Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

EGYOLDALÚ ZÁRT FELÜLETEK

EGYOLDALÚ ZÁRT FELÜLETEK

A kétoldalú felületek között vannak olyanok (q=0

q = 0 típusúak), amelyeknek egyetlen határvonaluk sincs, míg az egyoldalú felületek mindegyikének van legalább egy határvonala. Ha azonban az egy határvonallal bíró (q=0 q = 0 ) egyoldalú felületek határvonalát összeragasztjuk egy L L körlap K K határoló körvonalával, más szóval körlapot ragasztunk a felülethez, akkor már zárt egyoldalú felületet nyerünk. Csakhogy ez a beragasztás sohasem vihető véghez anélkül, hogy ne kapnánk kettős pontokat is.

A Möbius-szalagnak a 17. ábrán megadott átalakításához a határvonala mentén egy gúla palástját ragasztva hozzá, egyoldalú zárt F_1

F 1 felületet nyerünk (lásd a 31. ábrát),

de a CG^¯

C G ¯ szakasz pontjai C C és G G kivételével itt természetesen kettős pontok lesznek.

A 13. ábra Möbius-szalagjából egy kúppalást hozzáragasztásával szintén egyoldalú zárt F_2

F 2 felületet kapunk, csakhogy itt a körgyűrű belső körén az átellenes pontpárok mindegyike egy pontnak számít (lásd a 32. ábrát)!

A Möbius-szalag körlappal történő beragasztását úgy is értelmezhetjük, hogy egy f

f topologikus leképezést létesítünk az L L körlapot határoló K K körvonal és az M M Möbius-szalag J J határvonala között. Egy pontnak tekintjük a [P,f(P)] [ P , f ( P ) ] párokat, ahol P P végigfut a K K körvonalon (lásd a 33. ábrát)!

Ezzel az azonosítással az M

M Möbius-szalag és az L L körlap együtt ismét zárt (nem határolt) egyoldalú F_3 F 3 felületet alkot.

Felvetődik a kérdés: vajon az így meghatározott alakzatok valóban felületek-e, és ha igen, akkor homeomorfak-e vagy sem?

Először meg kell mondanunk, hogy mit értsünk ezeken a furcsa alakzatokon egy elem környezetén.

Tekintsük az F_3

F 3 alakzatot!

A tér pontjainak egy N

N összességét F_3 F 3 -mal összeférő halmaznak hívjuk, ha a K K körvonal minden N N -hez tartozó P P pontjával együtt f(P) f ( P ) is N N -hez tartozik, és ezenkívül f(P) f ( P ) N N -hez tartozása maga után vonja azt, hogy P P is N N -hez tartozzék. Az F_3 F 3 alakzat egy közönséges Q Q pontjának valamely környezetét a Q Q térbeli környezetét alkotó, F_3 F 3 -mal összeférő N N halmazok jelölik ki úgy, hogy a környezet elemei az N N halmaz M M -hez és L L -hez tartozó, de J J -n és K K -n nem fekvő pontjaiból álljanak, valamint azokból a [P,f(P)] [ P , f ( P ) ] pontpárokból, ahol P P az N N -hez és K K -hoz is hozzátartozik. Ha [P,f(P)] [ P , f ( P ) ] az F_3 F 3 valamely pontpárja, akkor környezetének képezésekor olyan N N összeférő halmazból kell kiindulnunk, amely P P -nek is és f(P) f ( P ) -nek is környezete. Az eljárás további menete ugyanaz, mint előbb volt (lásd a 33. ábrát)!

Hasonlóan járhatunk el F_2

F 2 esetében is, csak ott az összeférő halmazok azok az N N halmazok lesznek, amelyek a körgyűrű belső körvonalának minden P P pontjával együtt annak a körvonalon fekvő átellenesét is tartalmazzák.

Az F_1

F 1 alakzatnál más utat kell követnünk. F_1 F 1 elemei az F_1 F 1 -hez tartozó pontok a CG^¯ C G ¯ szakasz belső pontjai nélkül, továbbá a (P,KCM△) ( P , K C M ) és (P,LCN△) ( P , L C N ) párok, ahol P P a CG C G szakasz belső pontja. Ilyen módon a kettős pontokat mintegy felbontottuk két különálló elemre. Egy elem környezetének megállapításakor itt három típusú elemet kell megkülönböztetnünk. Ha P P nem tartozik a CG^¯ C G ¯ szakaszhoz, akkor F_1 F 1 -nek X X részhalmaza környezete P P -nek, ha van olyan P P középpontú golyó, amelynek F_1 F 1 -hez tartozó közönséges pontjai X X -hez is hozzátartoznak. Ha P≡C P C vagy P≡G P G , akkor még azt is meg kell követelnünk, hogy azok a (Q,KCM△) ( Q , K C M ) és (Q,LCN△) ( Q , L C N ) párok, amelyeknél Q Q a golyóhoz tartozik, szintén az X X halmaz elemei legyenek. Ha végül (P,KCM△) ( P , K C M ) típusú elemet veszünk, akkor a P P középpontú golyónak a KCM△ K C M -höz tartozó pontjaitól és azoktól a (Q,KCM△) ( Q , K C M ) pároktól, ahol Q Q a golyóhoz tartozik, kell megkövetelnünk, hogy X X elemei legyenek (lásd a 31. ábrát)! Ha (P,LCN△) ( P , L C N ) típusú elemről van szó, akkor ugyanúgy járunk el, csak KCM△ K C M helyébe mindenütt LCN△ L C N kerül.

Ilyen módon, bár az F_2

F 2 és F_3 F 3 alakzatokban pontokon kívül pontpárok is szerepelnek az elemek között, F_1 F 1 -ben pedig kettős pont is van, mégis értelmezhető volt rajtuk a környezetfogalom, és így beszélhetünk ezeknek az alakzatoknak homeomorf vagy nem homeomorf voltáról is.

Belátható, hogy F_1

F 1 , F_2 F 2 és F_3 F 3 homeomorfak, továbbá az is, hogy F_1 F 1 (és így F_2 F 2 vagy F_3 F 3 ) minden elemének – legyen az akár közönséges pont, akár pontpár, akár egy kettős pont egyik fele – van nyílt körlappal homeomorf környezete. Az is belátható, hogy F_1 F 1 bármely két pontját össze lehet kötni egyszerű ívvel. Gyanítjuk tehát, hogy F_1 F 1 -et, F_2 F 2 -t és F_3 F 3 -at is a zárt felületek közé sorolhatjuk, ha nem is homeomorfak valamely kétoldalú felülettel, sőt egyetlen olyan felülettel sem, amelyről az előző fejezetekben beszéltünk.

A mondottak bizonyítása érdekében még tovább kellene terjesztenünk a felület fogalmát úgy, hogy abba a régi felületek és az F_1

F 1 , F_2 F 2 és F_3 F 3 alakzatok egyaránt beleférjenek. Mi most itt nem térhetünk ki erre, mivel ez túlságosan messzire, az absztrakt topologikus terekhez vezetne. Pusztán annyit jegyzünk meg, hogy az egyoldalú, egyetlen határvonalú felületek mindegyike beragasztható egy körlappal ugyanúgy, ahogyan ezt a Möbius-szalagból képzett F_3 F 3 felületnél láttuk. Ilyen módon nyerjük az egyoldalú zárt felületeket. Ezek a zárt felületek akkor és csak akkor lesznek homeomorfak, ha a beragasztandó egyoldalú határolt felületek homeomorfak voltak.

Befejezésül néhány példát mutatunk egyoldalú zárt felületekre.

  1. A projektív sík.

    Egészítsük ki a sík minden egyenesét a közönséges pontokon kívül egy úgynevezett végtelen távoli ponttal úgy, hogy a párhuzamos egyenesekhez ugyanaz a végtelen távoli pont tartozzék, a nem párhuzamosokhoz pedig különböző végtelen távoli pontok tartozzanak! A végtelen távoli pontokkal ilyen módon kiegészített síkot projektív síknak hívjuk.

    Belátjuk, hogy ez a projektív sík homeomorf a Möbius-szalag körlappal való beragasztása révén nyert egyoldalú zárt F_3

    F 3 felülettel.

    Állítsunk a síkra egy félgömböt úgy, hogy a sík a félgömböt éppen peremétől legtávolabb eső pontjában érintse (lásd a 34. ábrát)!

    A gömb O

    O középpontjából történő vetítés a közönséges sík és a nyílt félgömb között homeomorf leképezést létesít. Végtelen távoli pont megfelelőjét úgy kapjuk meg, hogy O O -ból párhuzamost húzunk a végtelen távoli pontot tartalmazó valamelyik egyenessel. Ez a vetítősugár a félgömb peremén egy átellenes pontpárt fog kimetszeni. A projektív sík tehát homeomorf a félgömbből a határkör átellenes pontpárjainak összeragasztása után nyert felülettel, vagyis F_2 F 2 -vel és így F_3 F 3 -mal is.

  2. A Klein-féle cső.

    Tekintsük a 35. ábra egy határvonalú, egyoldalú felületét! Ragasszuk be a körvonalat egy körlappal! Ekkor egy önmagát metsző, egyoldalú zárt felületet nyerünk (lásd a 36. ábrát)!

    Ez a Klein-féle cső. A Klein-féle cső homeomorf a két (egyszer) csavart szalaggal ellátott körlap (p=2,q=0)

    ( p = 2 , q = 0 ) körlappal való beragasztásával.

    Hogy erről meggyőződhessünk, a 35. ábrán látható felületről azt kell kimutatnunk, hogy homeomorf a két (egyszer) csavart szalaggal ellátott körlappal.

    Vágjuk szét a felületet a J

    J körvonal mentén, és húzzuk ki a cső elvékonyodó részét a lyukból (lásd a 37. ábrát)!

    Jelöljük meg azonos betűkkel a szétvágott pontokat! Kissé átalakítva a 37. ábrát, a 38. ábra alakzatához jutunk.

    Vágjuk szét ezt az ábrát az A^′E

    A E , B^′F B F , GA G A és HB H B szakaszok mentén, és a szétvágott pontokat újra jelöljük azonos betűkkel! Terítsük ki a síkba az így nyert alakzatokat (lásd a 39. ábrát)!

    Toljuk el a 39. ábra alsó kis téglalapját a nagy fölé, a felsőt pedig a nagy téglalap alá (lásd a 40. ábrát)!

    A szétvágott pontok kerültek egymás fölé, és így ezeket összeragaszthatjuk (lásd a 41. ábrát)! A GAE^′

    G A E szakaszt kihúzzuk szalagszerűen és megcsavarjuk. Ugyanezt tesszük a HBF^′ H B F szakasszal is (lásd a 42. ábrát)!

    Ismét egymás mellé kerültek a szétvágott pontok. Az azonos jelzésű pontok összeragasztása és az ábra némi kiigazítása után két (egyszer) csavart szalaggal ellátott körlapot kapunk (lásd a 43. ábrát)!

    A lyukas Klein-féle cső tehát csakugyan homeomorf ezzel az alakzattal, maga a Klein-féle cső pedig a 43. ábra felületének körlappal történő beragasztottjával lesz homeomorf.

⋆ ⋆

⋆

Nincs szándékunkban tovább szaporítani a példákat. Azoknak, akik a témával behatóbban kívánnak foglalkozni, Kőnig Dénes: „Az analysis situs elemei” (Akadémiai Kiadó, 1918) vagy Boltjanszkij–Jefremovics magyar nyelven megjelent „Szemléletes topológia” (Tankönyvkiadó, 1965) című könyveit ajánlhatjuk.