen sor, ahol és a Fourier-együtthatók. A Fourier-sor felhasználásával egy periodikus jel különböző frekvenciájú és amplitúdójú hullámokból álló összetevőkre bontható, ahol ezek a hullámok származhatnak különböző forrásokból, lehetővé téve, hogy szétválasszuk a különböző forrásokat a háttértől és a zajtól.

Fourier-transzformált

Az képlettel definiált integráltranszformáció a Fourier-transzformáció; itt F az f függvény Fourier-transzformáltja. Sok függvény esetében a transzformáció invertálható, és ebben az esetben .

főátló

Az -es mátrix főátlóját az elemek alkotják.

főátlón kívüli

Négyzetes mátrix olyan elemei, amelyek nincsenek a főátlón.

főegyüttható

A legmagasabb fokú tag együtthatója egy polinomban. Például főegyütthatója 7.

fő elem

Lásd szimplexmódszer.

fő elem, főelemkiválasztás

A Gauss-féle kiküszöbölési eljárás vagy a Gauss–Jordan-féle kiküszöbölési eljárás minden egyes lépése abból áll, hogy a mátrix valamelyik eleméből 1-est csinálunk, majd ezt használjuk a j-edik oszlop többi elemének kinullázására. Ezt a folyamatot hívjuk főelemkiválasztásnak, az elem a fő elem. A fő elem természetesen nem lehet nulla. Ez megfelel annak, hogy az egyik egyenletet megoldjuk az ismeretlenek közül -re, majd ezt a többi egyenletbe behelyettesítjük.

fő érték

Egy változó által fölvehető értékek halmazának kitüntetett eleme, speciálisan például amikor egy periodikus függvény inverzét számoljuk ki, vagy amikor négyzetgyököt vonunk. A számítógépek általában a fő értéket adják ki, amikor ezeket az inverz függvényeket értékeli ki. Ha , x lehet 3 vagy , de a számológép a eredményt fogja adni. Hasonlóan, bár , a számológép a eredményt fogja adni. Lásd még argumentum.

főkör

Olyan kör a gömb felszínén, melynek középpontja megegyezik a gömb középpontjával. Egy gömbön a két pont közötti legrövidebb utat (a geodetikus vonalat) a pontokra illeszkedő főkör mentén kapjuk. Ez a főkör egyértelmű abban az esetben, ha a két pont nem átellenes.

Föld

A mi bolygónk, mely a Naprendszerhez tartozik. A Földet gyakran tekintik egy körülbelül 6400 kilométer sugarú gömbnek. Az elfogadott érték a pontosabb 6371 kilométer. Jobb közelítés azt mondani, hogy a Föld lapított szferoid alakú, egyenlítői sugara 6378 kilométer, sarki sugara 6357 kilométer. A Föld tömege .

földrajzi hosszúság

A Föld felszínén lévő valamely P pont földrajzi hosszúsága az a fokokban mért szög, melyet a P ponton áthaladó délkör a Greenwichen áthaladó kezdő délkörrel bezár (a délköröket ebben az esetben félköröknek tekintik). Ha a P ponton illetve a Greenwichen áthaladó délkörök az Egyenlítőt a illetve a pontokban metszik át, akkor a P pont földrajzi hosszúsága a szög, ahol O jelöli a Föld középpontját. Megkülönböztetnek keleti illetve nyugati hosszúságot, melyek mindegyike 0 és 180 fok közötti értékeket vehet fel. A földrajzi hosszúság és a földrajzi szélesség együttesen egyértelműen megadja egy pont helyét a Föld felszínén.

földrajzi szélesség

Tegyük fel, hogy a Föld felszínének valamely P pontján áthaladó délkör a pontban metszi az Egyenlítőt! (A délkört itt félkörnek tekintjük.) Jelölje a Föld középpontját O! A P pont földrajzi szélessége a fokokban mért szög. Megkülönböztetnek északi és déli szélességeket, melyek mindegyike 0 és 90 fok közötti értékeket vehet fel. A földrajzi hosszúság és a földrajzi szélesség együttesen egyértelműen megadja egy pont helyét a Föld felszínén.

fölülről és alulról konkáv

Lásd konvexitás.

fő oszlop

Lásd szimplexmódszer.

fő sor

Lásd szimplexmódszer.

fő tábla

Egy elektronikus táblázatkezelő programban olyan interaktív tábla, amely kiszámítja egy adattáblázat összegző statisztikáit. Különösen hasznos ugyanazon statisztikák unalmas ismétlődő számításainak elvégzésére kétutas, vagy egy n-utas táblában.

fő tehetetlenségi nyomatékok

Lásd tehetetlenségi szorzat.

főtengely

Lásd ellipszis.

főtengelyek

(a mechanikában) Lásd tehetetlenségi szorzat.

fő tengelyek (másodrendű felületéi)

A másodrendű felület fő tengelyei egy olyan koordináta-rendszer tengelyei, amelyben a felület egyenlete kanonikus alakú.

F-próba

Olyan statisztikai próba, amelyhez F-eloszlást használunk.

fraktál

Olyan ponthalmaz, amelynek a fraktáldimenziója nem egész szám, vagy (kevésbé szabatosan) bármely hasonló bonyolultságú halmaz. A fraktálok tipikusan végtelenül bonyolult szerkezetű halmazok, és rendszerint bizonyos mértékű önhasonlósággal rendelkeznek, ami azt jelenti, hogy a halmaz bármely részhalmaza tartalmazza az eredeti halmaz kicsinyített mását. Példák fraktálokra a Cantor-halmaz és a Koch-görbe.

fraktáldimenzió

A dimenzió fogalmának egyfajta általánosítása olyan objektumok esetére, amelyekre a hagyományos dimenziófogalom nem alkalmas. A fraktáldimenzió értéke lehet nem egész szám is. Például a Koch-görbe dimenziója . Ez 1 és 2 között van, ami felfogható úgy, hogy a halmaz „túl vastag” ahhoz, görbének tekintsük, és „túl vékony” ahhoz, hogy területet tulajdonítsunk neki. A Cantor-halmaz fraktáldimenziója . A fraktáldimenzió fogalmának fontos szerepe van a kaotikus és a zajos folyamatok elméletében (lásd káosz).

Freedman, Michael Hartley

(1957– ) Amerikai matematikus, aki a Poincaré-sejtés négydimenziós esetének igazolásáért 1986-ban Fields-érmet kapott.

Frege, Friedrich Ludwig Gottlob

(1848–1925) Német matematikus és logista, a matematikai logika egyik megalapítója. 1879-ben és 1884-ben megjelent munkáiban kifejtette alapötleteit, bevezette a kvantorokra és változókra ma is használt jelöléseket, és vizsgálta az aritmetika alapjait. A maga korában kevéssé elismert matematikus, eredményei elsősorban másokon keresztül – mint Peano és Russell – terjedtek el.

frekvencia

(a mechanikában) Ha egy mozgás T periódusidejű rezgésekből vagy más ciklusokból áll, akkor a frekvencia -vel egyenlő. A frekvencia számértéke egyenlő az időegység alatt lezajló rezgések, illetve ciklusok számával.

A frekvencia mértékegysége idő a mínusz elsőn, SI mértékegysége pedig a hertz.

Freudenthal, Hans

(1905–1990) Német matematikus, a XX. század végi matematikaoktatás egyik legfontosabb alakja. 1971-ben Utrechtben megalapította a Matematikaoktatást Fejlesztő Intézetet, amelynek első igazgatója volt. Halála után, 1991-ben az intézmény a Freudenthal Intézet nevet kapta.

funkcionál

Funkcionálnak gyakran olyan függvényt szokás nevezni, amelynél az értelmezési tartomány elemei függvények, az értékkészlet elemei pedig valós vagy komplex számok.

fuzzy halmazok elmélete

A klasszikus halmazelméletben minden elemről egyértelműen eldönthető, hogy benne van-e egy halmazban, vagy nincsen benne. Vannak azonban olyan esetek is, például a mintázatfelismerésben vagy döntéselméletben, amikor nem tudjuk, hogy egy elem hozzátartozik-e egy adott halmazhoz. A fuzzy halmazok elmélete elmossa ezt a különbséget, és kétértékű függvény helyett 0 és 1 közötti értékeket fölvevő tagsági függvénnyel fejezi ki, hogy egy elem milyen mértékben tartozik hozzá egy adott halmazhoz.

független

Logikában vagy matematikában állítások vagy képletek olyan halmaza, ahol egyetlen állítás igazsága, vagy egyetlen képlet értéke sem vezethető le a többiekéből.

független egyenletrendszer

Az egyenletekből álló lineáris egyenletrendszerről akkor mondjuk, hogy független, ha az feltételből következik, hogy . Másképp, azt az egyenletrendszert nevezzük így, amely nem lineárisan összefüggő.

független események

Az A és B események függetlenek, ha egyikük előfordulása sincs hatással a másik bekövetkezésének valószínűségére. Ellenkező esetben az A és B események összefüggők. Független események valószínűségére teljesül, hogy .

Például ha egy szabályos pénzérmét kétszer feldobunk, annak a valószínűsége, hogy első dobásra fejet kapunk, a második dobásra pedig szintén valószínűséggel kapunk fejet. Ez a két esemény független, mert annak valószínűsége, hogy mindkét dobásra fejet kapunk, .

független valószínűségi változók

Az X és az Y valószínűségi változó független egymástól, ha egyik értéke sem befolyásolja a másik értékét. Ha az X és Y diszkrét valószínűségi változók függetlenek, akkor . Ha két folytonos valószínűségi változó független, és együttes sűrűségfüggvényük f , akkor , ahol és a marginális sűrűségfüggvények.

független változó (regressziónál)

Lásd magyarázó változó.

függő változó

Statisztikában azokat nevezzük függő változóknak, amelyekről azt gondoljuk, hogy bizonyos egyéb magyarázó változók befolyásolják őket. Regresszió esetén összefüggést keresünk a magyarázó változók és a függő változó között. Általában az a célunk, hogy képesek legyünk előre jelezni a függő változó értékét a magyarázó változók adott értékeiből.

függvény

Legyen S és T nemüres halmaz. Egy S-ről T-be képező f függvényen olyan hozzárendelést értünk, amely az S halmaz (az értelmezési tartomány) minden egyes eleméhez hozzárendeli a T halmaz (a képhalmaz) egy elemét. Az S-ről T-be képező f függvényre az jelölést használjuk. Ha , akkor jelöli az x elem f függvény szerinti képét. A T-nek azt a részhalmazát, amely az S-beli elemek f szerinti képéből áll, azaz az halmazt az f függvény értékkészletének nevezzük. Az f függvény grafikonját az Descartes-szorzat alakú párjai alkotják. neve: az f függvény x helyen felvett helyettesítési értéke; ezt a tényt az jelöléssel is kifejezésre juttathatjuk. Lásd még valós függvény.

függvény

A pozitív egész számokhoz valódi osztóik összegét rendelő függvény. Tökéletes számra .

-függvény

A dzeta-függvény úgynevezett speciális függvény, jele . Ha valós szám (vagy általánosabban, s olyan komplex szám, melynek valós része határozottan nagyobb 1-nél), akkor legyen

Ezután a komplex függvénytan eszközeivel a -függvényt értelmezni lehet minden szám esetén is. Az -függvény az értelmezési tartományán analitikus függvény, -ben pólusa van. A -függvény értékeit páros pozitív egész helyeken zárt alakban ki lehet fejezni, például .

A -függvény zérushelyeinek elhelyezkedéséről szól a jelenkori matematika talán leghíresebb megoldatlan sejtése, a Riemann-sejtés. A Riemann-sejtés igazságától sok, fontos matematikai állítás függ, többek között a prímszámok eloszlásában a hibatagra lenne bizonyítható egy bizonyos értelemben legjobb becslés.

függvényábrázolás

Amikor felvázoljuk az f függvény grafikonját, akkor általában azt követeljük meg, hogy a vázlat a görbe általános alakját és bizonyos jellegzetes pontjaiban való viselkedését helyesen mutassa. A grafikon különböző részeinek nem kell méretarányosnak lenniük. Legtöbbször a következőket vizsgáljuk: szimmetria, stacionárius pontok, azok az intervallumok, amelyeken a függvény szigorúan monoton, aszimptoták (vízszintes, függőleges, ferde), konvexitás, inflexiós pontok, tengelyekkel vett metszéspontok, és az érintő bizonyos érdekes pontokban.

-függvények

A komplex függvénytanban szereplő speciális függvények egy csoportjának elnevezése. Az egyváltozós polinomegyenletek megoldásai -függvényekkel elvileg mind kifejezhetők (bár ez az előállítás inkább elméleti jelentőségű).

függvények egyenlősége

(függvényeké) Ha az S halmazon értelmezett f és g függvényre , akkor azt mondjuk, hogy a két függvény egyenlő (megegyezik) az S halmazon.

függvény határértéke

Szemléletesen azt mondhatjuk, hogy az f függvény határértéke – ha létezik – az l szám, ha l-nek megvan az a tulajdonsága, hogy ha x „közel van” a-hoz, akkor az függvényérték is közel lesz l-hez. Ezt a következő szimbólummal jelöljük:

Ez az l szám nem szükségképpen egyenlő -val, sőt az függvényérték esetleg nincs is értelmezve.

A pontos definíció a következőképpen szól. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az a pontban l, ha minden pozitív számhoz (bármilyen kicsi is legyen az) létezik olyan pozitív (általában -tól függő) szám, hogy minden olyan x-re, melyre és , teljesül, hogy . Ezt úgy is mondjuk, hogy tart az l-hez, ha x tart az a-hoz, és így is jelöljük: , ha .

Vegyük észre, hogy a nem szükségképpen van benne f értelmezési tartományában, de a-nak kell, hogy legyen olyan környezete, mely (esetleg az a kivételével) része az értelmezési tartománynak. Legyen például f a következő képlettel értelmezett függvény:

Ekkor 0 nincs benne f értelmezési tartományában, de megmutatható, hogy

A fenti definícióban l véges valós szám volt, de megfelelő módon értelmezhető az határérték is. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az a pontban , ha minden pozitív (tetszőlegesen nagy) K számhoz létezik olyan (általában K-tól függő) pozitív szám, hogy minden és esetén . Könnyen belátható például, hogy , ha . Hasonlóképpen értelmezhető az a pontban az határérték is.

Bizonyos esetekben az f függvény viselkedését tetszőlegesen nagy argumentumok esetén vizsgáljuk. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke -ben l, ha bármely (tetszőlegesen kicsi) pozitív számhoz létezik olyan ( -tól függő) X szám, hogy minden esetén . Ez azt is jelenti, hogy az egyenletű egyenes az f függvény grafikonjának vízszintes aszimptotája. Hasonlóan definiálható a -ben az határérték, valamint , illetve esetén az határérték.