Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

A MÖBIUS-SZALAG

A MÖBIUS-SZALAG

Téglalap alakú szalagot (például ragasztószalagot) hajlítsunk meg és ragasszuk össze két szemközti oldalát (lásd a 2. ábrát)!

Ily módon határolt felületet nyertünk, hiszen a szalag nem más, mint egy henger palástja. Csavarjuk meg most kétszer a szalagot és ezután ragasszuk össze a két szélét (lásd a 3. ábrát)!

Újra határolt felületet kaptunk, hiszen az így nyert, kétszer megcsavart szalag a tóruszfelület határolt részeként fogható fel (lásd a 4. ábrát)!

Csavarjuk meg ezek után egyszer a szalagot és így ragasszuk össze a két szélét (lásd az 5. ábrát)!

Az így nyert alakzatot először Möbius és Listing német matematikusok írták le 1862-ben, illetve 1865-ben. Felfedezőjéről Möbius-szalagnak hívjuk. Ilyen szalagot használnak például időnként cséplőgép meghajtásánál (lásd a 6. ábrát)!

Felvetődik a kérdés, vajon a Möbius-szalag is határolt felület-e? Más szóval van-e olyan zárt felület a térben, amelyből egy vagy több zárt görbe Möbius-szalagot metszhet ki?

Belátjuk, hogy nincs ilyen zárt felület. Ha ugyanis volna, akkor ennek az általa határolt térrész felé eső oldalát pirossal, a külső oldalát pedig zölddel befestve, magán a Möbius-szalagon is két oldalt: egy piros és egy zöld oldalt különböztethetnénk meg. Könnyen meggyőződhetünk azonban arról, hogy ha a Möbius-szalagot egy helyen elkezdjük befesteni pl. piros színnel és a festést tovább folytatjuk; akkor anélkül, hogy a határvonalat átlépnénk; egy idő múlva kiindulási pontunk túlsó oldala is piros lesz; sőt ha tovább megyünk, akkor semmi sem marad befestetlenül (lásd a 7. ábrát)!

Más módszerrel is meggyőződhetünk arról, hogy a Möbius-szalag nem lehet része valamely testet határoló zárt felületnek. Ellenkező esetben ugyanis az átlátszó számlapú és burkolatú órát tetszés szerinti helyzetből elmozgatva, és valamilyen út megtétele után eredeti helyére visszahozva, az óra mutatói az út megtétele után mindig ugyanabban az irányban forognának, mint az út megtétele előtt. Márpedig, ha az órát a Möbius-szalag középvonala mentén toljuk végig, akkor eredeti helyére visszatérve éppen ellenkező irányban forognak az óramutatók, mint eredetileg (lásd a 8. ábrát)!

(Az óra járásának megfordulása természetesen csak látszólagos, hiszen míg előbb az óra számlapja nézett az ábra szemlélője felé, az út megtétele után az óra hátlapja van vele szemben; feltéve, hogy a szemlélő a szokásos módon néz az ábrára, azaz olyan irányból, amelyből annak feliratát egyenes állásúnak látja.)

A Möbius-szalag tehát nem sorolható a bevezetőben leírt felületek közé. Ezért ki kell terjesztenünk a felület fogalmát. Előbb azonban magán a Möbius-szalagon végzünk el bizonyos átalakításokat.

Ha a Möbius-szalagot a ragasztás helyén szétvágjuk, ismét téglalapot nyerünk. Jelöljünk meg ezen a téglalapon néhány olyan pontpárt, amelynek elemei a Möbius-szalagon össze voltak ragadva! Ilyen például a 9. ábrán

A_1

A 1 és A_2 A 2 , B_1 B 1 és B_2 B 2 , C_1 C 1 és C_2 C 2 , D_1 D 1 és D_2 D 2 , E_1 E 1 és E_2 E 2 . Vágjuk el a téglalapot C_1C_2^¯ C 1 C 2 ¯ középvonala mentén és a „kettévágott” pontokat jelöljük ismét azonos betűkkel (lásd a 10. ábrát)!

E két téglalapból az összetartozó pontok összeragasztásával nyerjük a Möbius-szalagot. Ezt az összeragasztást most más sorrendben fogjuk elvégezni, mint előzőleg.

Forgassuk át a 10. ábra alsó téglalapját a rövidebbik középvonala körül (lásd a 11. ábrát)!

Hajlítsuk meg most mindkét téglalapot félkörgyűrű alakra (lásd a 12. ábrát)!

(Persze ehhez a téglalapoknak nemcsak hajlékonynak, hanem nyúlékonynak is kell lenniük. Anyaguk például plasztilin vagy rétestészta lehet.) Ha a két félkörgyűrűt összetoljuk, akkor éppen az összeragasztandó pontok esnek egybe, és így az alakzatot körgyűrűvé ragaszthatjuk össze (lásd a 13. ábrát).

Ezek után már csak a körgyűrű belső körén kell összeragasztani minden pontot az átellenesével, hogy eljussunk a Möbius-szalag egy átalakított formájához.

Ezt az összeragasztást a háromdimenziós térben lehetetlen elvégezni. Ha azonban megengedjük, hogy az összeragasztás után nyert felület metszhesse önmagát, akkor már végrehajtható a ragasztás.

Osszuk fel ugyanis a körgyűrűt a 14. ábrán

látható módon (részben görbe vonalú) háromszögekre és egyenesítsük ki ezeket a háromszögeket (lásd a 15. ábrát)! Emeljük ki a síkból a C_1

C 1 és C_2 C 2 pontokat és közelítsük őket egymáshoz! Közelítsük egymáshoz a G_1 G 1 és G_2 G 2 pontokat is! A C_1G_1C_2G_2 C 1 G 1 C 2 G 2 négyszögből torz négyszög lesz (lásd 16. ábrát)! Ha végül is összeragasztjuk a C_1 C 1 és C_2 C 2 , valamint a G_1 G 1 és G_2 G 2 pontokat, és ezzel együtt az általunk kifeszített szakaszokat is (lásd a 17. ábrát),

akkor a 13. ábra belső körének átellenes pontjai egy helyre kerülnek, de feleslegesen is összeragadnak bizonyos pontok. Így például F

F és H H ugyanaz a pont lesz. Ezen úgy segíthetünk, hogy a 17. ábra CG^¯ C G ¯ szakaszának pontjait kettős pontoknak tekintjük. Így például az F F pontot úgy fogjuk fel, hogy az rajta van az LNC L N C háromszögön, de nincs rajta a KMC K M C háromszögön, a H H pont pedig pontja a KMC K M C háromszögnek, de nem pontja az LNC L N C háromszögnek.