Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

A FELÜLETEK OSZTÁLYOZÁSA

A FELÜLETEK OSZTÁLYOZÁSA

Vizsgáljuk meg most, hogy milyen típusú felületek vannak! Ennek megállapításához először azt a kérdést kell eldöntenünk, hogy mikor tekintünk két felületet azonos, és mikor különböző típusúnak.

Az elemi geometria a kocka és a gömb felületét különböző típusúnak tekinti, hiszen nem hasonlók egymáshoz. Ha azonban akkor sorolunk két felületet egy osztályba, ha azok homeomorfak, abban az esetben a kocka és a gömb felülete már ugyanabba az osztályba kerül. Ezt a topológiai osztályozást vesszük majd alapul.

A geometrián belül a topológiai osztályozás adja a legáttekinthetőbb rendszerezést. Bár ebben az osztályozásban azonos osztályba kerül az egyszerű szalag és a kétszer megcsavart szalag is, vagy a lyukas tórusz és a 26. ábra fogantyúfelülete, de például a gömbfelület és a tóruszfelület, az egyszerű szalag és a Möbius-szalag itt is különböző osztályokhoz tartozik.

A felületek topológiai osztályozását a múlt század második felében Möbius, Dyck és Petersen végezték el.

Az osztályokat úgy tekinthetjük át legcélszerűbben, ha mindegyik osztályból mintát veszünk, más szóval minden egyes osztályt valamely beletartozó felülettel képviseltetünk. Bármely kettőt szemeljük is ki az így nyert minták közül, ezek sohasem lesznek homeomorfak, de bármely térbeli felület homeomorf lesz a minták egyikével.

Lássunk tehát egy ilyen mintakollekciót:

  1. Kétoldalú felületek.

    Akkor kétoldalú a felület, ha egy órát a felületen fekvő bármely zárt görbén végigvezetve az eredeti helyére való visszatérésekor az ugyanúgy jár, mint amikor elindítottuk.

    Vágjunk ki a gömbfelületből p+q

    p + q darab gömbsüveget (ablakot)! Közülük p p darabot ragasszunk be fogantyúval (lásd a 29. ábrát)!

    Ekkor q

    q számú határgörbével rendelkező kétoldalú felületet nyertünk. Ha két ilyen mintán a p p és q q számok nem azonosak, akkor a felületek nem homeomorfak. Másrészt viszont bármely kétoldalú felület valamely p p fogantyús és q q ablakos gömbbel lesz homeomorf.

    Magán a gömbfelületen p=0

    p = 0 , q=0 q = 0 , a tóruszfelületen p=1 p = 1 , q=0 q = 0 , a fogantyún p=1 p = 1 , q=1 q = 1 , az egyszerű szalagon p=0 p = 0 , q=2 q = 2 , a körlapon p=0 p = 0 , q=1 q = 1 stb.

  2. Egyoldalú felületek.

    Akkor egyoldalú a felület, ha van rajta olyan zárt görbe, amelyen végigvezetve az órát, annak járása „megfordul”.

    Ragasszunk hozzá egy körlap határvonalához p

    p darab (egyszer) csavart és q q darab egyszerű szalagot (p≥1 p 1 , q≥0 q 0 )! A 30. ábrán például p=3 p = 3 és q=4 q = 4 .

    Ha két mintán a p

    p és q q számok nem egyeznek meg, akkor nem homeomorfak a felületek, de bármely (térbeli) egyoldalú felülethez tartozik olyan p p és q q , amelynél az homeomorf a p p csavart és q q egyszerű szalaggal ellátott körlappal.

    Így például a Möbius-szalagon p=1

    p = 1 és q=0 q = 0 .