Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

EGY IGAZÁN CSUDÁLATOS BIZONYÍTÁS

EGY IGAZÁN CSUDÁLATOS BIZONYÍTÁS[26]

RÓNYAI, LAJOS


1993. június 23-án Cambridge-ben a Sir Isaac Newton Intézetben Andrew Wiles angol matematikus bejelentette, hogy bebizonyította a Fermat-sejtést. A felfedezés híre igazi szenzációvá vált, ami azelőtt még sohasem fordult elő matematikai eseménnyel. A világ vezető napilapjai nagy terjedelemben írtak a dologról. Néhány hónappal később kiderült, hogy a nyári szemináriumon vázolt gondolatmenetben egy jelentős hiányosság van.

Már megint a szokásos történet – mondták sokan a Fermat-sejtésre adott számos korábbi kérészéletű „megoldásra” gondolva. A szakértők másként vélekedtek rámutatva, hogy Wiles munkája óriási előrelépést hozott a terület egyik központi problémájával kapcsolatban. Néhányan közülük úgy látták, hogy a bizonyításban levő lyuk is befoltozható pár hónap, esetleg pár év alatt. Hamarosan kiderült, hogy igazuk volt. Már 1994 nyarán voltak olyan hírek, hogy létezhet egy kerülőút, amely mentén teljessé tehető a bizonyítás. 1994. október 24-én Wiles két kéziratot adott közre, melyek igen alapos és gondos bírálat után megjelentek az Annals of Mathematics című folyóiratban. Az egyik dolgozat annak az elliptikus görbékre vonatkozó eredménynek a bizonyítását tartalmazza, amelyből következik a Fermat-sejtés. A második – a szintén brit Richard Taylorral közös – munka foglalkozik a kerülőutat jelentő algebrai állítással.

A következő néhány oldalon összefoglaljuk a sejtés történetét. Közben érintünk néhány kapcsolódó matematikai fogalmat. Eközben ejtünk szót régi és mai sötétben botorkálásról is.

Mi lehet az a matematikai kérdés, amiről többhasábos cikkek jelennek meg a nagy napilapokban? Nos, a Fermat-sejtés ártatlanul egyszerűen hangzik:

Ha ng2

n g 2 egész szám, akkor nincsenek olyan nullától különböző x,y,z x , y , z egészek, melyekre x^n+y^n=z^n x n + y n = z n teljesül.

Egyszerű állítás, nem kell sok előismeret a megfogalmazásához. Valósággal csábítja az embert, hogy kezdjen el számolgatni, gondolkodni rajta. Hosszú története során sokakat megejtett különös varázsával. Többek számára jelentette azt a meghatározó élményt, ami a matematikusi pálya választásához vezette őket. Személyes ismerőseim között is van ilyen kolléga. Wiles maga is már kisiskolásként találkozott a kérdéssel.

A sejtés eredetét kutatva i.e. 250-ig tekinthetünk vissza. Ezidőtájt született az alexandriai Diofantosz nagyhatású munkája, az Aritmetika, amely – ismereteink szerint – először adott közre valamelyes rendszerbe foglalva számelméleti és algebrai eredményeket. Íme egy jellegzetes feladat a II. Könyvből: osszunk fel egy adott négyzetet két négyzetre! A probléma és a Diofantosz által közölt megoldás a következő pontosabb „modern” megfogalmazást sugallja: keressük az x^2+y^2=z^2

x 2 + y 2 = z 2 egyenlet egész megoldásait, szokásos nevükön a pitagoraszi számhármasokat.

Nem nehéz meghatározni az összes ilyen hármast. Az általánosság különösebb sérelme nélkül szorítkozhatunk arra az esetre, amikor mindhárom szám pozitív, semelyik kettőnek nincs közös prímosztója, és x

x páros (nevezzük ezeket primitív hármasoknak). Ekkor az

(x^2/4)=(1/2)(z+y)⋅(1/2)(z–y)
x 2 4 = 1 2 ( z + y ) 1 2 ( z y )

összefüggést használva kapjuk, hogy (1/2)(z+y)

1 2 ( z + y ) és (1/2)(z–y) 1 2 ( z y ) egészek, sőt négyzetszámok:

(1/2)(z+y)=u^2, (1/2)(z–y)=v^2.
1 2 ( z + y ) = u 2 , 1 2 ( z y ) = v 2 .

A gondolatmenetet folytatva könnyen adódik, hogy a primitív hármasok mind megkaphatók

x=2uv, y=u^2–v^2, z=u^2+v^2
x = 2 u v , y = u 2 v 2 , z = u 2 + v 2

alakban, ahol ugv

u g v pozitív, relatív prím egészek, és az egyikük páros.

Most ugorjunk egyet térben és időben, a hellenisztikus Egyiptom virágkorából XIII. Lajos és Richelieu bíboros Franciaországába! Pierre de Fermat (1601–1665) hivatását tekintve jogász volt. Egyetemi tanulmányainak befejezése után pályájának végéig a közigazgatás és igazságszolgáltatás területén dolgozott Toulouse-ban. Úgy tűnik azonban, hogy igazi szenvedélye a matematika volt, ezen belül is az egész számok tulajdonságainak vizsgálata – a számelmélet, ahogy ma mondanánk. Fermat tehát pusztán kedvtelésből foglalkozott matematikával. Mégis olyan sok és fontos eredmény fűződik a nevéhez, hogy méltán tartják kora egyik legjelentősebb matematikusának. Akkoriban a tudomány korántsem volt olyan jól szervezett gépezet, mint manapság. Nem voltak például szakfolyóiratok. A gondolatok elsősorban levelezés útján terjedtek. Fermat is kedvelte ezt a műfajt. Olyan hírneves levelezőtársai voltak, mint René Descartes, Marin Mersenne, Christian Huygens vagy Blaise Pascal. Leveleiben adta közre seregnyi, nagy horderejű felfedezését többek között a matematikai analízis, a valószínűségszámítás, az optika és a számelmélet problémáiról. Heves indulatokat kavart azzal, hogy feladványok formájában csak a következtetéseinek végeredményét írta meg. Kesztyűt dobott ezzel a tudományos világnak, hogy találják meg mások is a megoldáshoz vezető – sokszor rendkívül nehéz – utat. Fermat emellett csípős hangú kritikusa volt kortársai munkáinak. Meglehetősen fagyos viszonyba keveredett például a nyugati gondolkodás atyjával, Descartes-tal, miután sötétben botorkálásnak minősítette utóbbinak a fénytörés természetével[27] foglalkozó érvelését. (Felettébb fullánkos megjegyzés egy a fény viselkedését megvilágítani szándékozó fejtegetésről.) Ez a kritika vezetett el aztán az optika egyik alaptörvényének, a Fermat-elvnek[28] a felfedezéséhez.

A jelen írás központi témája is egy Fermattól származó tudományos kihívás. Ezt vélhetően 1637 táján jegyezte fel az Aritmetika latin fordításának margójára. A probléma csak sokkal később, 1670-ben került napvilágra, amikor fia, Samuel közzétette apja feljegyzéseinek egy részét.

Fermat nagy figyelemmel olvasta az Aritmetikát, amire számos, a könyvbe írt megjegyzéséből következtethetünk. A négyzet felosztásával kapcsolatban imént idézett részhez az alábbi széljegyzetet fűzte:

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caparet.

Magyarul – Bródy Ferenc fordításában – mindez így hangzik:

Nincsen mód viszont felosztani köböt két köbre, sem négyzetes négyzetet két négyzetes négyzetre, és általában a négyzeten túl a végtelenig semmiféle hatványt két ugyanolyan nevezetűre; mely dolognak igazán csudálatos bizonyítását találtam. Szűkebb a margó, semhogy befogadná.

Ez a Fermat-sejtés eredeti megfogalmazása. Olyan állításként írta le, amelyet bizonyítani tud. Azóta eltelt kb. 350 év, és egészen napjainkig senkinek sem sikerült bizonyítást találnia. Ezért általános a vélemény, hogy Fermat valószínűleg tévedett, elnézett valamit, és nem volt igazán csudálatos bizonyítása. Az 1800-as évek elejére minden más (levelekben és jegyzetekben fennmaradt) állítását sikerült tisztázni, csak ez az egy állt ellen makacsul minden kísérletnek. Innen származik a sejtés másik gyakran használt elnevezése: Fermat Utolsó Tétele.

Pedig erőfeszítésben nem volt hiány. Az n=3

n = 3 és n=4 n = 4 esetekről később Fermat maga is írt. Sokak szemében ez is amellett szól, hogy nem volt minden n n -re érvényes bizonyítása. Az n=4 n = 4 kitevőre adott gondolatmenete fennmaradt – szintén lapszéli jegyzetek formájában. Valamivel általánosabban azt igazolta, hogy az x^4+y^4=z^2 x 4 + y 4 = z 2 egyenletnek nincs csupa nem nulla egészekből álló megoldása.

Röviden bemutatjuk Fermat bizonyítását. Egy tanulságos módszerről van szó, mely több más problémára is alkalmazható, és amelynek a ma használt igen kifinomult változatait Fermat-leszállásnak nevezik.

Ha van az x^4+y^4=z^2

x 4 + y 4 = z 2 egyenletnek csupa pozitív egészekből álló megoldása, akkor van olyan is, amelyben z z a lehető legkisebb. Ekkor (x x és y y esetleges felcserélése után) x^2 x 2 , y^2 y 2 és z z primitív pitagoraszi hármast alkot. Vannak tehát olyan u,v u , v pozitív egészek, melyekre

(◇) ( )

x^2=2uv, y^2=u^2–v^2, z=u^2+v^2.
x 2 = 2 u v , y 2 = u 2 v 2 , z = u 2 + v 2 .

A v^2+y^2=u^2

v 2 + y 2 = u 2 egyenlőség szerint v,y,u v , y , u is pitagoraszi hármas, ami primitív is, mert különben x^2,y^2,z x 2 , y 2 , z sem volna primitív. A v v páros, mert feltevésünk szerint y y páratlan. A (◇ )-beli első egyenlőségből ezután arra következtethetünk, hogy u u négyzetszám (u=c^2 u = c 2 , cg0 c g 0 ), v v pedig egy négyzetszám kétszerese. Alkalmazzuk ismét a primitív pitagoraszi hármasok leírását, mégpedig ezúttal a v,y,u v , y , u hármasra! Alkalmas t t és s s pozitív egészekkel érvényesek a következők:

(†) ( )

v=2ts, y=t^2–s^2, u=t^2+s^2.
v = 2 t s , y = t 2 s 2 , u = t 2 + s 2 .

Az első egyenletből és a v

v -re vonatkozó előbbi megállapításunkból közvetlenül látszik, hogy t t és s s is négyzetszám. Legyen tehát t=a^2 t = a 2 és s=b^2 s = b 2 , ahol a a és b b pozitív egészek. A († ) utolsó egyenlete szerint a^4+b^4=c^2 a 4 + b 4 = c 2 . Másfelől nyilvánvaló, hogy

z=u^2+v^2gu^2=c^4≥c.
z = u 2 + v 2 g u 2 = c 4 c .

Foglaljuk össze, amit eddig kaptunk: feltettük, hogy van az egyenletnek csupa pozitív egészekből (vagy ami ezzel egyenértékű: nem nulla egészekből) álló megoldása. Ezek után az egyenlet egy olyan megoldásából indultunk ki, amelyben a jobb oldali szám a lehető legkisebb. Ez volt az x,y,z

x , y , z hármas. Ebből nyertünk egy olyan megoldást – az a,b,c a , b , c hármast –, amelyben a jobb oldalon álló cg0 c g 0 egész kisebb, mint z z . Ez nyilván képtelenség. Kiinduló feltevésünk ellentmondáshoz vezetett, az egyenletnek tehát nincs pozitív egészekből álló megoldása.

Fermatnak az Utolsó Tétel bizonyításával kapcsolatos tévedéséről több elképzelés is van. Egy népszerű nézet szerint feltehetőleg arra gondolt, hogy a leszállás módszere könnyen átvihető tetszőleges n

n kitevőre. Ilyen általánosítást azonban senki sem tudott kidolgozni.

Az n=4

n = 4 kitevő kizárása után elég a kérdést azokban az esetekben nézni, amikor ng2 n g 2 prímszám. Ez azért igaz, mert a q⋅r q r kitevőhöz tartozó, ellenpéldát adó megoldásból (q,r q , r pozitív egészek) ellenpéldát kaphatunk a q q kitevőhöz is. Az n=3 n = 3 esetet L. Euler oldotta meg 1753-ban. L. Dirichlet és A. M. Legendre találtak bizonyítást n=5 n = 5 -re 1825-ben. Ugyancsak Dirichlet nevéhez fűződik az n=14 n = 14 kitevő (1832), az n=7 n = 7 esetet pedig G. Lamé tudta kezelni 1839-ben.

1847 jeles esztendő a sejtés történetében. Ekkor született az első nevezetes hibás bizonyítás, méghozzá olyan híres matematikusok műveként, mint A. Cauchy és G. Lamé (avagy nem csak az iskolai matekdolgozatokban találhatók gyógyíthatatlan hibák). A másik – sokkal fontosabb – fejleményt E. E. Kummer eredményei jelentették. Kummer egy egészen más jellegű számelméleti probléma vizsgálata során dolgozott ki olyan eszközöket, melyekkel az Utolsó Tétel több kitevő esetére is igazolható. Módszere működik például a 37, 59 és 67 kivételével minden 100-nál kisebb n

n prímre. Kummer munkája tekinthető az algebrai számelmélet hajnalának. Kummer eredményeire építve H. S. Vandiver (1920 körül) igazolta a sejtést nl100 n l 100 -ra. A nevek és az évszámok mutatják, hogy kiváló matematikusok foglalkoztak a problémával, de ennek ellenére a haladás meglehetősen lassú volt. Komoly előrelépést jelentettek az olyan feltételek, amelyek révén számítógépek segítségével lehet vizsgálni a problémát nagyobb kitevőkre. Ezek segítségével 1992-re n≤4 000 000 n 4 000 000 -ig igazolták a sejtést (J. Buhler, R. Crandall, R. Ernvall, T. Metsänkylä).

Fermat problémája az évek során rendkívül népszerűvé vált a matematikával hivatásszerűen foglalkozók és az amatőrök között egyaránt. Több értékes díjat tűztek ki a megoldó jutalmazására; ezek közül a legismertebb az 1908-ban alapított Wolfskehl Díj. Ennek a népszerűségnek az árnyoldala, hogy elképesztő számú hibás bizonyítást tettek közzé. Csak az 1908–1912 időszakban ezer felett volt a hibás kísérletek száma.

Fontos mérföldkő Gerd Faltings (1983) egy általános, sok egyenletre érvényes végességi tétele, melyből következik, hogy egy adott ng2

n g 2 -re az x^n+y^n=z^n x n + y n = z n egyenletnek csak véges sok primitív egész megoldása lehet.

A Fermat-sejtés jelenkori történetében főszerep jutott az elliptikus görbéknek. Mielőtt az eseményekről beszélnénk, vessünk egy pillantást ezekre a rendkívül érdekes, gazdag struktúrájú objektumokra! Elliptikus görbén egy y^2=f(x)

y 2 = f ( x ) alakú egyenlettel definiált síkbeli görbét értünk, ahol f(x) f ( x ) egy ax^3+bx^2+cx+d a x 3 + b x 2 + c x + d alakú polinom, melynek három különböző gyöke van. A görbe diszkriminánsa a Δ=(a_1–a_2)^2(a_1–a_3)^2(a_2–a_3)^2 Δ = ( a 1 a 2 ) 2 ( a 1 a 3 ) 2 ( a 2 a 3 ) 2 mennyiség, ahol a_1,a_2,a_3 a 1 , a 2 , a 3 az f(x) f ( x ) polinom gyökei. A gyökök különbözősége egyenértékű a Δ≠0 Δ 0 feltétellel. A következő ábra két elliptikus görbe grafikonját mutatja.

Az elliptikus görbéknek sok szép geometriai és számelméleti tulajdonsága van. Egy ilyen érdekes tulajdonság, hogy lehet egy az összeadásra emlékeztető műveletet definiálni a görbe pontjain. Ebből a célból még vegyünk a görbéhez egy ∞

-nel jelölt „pontot”! Erről a mágikus pontról feltételezzük, hogy rajta van minden függőleges (az y y -tengellyel párhuzamos) egyenesen, és hogy az x x -tengelyre vonatkozó tükörképe önmaga. Ezután a görbe P P és Q Q pontjainak P⊕Q P Q összegét a következő recepttel határozhatjuk meg: legyen a P P , Q Q pontokon átmenő egyenes és a görbe harmadik metszéspontja R R ; ennek az x x -tengelyre való S S tükörképe (ami szintén pontja a görbének) a P⊕Q P Q összeg. Ha P=Q P = Q , akkor az összekötő egyenesükön a görbe P P -beli érintőjét kell érteni. Előfordulhat az is, hogy R R megegyezik a P P , Q Q pontok valamelyikével; ekkor az egyenes R R -ben érinti a görbét. Végül legyen ∞⊕∞=∞ = .

A ⊕

műveletre teljesülnek az összeadás szokásos azonosságai, és ∞ játssza a 0 szerepét: a görbe tetszőleges P,Q,R P , Q , R pontjaira P⊕Q=Q⊕P P Q = Q P , ∞⊕P=P P = P , (P⊕Q)⊕R=P⊕(Q⊕R) ( P Q ) R = P ( Q R ) . Ezek a tulajdonságok, kivéve az utolsót, az asszociatív szabályt, könnyen igazolhatók. Szintén egyszerű belátni, hogy a görbe tetszőleges P P pontjához a P P -nek az x x -tengelyre való R R tükörképe az egyetlen olyan pont, amelyre P⊕R=∞ P R = teljesül. Az összeadásnál megszokott értelemben használhatjuk tehát az R=⊖P R = P jelölést. Jelöljük E E -vel az y^2=x^3–2x y 2 = x 3 2 x görbét!

Példa.  Tekintsük az E

E görbe P_1=(0,0) P 1 = ( 0 , 0 ) , P_2=(√2,0) P 2 = ( 2 , 0 ) és P_3=(2,2) P 3 = ( 2 , 2 ) pontjait! Az ⊕ művelet definícióját használva könnyen adódik, hogy P_1⊕P_1=∞ P 1 P 1 = , P_1⊕P_2=(–√2,0) P 1 P 2 = ( 2 , 0 ) és P_1⊕P_3=(–1,1) P 1 P 3 = ( 1 , 1 ) . Nézzük meg közelebbről ezek közül az utolsót: a P_1 P 1 és P_3 P 3 pontokon átmenő egyenes egyenlete y=x y = x . Ennek az E E -vel való harmadik metszéspontja (–1,–1) ( 1 , 1 ) . A (–1,–1) ( 1 , 1 ) pontnak az x x -tengelyre vonatkozó tükörképe pedig (–1,1) ( 1 , 1 ) .

Két pont összegének koordinátái kifejezhetők az összeadandók koordinátáival és az elliptikus görbe a,b,c,d

a , b , c , d együtthatóival, mégpedig csak a +,–,⋅,∕ + , , , műveletek segítségével. Ebből két fontos következtetés vonható le. Egyik, hogy a ⊕ művelet definiálható algebrai úton, koordinátákkal. Másfelől, ha az a,b,c,d a , b , c , d együtthatók mind racionális számok, akkor racionális koordinátájú pontok összege is racionális pont lesz (a ∞ -t racionális pontnak tekintjük). Szemléltetésül nézzük, hogyan számíthatók ki az E E görbe egy P=(x,y) P = ( x , y ) pontjára a P⊕P P P pont u u , v v koordinátái:

(∗) ( )

u=–2x+((3x^2–2/2y))^2, v=–y+(3x^2–2/2y)(x–u).
u = 2 x + 3 x 2 2 2 y 2 , v = y + 3 x 2 2 2 y ( x u ) .

A kifejezések nem értelmesek, ha y=0

y = 0 . Ez azt a tényt tükrözi, hogy ekkor P⊕P=∞ P P = ; másképpen fogalmazva a görbe P P -beli érintője függőleges.

Ha a görbe együtthatóit jelentő a,b,c,d

a , b , c , d számok egészek, akkor tetszőleges p p prímszámra tekinthetjük az

y^2≡ax^3+bx^2+cx+d(mod p)
y 2 a x 3 + b x 2 + c x + d ( mod p )

kongruenciát. Ennek egy megoldásán egy egész számokból álló (u,v)

( u , v ) párt értünk, melyre v^2–au^3–bu^2–cu–d v 2 a u 3 b u 2 c u d osztható p p -vel. Vegyük észre, hogy csak az u,v u , v számok p p -vel való osztási maradékán múlik, hogy az (u,v) ( u , v ) pár megoldás-e. Ezért a megoldásokról teljes képünk marad, ha kikötjük még a 0≤u,vlp 0 u , v l p egyenlőtlenségeket. Szokás még ezeket a megoldásokat a görbe modulo p p pontjainak is nevezni. Az E E görbe modulo 5 pontjait rövid számolás után megkaphatjuk, észrevéve, hogy v^2 v 2 maradéka csak 0, 1 vagy 4 lehet: (0,0) ( 0 , 0 ) , (1,2) ( 1 , 2 ) , (1,3) ( 1 , 3 ) , (2,2) ( 2 , 2 ) , (2,3) ( 2 , 3 ) , (3,1) ( 3 , 1 ) , (3,4) ( 3 , 4 ) , (4,1) ( 4 , 1 ) , (4,4) ( 4 , 4 ) .

Egy egészegyütthatós F

F elliptikus görbe és egy p p prímszám esetén jelölje m_p(F) m p ( F ) az F F görbe modulo p p pontjainak számát! Ezzel a jelöléssel az előbbiek alapján m_5(E)=9 m 5 ( E ) = 9 .

Néhány, a görbéhez képest rosszul viselkedő prímszámot kivéve – ezek a prímek mind osztói a Δ

Δ diszkriminánsnak – értelmezhető a ⊕ összeadás az egészegyütthatós görbék modulo p p pontjain is. Itt is szükség van a ∞ pontra, és két pont összegét ugyanazokkal az algebrai kifejezésekkel számíthatjuk ki, amelyek a valós pontokra megadják az összeg koordinátáit. Például az E E görbe modulo 5 pontjaira használhatók a (∗ ) formulák, ha a P⊕P P P összeget akarjuk meghatározni. Megemlítjük még, hogy tetszőleges racionális a,b,c,d a , b , c , d együtthatók esetén is értelmezhetők a modulo p p pontok és az m_p m p mennyiségek mindazokra a p p prímekre, amelyek nem osztói egyik együttható nevezőjének sem.

A racionális együtthatós elliptikus görbék számelméleti tulajdonságainak vizsgálata (egész és racionális koordinátájú pontok, modulo p

p pontok, a ⊕ művelet hatása ezeken) ebben a században vált intenzívvé. Érdekességként azért megemlítjük, hogy az egyik első ilyen jellegű állítást szintén Fermat margószéli feljegyzései között találták. Arról a tényről van szó, hogy az y^2=x^3–2 y 2 = x 3 2 egyenletnek csak két egész megoldása van, nevezetesen (3,±5) ( 3 , ± 5 ) . Igen szép és fontos eredmény L. J. Mordell tétele (1921): egy racionális együtthatós görbének van véges sok racionális koordinátájú pontja, melyekből az összes racionális pont megkapható a ⊕ művelet alkalmazásával.

A modulo p

p pontokkal kapcsolatban Emil Artin a doktori disszertációjában (1924) fogalmazta meg sejtésként a

∣p–m_p(F)∣≤2√p
p m p ( F ) 2 p

egyenlőtlenséget. Itt F

F tetszőleges egész együtthatós elliptikus görbe, p p pedig a görbe diszkriminánsát nem osztó prímszám. Ennek a sejtésnek és általánosításainak vizsgálata egy egészen új tudományterület, az aritmetikai geometria kialakulásához, majd pedig fantasztikus sikereihez vezetett. Ezt mutatja egyebek között, hogy művelői közül már ketten is elnyerték a matematikai Nobel-díjnak számító Fields-érmet: Pierre Deligne és Gerd Faltings. Utóbbi lényegében a már említett végességi tételével érdemelte ki a kitüntetést. Artin sejtését Helmut Hasse igazolta 1934-ben.

1955-ben egy fiatal japán matematikus, Taniyama Yutaka igen merészen hangzó sejtést tett közzé a racionális együtthatós elliptikus görbékről. Később ennek Shimura Goro japán és André Weil francia kutatók finomabb megfogalmazását adták. Ezt a hipotézist Taniyama–Shimura–Weil-sejtésnek (röviden TSW-sejtés) fogjuk nevezni. Az ebben foglalt állítások kimondásához nagyon sok előkészület kellene, amire itt nem vállalkozhatunk. Érzékeltetésül csak annyit, hogy a TSW-sejtés szerint tetszőleges racionális együtthatós y^2=ax^3+bx^2+cx+d

y 2 = a x 3 + b x 2 + c x + d görbéhez vannak olyan nem állandó f(z) f ( z ) és g(z) g ( z ) moduláris függvények, melyekre

f(z)^2=ag(z)^3+bg(z)^2+cg(z)+d
f ( z ) 2 = a g ( z ) 3 + b g ( z ) 2 + c g ( z ) + d

teljesül. A moduláris függvényekről most csak annyit jegyzünk meg, hogy komplex változós komplex értékű függvények, és hogy elképesztően gazdag szimmetriákkal[29] rendelkeznek. Az első moduláris függvényeket Henri Poincaré fedezte fel a múlt század végén. A sok szimmetriát annyira valószerűtlennek tartotta, hogy hetekig méregette bizalmatlanul, hibára vadászva a számításait, míg végre el tudta fogadni, hogy a mesés tulajdonságú függvények tényleg léteznek.

A TSW-sejtésnek van egy (nem kevésbé bonyolult) számelméleti megfogalmazása is. Ennek különlegessége, hogy az állítás csupán a görbe modulo p

p tulajdonságain múlik; valójában pusztán az m_p m p (p=2,3,5,… p = 2 , 3 , 5 , ) számsorozat tulajdonságaként is kifejezhető. Ezen a ponton érdemes rámutatni a sejtés egy sajátos vonására. Nevezetesen arra, hogy három – egymástól látszólag távoleső – terület között létesít kapcsolatot. Ezek: a komplex függvények világa (moduláris függvények), a geometria (elliptikus görbék) és a számelmélet (kongruenciák megoldásai). A TSW-sejtéssel kapcsolatos első – és sokáig utolsó – jelentős eredményt Shimura érte el 1971-ben, megmutatva, hogy teljesül görbék egy (véges) családjára.

A következő fontos esemény már összefűzi a két szálat, az Utolsó Tételt és az elliptikus görbéket. 1985-ben Gerhard Frey német matematikus a Fermat-egyenlet tanulmányozása során meglepő kapcsolatot talált. Tegyük fel, hogy ng3

n g 3 prím, és a páronként relatív prím a,b,c a , b , c egészekre teljesül, hogy a^n+b^n=c^n a n + b n = c n , b b páros és a+1 a + 1 osztható 4-gyel. Könnyű meggondolni, hogy ha az Utolsó Tétel nem igaz, akkor ilyen n,a,b,c n , a , b , c négyes létezik. Egy ilyen „megoldáshoz” Frey a következő egészegyütthatós elliptikus görbét rendelte (ún. Frey-görbe):

y^2=x(x–a^n)(x+b^n).
y 2 = x ( x a n ) ( x + b n ) .

A görbe diszkriminánsa: Δ=a^(2n)b^(2n)c^(2n)

Δ = a 2 n b 2 n c 2 n szép szimmetrikusan függ az a,b,c a , b , c számoktól. A német kutatót vizsgálatai ahhoz a meggyőződéshez vezették, hogy a Frey-görbékre nem teljesülhet a TSW-sejtés. Volt elképzelése a bizonyításról is, de egy jelentős részkérdést nem tudott kezelni. Néhány hónappal később Frey vázlatos gondolatmenetéből a francia Jean-Pierre Serre pontos hipotézist formált. Egy levelében úgy fogalmazott, hogy TSW+ɛ T S W + ɛ -ból következik a Fermat-sejtés. Serre hipotézise innen kapta az ɛ ɛ -sejtés becenevet. Nem kellett sokáig várni a következő áttörésre: Kenneth A. Ribet amerikai matematikus 1986-ban virtuóz érveléssel igazolta az ɛ ɛ -sejtést. Ribet munkája nyomán tehát világossá vált, hogy a TSW-sejtésből következik a Fermat-sejtés. Az eredmény óriási port vert fel – egyelőre még csak a matematikusok körében. Sok helyen taglalták izgalommal és csodálkozva, hogy az n n -edfokú Fermat-egyenlet megoldhatóságának kérdése harmadfokú egyenletekhez köthető.

Alighanem elmondhatjuk, hogy az Utolsó Tétel ettől fogva Andrew Wiles asztalára került. Wiles pályája kezdete óta foglalkozik elliptikus görbék aritmetikájával. Első messzire szóló – tanárával, John Coates-szal közösen elért – eredménye e tárgyban 24 esztendős korában, 1977-ben jelent meg. A princetoni egyetem professzoraként már régóta a témakör egyik vezető tekintélyének számított. Ribet eredménye nyomán úgy vélte, hogy gyermekkori álmát, a Fermat-sejtés megoldását, a hazai pálya előnyével kísérelheti meg.

Hét esztendeig dolgozott a TSW-sejtésen teljesen egyedül és titokban. Még legközelebbi kollégái, ismerősei sem tudtak nagy munkájáról. Nem nehéz elgondolni, miért döntött így. Az első időkben nyilván szerette volna elkerülni, hogy afféle reménytelen vállalkozásba bonyolódott La Mancha lovagjának tartsák. Később meg, amikor már egyre közelebb került a célhoz, nem akarta másnak átengedni a befejezés dicsőségét. Ezért nem hozta nyilvánosságra az időközben elért, önmagukban is nagy jelentőségű részeredményeit.

Szinte a semmiből indulva kellett óriási utat megtennie. Ennek érzékeltetésére talán elég, ha megjegyezzük, hogy Shimura már említett 1971-es munkája óta nem volt érdemi előrelépés a TSW-sejtéssel kapcsolatban. Wiles később úgy beszélt erről az időszakról, mint valami ismeretlen, sötét kastély bejárásáról, felfedezéséről:

„Először belépsz a kastély első termébe, amely teljesen sötét. Botorkálsz körbe, beleütközve a bútorokba, de aztán fokról fokra feltérképezed a tárgyak helyét. Végül, mondjuk hat hónap múlva, megtalálod a villanykapcsolót. Felkapcsolod a villanyt és egyszerre minden világos lesz. Pontosan látod, merre jártál. Ezután a következő terembe lépsz, és további hat hónapot töltesz a sötétben. Szóval ezek az áttörések, amelyek néha egy pillanat, máskor egy-két nap művei, ezek a többhónapos sötétben botorkálásokból öltenek alakot, amelyek megelőzik őket; nélkülük nem lennének.”

Matematikai eredmények és módszerek félelmetes mennyiségű és mélységű arzenálját kellett bevetnie. Bizonyos kérdések kezelésére neki magának kellett teljesen új eszközöket kidolgoznia. Hónapról hónapra épült a nagy bizonyítás. Végül aztán 1993 tavaszán úgy érezte, hogy legyőzte a sárkányt.

Wiles az 1993 júniusában Cambridge-ben rendezett számelméleti konferencián terítette ki kártyáit, mégpedig nem kis dramaturgiai érzékkel. Három egymást követő napon tartott előadást a témáról. A második előadás végére kiderült, hogy végtelen sok elliptikus görbére igazolta a TSW-sejtést. A TSW-sejtés tehát felébredt húszesztendős Csipkerózsika-álmából. A harmadik előadás előtt a hallgatóság izgatottan találgatta, vajon kijön-e a sejtés elég sok görbére ahhoz, hogy abból már következzék az Utolsó Tétel. 1993. június 23-án a harmadik előadáson kiderült, hogy igen: a TSW-sejtést bizonyítani tudja elliptikus görbék egy nagy osztályára, melybe, ha léteznének, beletartoznának a Frey-görbék is. Ez az osztály a félig stabil görbékből áll. A félig stabilitás feltétele a modulo p

p redukált görbékre vonatkozó kikötés, ahol p∣Δ p Δ . A feltételt nem nehéz megérteni y^2=(x–A)(x–B)(x–C) y 2 = ( x A ) ( x B ) ( x C ) alakú görbék esetén, ha A,B,C A , B , C egészek. A modulo p p redukált görbe akkor tesz eleget a kikötésnek, ha az A,B,C A , B , C számok nem mind adják ugyanazt a maradékot p p -vel osztva (p=2,3 p = 2 , 3 -ra valamivel bonyolultabb a helyzet, ezt nem részletezzük). Felhasználva, hogy a,b,c a , b , c páronként relatív prímek, a Frey-görbére pg3 p g 3 esetén egyszerű ellenőrizni a félig stabilitás feltételét (A=0, B=a^n, C=–b^n) ( A = 0 , B = a n , C = b n ) .

Az Utolsó Tétel bizonyítását hallatlan lelkesedéssel fogadta a világ. Napilapok taglalták a sejtés történetét. A szakértők elragadtatott hangnemben méltatták Wiles csodálatos bizonyítását. Ugyanakkor megkezdődött a részletek alapos elemzése, a bizonyítás helyességének gondos ellenőrzése. Pár hónap elteltével Nicholas M. Katz amerikai matematikus komoly hiányosságot talált Wiles érvelésében. A nehéz hét esztendő első felében elsősorban Viktor A. Kolyvagin orosz, Karl Rubin amerikai és Matthias Flach német kutatók munkája nyomán nagyerejű módszer körvonalazódott, amellyel igen szép új összefüggéseket találtak egész együtthatós egyenletek (racionális számok köréből való) megoldhatósága és kongruenciaként való megoldhatósága között. Wiles érvelése használta a Kolyvagin–Rubin–Flach-módszert, és a hiányosság éppen ennek az alkalmazásában volt.

A hiba ellenére a szakértők optimisták maradtak. Egyfelől azt hangsúlyozták, hogy a bizonyítás „ép” részeiből még mindig végtelen sok görbére következik a TSW-sejtés. Másfelől a hiányosságot pontosan kifejező állításról úgy vélték, hogy igaz, és hogy csak idő kérdése a bizonyítás. Így nyilatkozott például Wiles tanára, John Coates is az 1994 tavaszán Budapesten tartott előadásán.

Wiles egy idő után más utat választott. A Kolyvagin–Rubin–Flach-módszer helyett visszatért egy korábbi elgondolásához, amellyel 1991-ben próbálkozott – akkor még eredménytelenül. Ezúttal egykori diákjával, Richard Taylorral együttműködve sikerült életet lehelniük a módszerbe. 1994. október 24-ére elkészült az Utolsó Tétel bizonyítását tartalmazó két kézirat. Az egyik, a hosszabb tartalmazza a hétéves munka eredményeit. A másiknak Taylor a társszerzője. Ebben kapott helyet a korábbi hibás láncszemet pótló algebrai tétel.

A szakértő bírálók ezúttal már nem találtak kivetnivalót a csudálatos bizonyításban. A két dolgozat 1995-ben megjelent az Annals of Mathematics-ban; valójában együtt alkotják a folyóirat 130 oldal terjedelmű májusi számát. Azóta szerte a világban több egyetemi szemináriumon dolgozták fel a bizonyítást. Találtak néhány egyszerűsítést, és a módszerek hatókörét sikerült kiterjeszteni. Többen is úgy vélik, hogy a teljes TSW-sejtés bizonyítása elérhető közelségbe került.

Az Utolsó Tétel 350 év után végre bizonyítást nyert. Ragyogó teljesítményéért Wiles méltán kapta meg 1997-ben a Wolfskehl Díjat. És mi lesz ezután? Maradt-e még a Fermat-sejtéshez fogható nagy kihívás a matematikában? A válasz feltétlenül igen. Ott van például a Laglands-program, hogy csak egyet említsünk. A Robert P. Laglands amerikai matematikus által körvonalazott, grandiózus sejtésekből álló elmélet, aminek csak kicsinyke része a TSW-sejtés és immár a Wiles-tétel. Amire még inkább igaz, hogy káprázatos, mély kapcsolatokat jósol az analízis, a geometria és a számelmélet szemre távoleső vidékei között, és ami komoly rokonságban van a fizikusok álmával, az alapvető kölcsönhatásokat összefogó Nagy Egyesített Elmélettel. Megannyi csudálatos bizonyítás várja felfedezőjét.



[26] Köszönetet mondok Bródy Ferencnek, Ivanyos Gábornak, Krámli Andrásnak és Szabó Rékának értékes észrevételeikért.

[27] Arról az összefüggésről van szó, amelyet ma Snellius–Descartes-törvénynek nevezünk: sík közeghatáron a megtört fénysugár a beesési síkban marad, és a beesési, valamint a törési szög szinuszának hányadosa a két közeg minőségére jellemző állandó.

[28] A Fermat-elv szerint a fénysugár két pont között mindig azon az úton halad, amelyre vonatkozóan az optikai úthossz a legkisebb vagy – ritkábban – legnagyobb. Az elvből könnyen következnek a geometriai optika további nevezetes összefüggései, így a Snellius–Descartes-törvény is.

[29] Szimmetrián – némi egyszerűsítéssel – itt a függvény értelmezési tartományának olyan transzformációját értjük, amely a függvény értékét nem változtatja meg. Például a jól ismert sin(x+2π)=sin(x)

sin ( x + 2 π ) = sin ( x ) azonosságra gondolva elmondhatjuk, hogy az x↦x+2π x x + 2 π eltolás a szinuszfüggvény egy szimmetriája.