Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

BŰVÖS NÉGYZETEK

BŰVÖS NÉGYZETEK

BAKOS, TIBOR


A bűvös négyzet érdekes, sok szabályszerűséget mutató számelrendezés. Egy négyzetet az oldalaival párhuzamos egyenesekkel bizonyos számú sorra és ugyanannyi oszlopra osztunk fel, majd a következő feladatot tűzzük ki: töltsük meg ezt az ábrát egymás utáni természetes számokkal úgy, hogy minden kis mezőbe egy szám jusson, és a számok összege minden sorban, minden oszlopban és mindkét átló mentén ugyanannyi legyen. Ebben a mai ember számára már csak a magas fokú rend az érdekesség: a különböző vonalakon más-más számok állnak együtt, és az összeg mégis mindig ugyanaz. Tetszik ez, és a siker reménye a megoldásra ösztönöz bennünket. A régiekben azonban más érzelmeket is kiváltott egy-egy bűvös négyzet szemlélete: tiszteletet parancsolt, félelmet keltett, bűvészetnek látszott. Innen ered az elnevezés is. Némelyek például hasznot húztak a bűvös négyzettel díszített, a „bajoktól megvédő” kis amulettek árusításából. Egyeseket boszorkánysággal vádoltak és fogságba is vetettek ilyen számösszeállítások készítéséért.

Pedig nincs a bűvös négyzetekben semmi bűvészet, csak érteni kell a szabályszerűségekhez. És ha ez már bűvészet, akkor bárki megtanulhatja. Valóban, az úgynevezett bűvészek is mindig csupán kevésbé ismert természeti törvények alapján végzett mutatványokkal keltettek csodálatot nézőikben. Ezért nincs szükség a nem egészen szerencsés „bűvös négyzet” elnevezés megváltoztatására.

Az egyre több és több számot felhasználó bűvös négyzetek tanulmányozásához csak ezzel az elhatározással foghatunk hozzá: nem akarunk a terjedelmük miatt már fárasztó összeadásokban gyönyörködni, hanem mindig igyekszünk lehetőleg kevés munkával eredményre jutni, miután a kevesebb számot felhasználó eredményeknek magyarázatát adtuk.

Számos régi, a matematikával szórakoztatni kívánó könyv csak kész bűvös négyzeteket, képzési „recepteket” közölt. Ez is érdekes; de különb szórakozás érteni is, mit, miért csinálunk! Kis részben mi is a közlésre kényszerülünk, de kérjük az olvasót, ne ugorja át a magyarázó, bizonyító részleteket se, vagy kellő pihenő után, napok múltával térjen vissza hozzájuk, amikor már hozzászokott az érdekességekhez. Ugyanis az elmélyülések gyakran újabb sikerek előkészítői. Kívánjuk, hogy az ilyen részletek még több szórakozást nyújtsanak számára, és újabb problémák felvetését jelentsék. A problémakör szinte kifogyhatatlan. Itt a régi eredményekből is csak ízelítőt adhatunk, és már ezekhez is sok további, könnyen felfedezhető érdekesség kapcsolódik. Az sem baj, ha felfedezésünkről kiderül, hogy már mások is rátaláltak. Jó tudni viszont, hogy újabb és újabb efféle problémák mai matematikusokat is foglalkoztatnak, és hogy a legutóbbi időkben is számos érdekes eredmény született.

A sorok és oszlopok egyező számát a bűvös négyzet rendszámának szokás nevezni. Látni fogjuk – vagy legalábbis sejteni –, hogy 3-tól kezdve minden rendszámhoz lehet bűvös négyzetet képezni. (Másodrendű bűvös négyzet nyilvánvalóan lehetetlen.) A képzés lényeges különbségeket mutat aszerint, hogy a rendszám páros vagy páratlan. Elsőnek mindkét fajtából a legkisebb rendszámút vesszük, a harmad- és a negyedrendű bűvös négyzeteket, majd nagyobb rendszámú bűvös négyzet képzésére adunk útmutatást. Az összes megoldást csak a 3-as rendszámra adhatjuk meg, mert már negyedrendű négyzet is 7040 van, az ötödrendűektől kezdve pedig számuk ez ideig még nem is ismeretes.

A legegyszerűbb bűvös négyzet 3 sorral és 3 oszloppal az

1,2,3,4,5,6,7,8,9
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9

számokból épül fel. Összegük 45, így mindegyik soron, oszlopon és átlón – röviden: mindegyik vonalon – 15-öt kell összegként kapnunk, ez lesz négyzetünk ún. bűvös állandója.

Ezt tudva bizonyára többen gondolnak az egyes számoknak egyenletrendszerrel való meghatározására. Azonban az 1. ábra szerint jelölt 9 ismeretlenre csak 8 egyenletet írhatunk fel, a 3 sor, a 3 oszlop és a 2 átló követelményét:

Sőt az oszlopok és sorok összegét előíró (1)–(6) egyenletek közül egyet el is kell vetnünk, mint ami nem mond újat. Ugyanis pl. a (6) egyenlet következik (1)–(5)-ből, hiszen az (1)–(3) egyenleteket összeadva visszakapjuk, hogy a 9 ismeretlen összege 45, és ebből elvéve (4) és (5) összegét, visszamarad a (6) egyenlet. (6)-ot elhagyva a többi 7 egyenlet független rendszert alkot, egyikből sem következik a másik. Csakhogy ennyi kevés 9 ismeretlen meghatározására, amint ezt a 2–6. ábrák példái is mutatják. Ezek minden előírt vonalán 15 az összeg, de több ábrán egyenlő számok lépnek fel; ahol pedig csupa különböző számot látunk, ott nem az előírt számok szerepelnek. A felírt összeg-követelményeket az előírtaktól különböző számok is teljesíthetik. Az előírt számok szerepeltetésének követelményét viszont nem lehet egyenletben felírni. Nem is a beírandó számok az ismeretlenek, hanem a helyzetük.

Valami mégis kihozható egyenletrendszerünkből: az, hogy a középső szám csak v=5

v = 5 lehet. Ugyanis a középső mezőn átmenő 4 vonal összege a (2), (5), (7) és (8) egyenletekből:

(u+w)+(y+s)+(x+t)+(z+r)+4v=60,
( u + w ) + ( y + s ) + ( x + t ) + ( z + r ) + 4 v = 60 ,

másrészt a 3 sor összege az (1), (2) és (3) egyenletekből:

x+y+z+u+v+w+r+s+t=45,
x + y + z + u + v + w + r + s + t = 45 ,

és ezt az előbbi összegből kivonva 3v=15

3 v = 15 , v=5 v = 5 . (Az 5-ös az előírt számok nagyság szerinti sorrendjében is középen áll.)

Célszerű a hátralévő 8 számon egyelőre csak páros vagy páratlan voltukat nézni. Mindegyik fajtából 4 van: 2, 4, 6 és 8, illetőleg 1, 3, 7, 9. Próbálkozzunk a páratlanok elhelyezésével! Az elsőnek elhelyezett páratlan számot az 1. ábrán x

x helyére téve, az innen kiinduló átló – az ún. főátló – másik sarokmezejére ugyancsak páratlan számot kell tennünk, mert x x és 5 összege páros, és ezt 15-re, páratlan összegre csak páratlan szám egészítheti ki. Most azonban a harmadik páratlan számot akármelyik mezőre próbálva hasonlóan adódik, hogy minden mezőre páratlan számot kell írnunk. Pl. s s helyére téve a harmadik páratlant, az alsó sor miatt r r , a középső oszlop miatt y y is páratlan, és máris 5 páratlant helyeztünk volna el.

Eszerint, ha egyáltalán van harmadrendű bűvös négyzet az 1–9 számokból, annak sarkán nem állhat páratlan szám. Más szóval: sarkon csak páros szám állhat. Legyen pl. x=8

x = 8 , így t=2 t = 2 , ekkor a 4 és 6 páros számok elhelyezésére a másik átló – az ún. mellékátló – végein két lehetőség van; legyen pl. r=4 r = 4 , így z=6 z = 6 . Ezzel a szélső vonalak egy-egy mező híján be vannak töltve, üres mezejük száma az összeg-követelményből kiszámítható. Ezekre éppen az előírt négy páratlan szám kerül (7. ábra), és egy csapásra a középső sor és a középső oszlop összege is 15.

Kínában találtak olyan, fémlemezből készült régi amulettet, amelyre ezt a bűvös négyzetet nem számjegyekkel vésték rá, hanem a mezőkbe megfelelő számú lyukat fúrtak (8. ábra).

Így a lemez bármelyik élére állítva olvasható, akár hátulról is, mintha tükörben szemlélnénk. Vagyis egyetlen bűvös négyzetből a négyzetlap szimmetriái révén 8 bűvös négyzetet kapunk.

A sarokmezők más betöltésével próbálkozva már nem kapunk kilencedik bűvös négyzetet. Hiszen pl. megtartva x=8

x = 8 és t=2 t = 2 értékét és r=6 r = 6 -ot, z=4 z = 4 -et véve ugyanazt kapjuk, amit lemezünkről a főátló körüli megfordítással is leolvashatunk. x x megválasztására a 2, 4, 6, 8 számokból 4 lehetőség van, ebből mindig t t is megkapható, r r -re pedig a hátralevő két páros számból 2 lehetőség van, tehát a számítás is 4⋅2=8 4 2 = 8 bűvös négyzetet ad.

(Ha már tudjuk, hogy páratlan számaink csak oldalközépen állhatnak, ügyetlenség lenne ragaszkodni ahhoz, hogy előbb ezeket helyezzük el. Akkor ugyanis minden szélső vonalon csak egy ismert számunk lenne, és a sarkokra kerülő számokat egyenletrendszerrel kellene kiszámítanunk.)

A kész négyzeteket szemlélve az is feltűnik, hogy a szemben fekvő csúcs-párokon, oldalközép-párokon álló két-két szám összege mindig 10, és az ilyen számpárok már az eredeti felsorolásban is az 5-ösre mint középpontra nézve tükrösen helyezkednek el, pl. 2 és 8. Az összeg értéke természetes: 15–v=15–5=10

15 v = 15 5 = 10 ; hozzátehetjük viszont, hogy a számpárok tükrös elhelyezkedése feltűnhet már a 9. ábrán,

számaink ún. alapállásában is. Szokás az eredeti felsorolás elölről és hátulról számított ugyanannyiadik tagját – pl. a 2-t és 8-at – egymás számtanilag, aritmetikailag tükrös párjának nevezni. Így azt mondhatjuk: az előírt számok aritmetikailag tükrös párjai a bűvös négyzetben a középmezőre nézve geometriailag tükrösen helyezkednek el, a pár nélkül álló 5-ös pedig a tükrös pár nélküli mezőn, a középmezőn.

Ezek után már kissé fanyarul fogadjuk az innen adódó felfedezést: harmadrendű bűvös négyzet minden száma helyére aritmetikailag tükrös párját írva ismét bűvös négyzetet kapunk – hiszen már tudjuk, hogy nincs több harmadrendű bűvös négyzet. – Ez igaz, nagyobb rendszám mellett azonban majd ez a fogás is adhat egy bűvös négyzetből újat.

Két más elindulás a harmadrendű bűvös négyzetek felé.  Vegyük figyelembe egyidejűen a szerepeltetési és az összeg-követelményeket! Állítsuk össze előírt számainkból az összes 3 tagú, 15-ös összegű kombinációkat! A bűvös négyzet mindegyik vonalán egy ilyennek kell állnia, maga a bűvös négyzet ezeknek mintegy az összeszövése. Könnyű belátni, hogy csak a következő 8 kombináció megfelelő:

Éppen 8 bűvös vonalat kell kialakítanunk, tehát mindegyik kombináció fellép egy vonalon.

Vizsgáljuk meg, kombinációink mely párjaiban fordul elő közös szám. Nyilvánvaló, hogy egymást csak olyan két kombináció keresztezheti, amelyekben van közös szám; másrészt párhuzamosan csak olyanok állhatnak, amelyekben nincs ilyen. A közös számot – ha van – táblázatunk tünteti fel

(egynél több közös szám persze nem lehet). A IV és VIII kombinációnak minden másikkal van közös száma, ezért csak olyan vonalra tehetők, amellyel párhuzamosan nem fut vonal, vagyis az átlókra. Közös számuk az 5-ös, csak az állhat középen. (A befejezést ebből az állapotból már fentebb láttuk.)

Egy kis statisztikával is megsejthetjük a megoldást. A sarokmezők 3 követelményben szerepelnek: egy sorban, egy oszlopban és egy átlóban; a középmező 4, az oldalközepek 2 követelményben. Fenti kombinációinkban viszont az 5-ös szám négyszer fordul elő, a páros számok háromszor, a többi páratlan kétszer. Ebből adódik, hogy csak úgy érdemes próbálkoznunk, hogy középre az 5-öst állítjuk és a sarkokra a páros számokat.

Negyedrendű bűvös négyzetben az 1-től 16-ig terjedő számokkal minden vonalon 34-et kell kapnunk, ennyi az összegük negyedrésze. Fentebbi eljárásaink átvétele azonban nehézségeket ígér: az első eljárás mintájára 16 ismeretlenünk, 10 bűvös vonalunk, 9 független egyenletünk lenne, és nem lenne az 5-ösre emlékeztető fix szám, hiszen – ha van megoldás – a megfelelő amulettlemez elforgatása minden számot elmozdít. A kombináló eljárások mintájára gondolva számaink 34-es összegű, négytagú kombinációinak száma (az előbbi 8 helyén) 86. Mégse csüggedjünk, itt 880 különböző lemez-amulettet lehetne kifúrni. (Ezek tarthatók 7040 állásban.)

Számaink alapállását szemlélve (10. ábra)

azt mondhatnánk: induljunk ki abból, hogy mindkét átló összege máris 34. – De jók voltak a harmadrendű alapállás átlói is (9. ábra), sőt még középső sora és oszlopa is, mégsem maradt a helyén, csak az 5-ös! Nézzük hát, hol és mennyit kell elvenni, hozzátenni. Az 1. sor összege 10, tehát hiánya 24, a 2. sor hiánya 8, tovább már többletek vannak: ismét 8 és ismét 24. Cseréljük hát a 2-est az alsó sorban alatta álló 14-essel; különbségük 12, ennyivel csökken a cserével a hiány is, a többlet is. A mondott hiányok és többletek egyszerre eltűnnek, ha még az egymás fölött álló 3, 15, az 5, 9 és a 8, 12 számpárokat is megcseréljük. Hasonlóan az egymás utáni oszlopokban 6 és 2 egységnyi hiány van, majd meg 2 és 6 egységnyi töblet, és ez mind eltűnik a következő négy páros cserével: 9, 12; 5, 8; 14, 15; 2, 3; melyeknek tagjai – az előbbi cserék után is – ugyanabban a sorban állnak, tehát cseréik az előbb elért helyes sorösszegeket nem rontják el. Kész!

A kapott 11. ábra a legegyszerűbb szerkezetű negyedrendű bűvös négyzetek egyike. Képzését – mindjárt a végeredményt tekintve – így egyszerűbb megjegyezni: a nyolc átlós szám a helyén marad, a többi nyolc pedig a négyzet középpontjára tükrös helyzetű párokban helyet cserél. Ez az előbbi eljárással szemben csak 4 páros csere, ugyanis mindegyik cserélt szám két cserében vett részt, és a második cserék után mindegyik szám annak a számnak a helyére került,

amely viszont az ő eredeti helyét foglalta el. A most megcserélt számok egyszersmind aritmetikailag is tükrösek, összegük páronként 17.

A 12-13. ábrák még két bűvös négyzetet adnak. Már e három megoldáson is számos további érdekességet mutathatunk be. Képezzük a 12. ábra aritmetikai tükörképét, vagyis írjuk minden száma helyére az 1, 2, …, 15, 16 felsorolás hátulról számított ugyanannyiadik számát, más szóval azt, amely őt 17-re egészíti ki. Így bármely bűvös négyzetből ismét bűvös négyzetet kapunk; ugyanis ha tetszés szerinti számokkal x+y+z+v=34

x + y + z + v = 34 , akkor egyszersmind (17–x)+(17–y)+(17–z)+(17–v)=68–34=34 ( 17 x ) + ( 17 y ) + ( 17 z ) + ( 17 v ) = 68 34 = 34 is teljesül. A kapott 14. ábra

a 12. ábrából képzett amulett-lemezről semmilyen forgatás útján sem olvasható le, új bűvös négyzet. (A szélső oszlopokban megfordult a sorrend, és a belső oszlopokban is van valami hasonló.)

Új megoldást ad így a 13. ábra is; viszont a 11. ábra aritmetikai tükörképét a középpont körüli 180^∘

180 -os elforgatással – geometriai tükrözéssel – is megkapjuk, ez nem új megoldás.

Írjuk fel számainkat egy-egy gyufásdoboz címkéjére, így írás és radírozás helyett rakosgatással kísérletezgethetünk. Cseréljük fel így egymással a 13. ábra két belső oszlopát mint egészet (15. ábra).

Ezzel csak az átlók bűvösségét rontottuk el, a középső négy szám most rosszul áll. Eredeti átlójukba úgy is visszajuttathatjuk őket – és új bűvös négyzetet kapunk –, ha az átmeneti 15. ábra két belső sorát felcseréljük (16. ábra).

A 13. és 16. ábrák abban térnek el, hogy a 17. ábra egy-egy kéttollú nyila végeinél álló számok felcserélődtek. Ezt az eljárást bármely más negyedrendű bűvös négyzetre is alkalmazhatjuk – sőt kis módosítással magasabb rendűekre is –, megérdemli hát, hogy külön elnevezést kapjon: nevezzük első bűvös transzformációnak (átalakításnak). Ezzel az ábrázolásmóddal mutatjuk be a 18. ábrán a második bűvös transzformációt: minden szélső vonal cserél a szomszédjával; így minden szám elmozdul, kétszer is cserél. A végeredmény 8 páros cserével is leírható.

Így készült az imént kapott 16. ábrából a 19. ábra. Ezt „ősével”, a 13. ábrával közvetlenül összehasonlítva azt látjuk, hogy az alábbi számnégyesek tagjai körben egymás helyére léptek (ezért a rajzbeli feltüntetés bonyolultabb):

Próbálja ki az olvasó, új bűvös négyzetet kap-e, ha a 13. ábrára előbb a második transzformációt alkalmazza, majd az eredményre az elsőt.

A 11. ábra aritmetikai tükörképéből akkor is új bűvös négyzetet kapunk, ha csak a középső oszlopokat cseréljük, mert mindkét átló középső két számának összege ugyanannyi, 17. Ez a bűvös négyzet híressé vált, mert A. Dürer festőművész Melancolia című rézmetszetén is szerepel; egymás mellett álló 15-ös és 14-es száma összeolvasva a kép keletkezésének évét adja.

Vizsgálhatnánk ábráinkon az említett 86 bűvös négytagú kombináció elhelyezkedéseit is. Sok érdekesség közt azt is tapasztalhatnók, hogy egy kombináció mindig a négy sarokmezőn „ül”, egy másik a négy középmezőn, azaz minden eddigi negyedrendű bűvös négyzeten mutatkoznak az előírást meghaladó „rejtett” bűvösségek is. Nevezzük a mondott mezőnégyeseket bűvös kereteknek. Pl. a 12. és 13. ábrán:

5+4+13+12=6+3+10+15=1+8+13+12=4+5+16+9=34.
5 + 4 + 13 + 12 = 6 + 3 + 10 + 15 = 1 + 8 + 13 + 12 = 4 + 5 + 16 + 9 = 34 .

Könnyű belátni, hogy ennek minden negyedrendű bűvös négyzeten így kell lennie. Vegyük egy tetszés szerinti négyzet 1. sorának, 4. sorának és a két átlójának számait, összegük 4⋅34

4 34 . A 20. ábrán minden figyelembe vett szám mezejére egy kis álló vonalat írtunk; ebből látjuk, hogy eddigi összegünkben a sarokmezők számai 2-szer szerepelnek, a 2. és 3. oszlop számai pedig 1-szer.

Hagyjuk most el a 2. és 3. oszlopot, írjunk az elhagyott számok helyére vízszintes vonalat (21. ábra)! Ahol kétféle jelünk egymáson keresztben áll, a megfelelő szám további meggondolásunkban már nem szerepel.

Az elhagyott számok összege 2⋅34

2 34 , így a visszamaradottaké is 2⋅34 2 34 , ennyi tehát a sarokszámok összegének 2-szerese, vagyis összegük 34. Most már a két átlóból a sarokszámokat elhagyva a középső keret számai maradnak vissza, ezek összege ismét 2⋅34–34=34 2 34 34 = 34 . – Két további bűvös keret is adódik: a szélső sorok belső (azaz nem sarki) számainak összege is a bűvös állandó, pl. a 13. ábrán 15+10+6+3 15 + 10 + 6 + 3 , és a szélső oszlopok belső számaié is: 14+7+11+2 14 + 7 + 11 + 2 . Az olvasó az előbbi meggondolást folytatva beláthatja, hogy ez is mindig érvényes.

A 13. ábrának van egy további érdekessége, ez a tulajdonság a 11-12. ábrákban nincs meg. Írjuk a 13. ábrát sok példányban négyzet alakú, egybevágó kőlapokra és kövezzük ki velük a sík egy részét a „kockás papír” mintájára; a lapok egyformán álljanak (22. ábra)!

Bármelyik bűvös négyzetünkből képzünk ilyen ún. bűvös kövezetet, abból bárhol kiragadva egy 4 sorból és 4 oszlopból álló, rendes állású négyzetet (vagyis a határvonal lehet nem kőlap határán is), mindig ún. félig bűvös négyzetet kapunk. Ezen azt szokás érteni, hogy a sorok és az oszlopok összege a bűvös állandó – ami a kövek ismétlődése miatt magától értetődik –, az átlós összegek azonban általában különböznek a bűvös állandótól. Nos, a 13. ábrából képzett bűvös kövezetből bárhogyan jelölve ki egy 4×4

4 × 4 -es négyzetet, mindig helyes átlós összegeket, vagyis bűvös négyzetet kapunk. Egy ilyen áll a 22. ábra jobbra lefelé elcsúsztatott keretezésében.

A négyzet bal felső sarokszámának a 16 szám bármelyikét választhatjuk, ezzel az észrevétellel tehát a 13. ábrából 15 új bűvös négyzetet kapunk, nyilvánvalóan csupa olyat, amit a kifúrt lemez szimmetriáival nem kaphatunk meg. Az ilyen kövezetet adó bűvös négyzetet minden átlóján bűvösnek mondjuk, idegen szóval pándiagonálisnak. (Ha meg akarjuk vizsgálni, hogy egy bűvös négyzetünk pándiagonális-e, nem szükséges belőle kövezetet felírnunk, bár ennek vizsgálatához elég egy 7×7

7 × 7 mezős része. Ugyanis a keretezés máshová csúsztatásával előálló négyzetek átlós számnégyeseit a 13. ábrán is összekereshetjük. Pl. bal felső sarokszámnak az 5-öst véve, tőle jobbra lefelé találjuk a 2-t, ez lesz a főátló második száma. Még egy ilyen lépéssel átlépnénk a jobb szomszéd kőre, amelyet most elég, ha odagondolunk, hiszen azon ismét a 13. ábra szerinti az elrendezés. Így a főátló 3. száma a következő sor kezdő száma a 12, 4. száma pedig az alsó szomszéd kőre gondolva a felső sor 2. száma, a 15. A mellékátló számait hasonlóan kereshetjük össze, kiindulva az 5-ös bal szomszédjából, a 4-esből, és balra lefelé lépegetve. Egy találó név segít a megjegyzésben: az ilyen mezőnégyeseket megtört átlóknak szokás nevezni.)

A 13. ábrából fentebb származtatott 16. és 19. ábrák nem örökölték a pándiagonális tulajdonságot. Be lehet bizonyítani, hogy negyedrendű pándiagonális bűvös kövezeten bármelyik számtól bármelyik átlós irányban indulva a második helyen az aritmetikailag tükrös párját találjuk, pl. a 22. ábrán mindegyik 2-től jobbra föl, jobbra le, balra le és balra föl két lépésre a 15-ös számot. (Vegyük pl. a főátlót 2-szer, az 1. és 3. oszlopot, a bal felső sarokból balra lefelé induló megtört átlót, majd vegyük el a 2. és a 4. sort, valamint az 1. sor 3. mezejéből balra lefelé induló megtört átlót; mindennek a 20-21. ábrák módján való egyszerű nyilvántartása mutatja, hogy a főátló 1. és 3. száma összegének 4-szeresét kapjuk, és ez a bűvös állandó 2-szeresével egyenlő, mert az állandót előbb 5-ször vettük, majd 3-szor elhagytuk.)

Apróságok.  A negyedrendű bűvös négyzetekben nem tapasztaltuk a páros és páratlan számok olyan különválását, mint a harmadrendűben. Sőt itt minden aritmetikai tükrös számpár tagjai „ellentétes párosságúak”, pl. 3 és 14. Hogy helyes képet kapjunk, megjegyezzük, hogy a harmadrendű négyzetekben is csak addig áll a „párosakat a sarokra” elv, amíg az elrendezendő számokat 1-nél vagy más páratlan számnál kezdjük. Ha a 0-t vesszük a legkisebb számnak – vagyis a sorozat eleje is, vége is páros –, akkor a 7. ábra minden száma helyére az 1-gyel kisebb szám lép (23. ábra), és minden párosság ellentétesre fordul.

Valóban, nemcsak 1-nél szokás kezdeni az elrendezendő számokat, és nemcsak egymás utáni egész számokból szokás bűvös négyzeteket képezni, lehet haladni nagyobb lépésekkel, néhol kihagyásokkal. Ilyenek az 5–6. ábrák is. (Hogyan készültek a 7. ábrából?) Persze csak akkor tetszetős az eredmény, ha a beírt számok valami jól észrevehető szabályszerűséget mutatnak. Képeztek azonban bűvös négyzeteket pl. egymás utáni törzsszámokból is.

A 23. ábrát kissé agyafúrt módon így is értelmezhetjük: a 7. ábrához hozzáadtuk azt a harmadrendű bűvös négyzetet, amelynek minden száma –1. A hozzáadáson azt értettük, hogy az ugyanazon helyen álló számpárokat adtuk össze, pl. a 2. sor 3. helyén álló 7-hez a másik négyzet 2. sora 3. helyén álló –1-et, így jött létre a 23. ábra 2. sorának 3. mezején a 6-os szám. – Ezt a gondolatot hamarosan hasznosítani fogjuk.

Bűvös négyzetek belső szerkezete.  A 23. ábrán a 0–8 számok éppen a 3-as rendszámhoz hozzáillő 3-as számrendszer öszszes, két jeggyel leírható számai, ugyanis a

0,1,2,3,4,5,6,7,8
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8

szám 3-as számrendszerbeli alakja

00,01,02,10,11,12,20,21,22
00 , 01 , 02 , 10 , 11 , 12 , 20 , 21 , 22

(az első hármat egy elöl álló 0-val írtuk, mert célszerűbb, ha mindegyik számunk kétjegyű). Pl. 7=2⋅3+1

7 = 2 3 + 1 , ebből a 3-as alapszámot és a szorzás, összeadás jelét a szokásos rövidítésben nem írjuk ki, ahogyan a „huszonegy”-ben is 2⋅10+1 2 10 + 1 -et gondolunk. Itt „kettő-egy”-nek olvassuk a 21-et. A 3-as számrendszer csak a 0, 1, 2 számjegyeket használja, a „három” írása már „egy–nulla”, azaz 1 nagyobb egység, „egyes” pedig nincs.

Írjuk új számaink új alakját a 23. ábra helyére, azután mindjárt válasszuk szét az első és második – más szóval hármas és egyes helyiértékű – jegyeket két egyforma négyzet megfelelő mezőire (24-26. ábrák)!

Mindkét rész-négyzet minden bűvös vonalán az összeg ugyanaz: 3. Csakhogy ebben nincs semmi érdekes, minden vonalon egy 0, egy 1-es és egy 2-es áll, csupán az egyik-egyik átlón látunk 1+1+1

1 + 1 + 1 -et. A részábrák azt mutatják, hogy ha volna 3 Ft-os papírpénz, és a 23. ábrát ilyenekből és 1 Ft-osokból raknánk ki úgy, hogy a forintosokat – mihelyt 3 van belőlük – papírpénzre kell váltanunk, akkor az ábra minden vonalán papírpénzben is, 1 Ft-osokban is ugyanannyi pénz állana. – Ez hát a bűvösség „titka”.

Nem is lehet máshogy 3-féle különböző tárgyból 3–3 darabot úgy elrendezni 3 sorban és 3 oszlopban, hogy mindegyik sorban és mindegyik oszlopban csupa különböző tárgy álljon, csak a 25-26. ábrák módján. Ekkor persze nem beszélünk összegről. Ez a két ábra viszont egymásból is előállítható, hiszen ilyen amulett is készíthető.

Többször is találkozunk majd hasonló szabályszerűségekkel, ezért érdemes megállapodni a következő beszédmódban: a 24. ábra a 25-26. ábrákból mint összetevőkből, egyesítéssel adódik.

A két összetevő felcserélésével ismét bűvös négyzetet kapunk, a 24. ábrának a függőleges tengelyre való tükörképét. Ha viszont a 25. ábrát önmagával egyesítenénk, nem kapnánk igazi bűvös négyzetet, mert nem minden szám lenne különböző; ugyanígy egyedül a 26. ábrából sem. A helyes egyesítésekben azért áll elő csupa különböző szám, mert a 25. ábra bármelyik 3 egyező számjegye helyén a 26. ábrában csupa különböző számjegy áll, és persze megfordítva is.

Hasonló szabályszerűségeket látunk, ha a 11-13. ábrák 4-ed-rendű bűvös négyzeteiben is a rendre 1-gyel kisebb számokat vesszük, éspedig most a 4-es számrendszerbeli alakjukban, pl. 11 helyére 11=2⋅4+3

11 = 2 4 + 3 -at, rövidítve 23-at (olvasd kettő –három), majd ezeket is felbontjuk 4-es (4 Ft-os) és 1-es (1 Ft-os) helyiértékű számjegyeik külön négyzeteire (27-29. ábrák).

A 27. ábra két rész-négyzete is átvihető egymásba 90^∘

90 -os forgatással; ugyanez áll a 29. ábrából képezhető bűvös kövezet összetevőire, de magukra a négyzet összetevőire nem. A 28. ábra összetevőinek átlóiban 7 és 5, illetőleg 2 és 10 az összeg, ezeket „fordított helyiértékkel” egyesítve csak félig bűvös négyzeteket kapnánk. Ezek kevésbé szabályos alakzatok, de szintén érdekesek. Ha viszont a 27. és 29. ábra összetevőit egyesítenők a helyiértékek felcserélésével, bűvös négyzeteket kapnánk, helyes átlókkal. (Kérdés, újak-e ezek számunkra?)

Könnyű képezni az összes olyan négy-négy 0, 1, 2, 3 számjeggyel kitöltött 4×4

4 × 4 mezős négyzetet, amelyben mindegyik sor, oszlop és átló csupa különböző jegyet tartalmaz, és ezért az összegek is mindig egyenlők. Ezeket előállítva az eddigi elemzésből áttérhetünk új négyzetek képzésére. Jegyek helyett az első sorba az A A , B B , C C , D D betűket írva B B alá vagy C C -t, vagy D D -t kell írnunk, mert az átló miatt A A -t már nem írhatunk (30-31. ábra). Mindegyik változatból egy-egy befejezést kapunk, mert ennyiből mindegyikben egymás után adódik a főátló kitöltése, a 2. oszlopé, majd a mellékátlóé, a 4. soré, a 3. oszlopé, végül a még hátralevő mezőké. E két négyzet egyesíthető csupa különböző betűpárt tartalmazó négyzetté (a 32. ábrán a 31. ábra betűit minden mezőn másodiknak írtuk, és megkülönböztetésül A A , B B , C C , D D helyett X X , Y Y , Z Z , V V -t használtunk).

Azért használtunk betűket, mert így a 32. ábra 1152 bűvös négyzet közös „képlete”. Ugyanis az A

A , B B , C C , D D betűk helyére a 0, 1, 2, 3 számjegyeket 4⋅3⋅2=24 4 3 2 = 24 -féleképpen írhatjuk vissza, ugyanígy X X , Y Y , Z Z , V V helyére is, végül 2-féleképpen választhatjuk meg, hogy melyik betűnégyes adja meg a négyes helyi értékű számjegyeket, és ez a 24⋅24⋅2=1152 24 24 2 = 1152 behelyettesítés csupa különböző bűvös négyzet. Tessék megpróbálni! 8-asával 1-1 amulett-lemezzel volnának megadhatók.

Az önmagukban is érdekes 30-31. ábrák (és magasabb rendű megfelelőik) más problémákban is fellépnek, pl. bástya-probléma a sakktáblán. L. Euler híres matematikus (1707–1783) is foglalkozott velük, latin négyzeteknek nevezte őket. Néha az átlók követelményét nem teljesítő efféle elrendezéseket is így nevezik (25-26. ábra). A 32. ábrát (és magasabb rendű megfelelőit) pedig Euler-négyzeteknek nevezik. (Euler sokat kutatott ilyen 6-odrendű négyzetek után; csak 1900-ban bizonyították be, hogy 6-odrendű Euler-négyzet nem létezik, de tizedrendűt találtak már (E. T. Parker 1957; L. Weisner 1959).)

Át lehetne írni betűkre a 27. és 29. ábrák összetevőit is, ezekben a számjegy-visszahelyettesítési lehetőségek száma kisebb. A 4-edrendű bűvös négyzetek kérdését jelentősen megkönnyítette Fitting német matematikusnak az az észrevétele (1931), hogy mivel a 4 maga is négyzetszám: 2^2

2 2 , ezért a négyes és egyes helyiértékű összetevő-négyzetek tovább felbonthatók a kettes számrendszerben. Pl. a 27. ábrán már felbontott 11. ábra további bontása a 33. ábra négy összetevője, helyiértékük sorra 2^3=8 2 3 = 8 , 4, 2, 1. Bizonyára máris látja az olvasó, hogy ezek más sorrendben is bűvös négyzetet adnak, továbbá hogy bármelyik összetevőben minden 0 helyett 1-et írva és minden 1-es helyett 0-t: újabb és újabb 4-edrendű négyzeteket írhatunk fel. Vannak köztük számunkra újak is. Ilyen átalakításban az egyesíthetőség feltételei bonyolultabbak, mégis sokkal szebb az összes bűvös négyzet számának, szerkezetének megállapítása, és főleg sokkal kevesebb munkával jár, mint ahogyan ezt régen sok lélekölő próbálgatással – és mégsem megnyugtató módon – végezték.

Eljárások bűvös négyzet képzésére, bármely páratlan rendszámhoz.  Készítsünk bűvös kövezetet a 7. ábrából (34. ábra)!

Erről leolvashatunk néhány olyan szabályszerűséget, amelynek általánosításaképpen már régen kimondtak néhány „szabályt” bármely páratlan rendszámhoz bűvös négyzet képzésére.

Megjelöltük a kövezet egyik 1-esét, majd a hozzá legközelebbi 2-est, az ehhez legközelebbi 3-ast, az ehhez legközelebbi 4-est és így tovább 9-ig. Majdnem mindig 1-et jobbra és 1-et fölfelé lépve találjuk meg az 1-gyel nagyobb szám legközelebbi előfordulását, kivétel csak a 4-es és a 7-es, ezeket a 3-asból, illetőleg a 6-osból 1-et lefelé lépve találjuk, vagyis egymással ismét megegyező elv szerint. Nem is lehet a 3-asból és a 6-osból jobbra fölfelé lépni, mert ott már a kisebb 1-es, illetőleg 4-es szám egy másik előfordulása áll.

Kipróbálhatjuk, hogy bármely páratlan rendszámhoz bűvös kövezetet kapunk a következő előírások alapján:

  1. Számainkat növekvő sorrendben, egymás után írjuk be a kövezetbe; ezt úgy értjük, hogy egyidejűen a kövezet minden kőlapjára beírni gondoljuk a soron következő számot, vagyis pl. az első beírt 1-est még a 2-esek beírása előtt megismételjük jobbra és balra haladva annyi mezőnként, ahányad rendű kövezetet képezünk, majd minden bejegyzésünkből kiindulva fölfelé és lefelé is.

  2. Az egymás után következő számok első példányát a közvetlen előző szám első példányához képest mindig ugyanolyan elmozdulás – az ún. lépés – után írjuk be, ha ott még üres mezőt találunk. A lépés: 1 mezővel jobbra és egyidejűen 1 mezővel fölfelé.

  3. Ha a lépés már foglalt mezőre vinne, akkor a soron következő számot egy másfajta elmozdulás – az ún. ugrás – után helyezzük el; majd ismét lépésekkel haladunk tovább mindaddig, míg ismét ugrásra nem kényszerülünk. Az ugrás: 1 mezővel lefelé.

A 35. ábrán az így képezett 5-ödrendű bűvös kövezetből csak a számok első bejegyzéseinek helyeit látjuk kis pontokkal és a menetvonallal.

Ha úgy választjuk meg a kövezeten a négyzet határát, hogy a beírandó számok felsorolásának középső tagja – pl. 5-ödrendű négyzetben az 1+5^2

1 + 5 2 összeg fele, a 13-as szám – a négyzet középső mezején álljon, akkor az átlókon is a bűvös állandót kapjuk összegként, tehát bűvös négyzetet vágtunk ki a kövezetből.

Régebben ezt az eljárást (és a továbbiakat is) csak egyetlen négyzet kitöltésére szorítkozva mondták ki, ezért elsőnek az 1-es szám helyzetét adták meg, így: az 1-est a felső sor középső mezejére írjuk. A fenti II. és III. előíráshoz kapcsolódó „takarékossági” utasítás így szólt (lásd 5-ös rendszám esetére a 35. ábrát!): ha a lépés átvitt a négyzet jobb oldali határvonalán, akkor az így elért külső mezőről úgy térünk vissza a négyzetbe, hogy a rendszámmal egyenlő számú mezővel balra lépünk (pl. a 4-es esetében); hasonlóan ha fönt futottunk ki (pl. a 2-essel), akkor az illető oszlopban lent juthatunk vissza a keretbe. Látjuk, hogy ezek éppen a kövezetképzés elveinek a visszafordításai. A régiek így papírt takarítottak meg, nekünk viszont szabadabban mozog a kövezeten a szemünk és a képzeletünk, és több szabályszerűséget vehetünk észre.

A fenti, talán 1000 évesnél is régebbi eljárást sziámi vagy indus, vagy kínai szabálynak nevezik.

A 34. ábra kövezetét persze más lépéssel, más ugrással is képezhettük volna. Bemutatunk két, ugyancsak régen felismert hasonló eljárást, amelyek kissé merészebb lépést vagy ugrást használnak; mindkettő leolvasható a 34. ábráról, 5 és magasabb rendszám esetén viszont már a 36. ábrától, illetőleg a megfelelő indus négyzettől különböző bűvös négyzetet állítanak elő.

Az ún. „sakktábla-szabály” szintén az indus lépést használja, ugrása: 2-t fölfelé, az 1-es helye pedig a négyzet középső mezeje fölötti mező (ez 3-adrendű négyzetben egyszersmind a felső sor középső mezeje is). Bachet francia matematikus írta le az eljárást kissé más módon 1600 körül.

A XIV. század közepe óta ismert „lóugrás-szabály” lépése: 1-et jobbra, 2-t lefelé, ugrása: 4-et lefelé, kiindulás itt is a felső sor középső mezejéről (Moszkhopulósz görög kutatótól). Ez 5-öd- és 7-edrendben pándiagonális bűvös kövezetet állít elő, 9-edrendben viszont nem.

Végtelen sok ilyen lépés–ugráspárt lehet megadni, de ezek csak akkor adnak bármely páratlan rendszámhoz bűvös négyzetet, ha a lépés vízszintes és függőleges része, valamint az ugrás is 2^n

2 n mezőnyi, ahol n n pozitív egész szám vagy 0. Messze vezetne ennek bizonyítása, ezért csupán megemlítjük, hogy mindig két latin négyzetet kapunk, ha az elrendezés összes számát 1-gyel csökkentjük, majd átírjuk a rendszámmal egyenlő alapú számrendszerbe – amivel mindig éppen az illető számrendszer összes, két jeggyel írható számát kapjuk –, végül a számjegyeket helyi értékenként két négyzetbe különválasztjuk. Az egyik átlón azonban rendszerint csupa egyenlő számjegy áll, a nagyságra nézve középső számjegy. Egy másik könnyen kimondható eleme a bizonyításnak, hogy a képzésben ugrás mindig a rendszám többszörösei után válik szükségessé (a 36. ábrán 5, 10 stb. után), és hogy az utolsó bejegyzés utáni ugrás – amire persze már nincs szükség – mindig 1-essel elfoglalt mezőbe vinne.

Páros rendszámú bűvös négyzetek képzése.  Minden 4-nél nagyobb, páros rendszámhoz képezhetünk egy bűvös négyzetet a 37–39. ábrákon bemutatott felcserélési táblázatok alapján. (Devedec-eljárás). A 37. ábrán a 2-esével növekvő rendszámokhoz (6-tól kezdve) egy-egy keretet látunk, ez lesz a megfelelő bűvös négyzet határa, a 38–39. ábrákon pedig egy-egy 4×4

4 × 4 mezős négyzetet. Ha a rendszám osztható 4-gyel, akkor a 37. ábra közepébe, magjába a 38. ábrát gondoljuk bemásolva, ha pedig a rendszám 4-gyel osztva maradékul 2-t ad, akkor a 39. ábrát. Az ábrákon levő jelek bizonyos számhelyettesítéseket jelölnek.

A kitöltendő négyzet mezőibe először a 9-10. ábrák mintájára beírjuk az elrendezendő számok alapállását. Ezután minden egyes szám mellé átmásoljuk a 37. ábra megfelelő keretén belül a megfelelő helyen található jelet, a 38., illetőleg a 39. ábra jeleit is. A jelek arra adnak utasítást, hogy a mellettük álló szám helyére mely más mezőről hozzuk át az ott található számot. Az összes ilyen mozgatást elvégezve bűvös négyzetet kapunk. Az eljárást 6-odrendű négyzetre előkészítve a 40. ábrán mutatjuk be, az eredményt pedig a 41. ábrán.

A jelek jelentése: a kis kört tartalmazó mezők számai a helyükön maradnak. Az „–” jelű mezőkre arról a mezőről hozzuk át az ott talált számot, amely mezőnknek tükrös párja a négyzet függőleges t_1

t 1 tengelyére, pl. 7 helyére a 12-t. A „∣ ” jelű mezőket hasonlóan a vízszintes t_2 t 2 tengelyre tükrös párjukról töltjük be, pl. 2 helyére a 32-t írjuk. Végül a „+ + ” jelű mezőkre a négyzet középpontjára nézve tükrös száma lép, pl. 12 helyére 25, ami egyébként mindig egyszersmind az aritmetikai tükörképe is. A példában minden szám vagy a helyén maradt, vagy páros cserében vett részt, pl. 13 és 18, vagy pedig beletartozik egy négytagú csoportba, amelynek tagjai körben egymás helyére lépnek, pl. 2 a 35 helyére, 35 az 5 helyére, 5 a 32-ére, ez pedig a 2 helyére.

12-nél nagyobb rendszámhoz a 37. ábrát ki kell terjesztenünk a könnyen felismerhető szabályszerűségek alapján: az átlók mentén csupa kör áll, a t_1

t 1 , t_2 t 2 tengelyeket közrefogó sorok, oszlopok jelei minden második keretben ismétlődnek, a mellékátlótól balra fölfelé levő többi mezőn a „–” és „∣ ” jelek váltakoznak sakktáblaszerűen, a jobbra lefelé levő mezőkön pedig körök és + + jelek.

Bűvös transzformációk 4-nél magasabb rendszámú bűvös négyzetekre.  A 4-edrendű négyzeteknél megismert bűvös transzformációkhoz hasonlóan minden nagyobb rendszámú bűvös négyzetből újabbakat képezhetünk a következők szerint:

  1. Az első bűvös transzformáció mintájára felcserélünk olyan két sort, amelyek egymás tükrös párjai a négyzet vízszintes tengelyére, majd felcseréljük az ugyanilyen sorszámú oszlopokat is.

  2. A második bűvös transzformáció mintájára felcserélünk egymással két nem tükrös helyzetű sort és egyidejűleg a tükörképeiket is egymással, és ugyanezt végezzük az ugyanolyan sorszámú oszlopokkal is. Páratlan rendszám esetén a négyzetnek van középső sora és középső oszlopa, ez a mondott cserékben nem vehet részt, mert a tükörképe önmaga.

Kitekintés további problémákra.  Korántse higgyük, hogy mindent láttunk a bűvös négyzetekről. Megemlítünk két olyan eljárást, amely kész bűvös négyzetek felhasználásával képez magasabb rendűeket. Az egyik, az ún. szorzási eljárás, két tetszés szerinti rendszámú bűvös négyzet felhasználásával olyat állít elő, amelynek rendszáma amazok rendszámainak szorzata, pl. egy 3-ad- és egy 4-edrendű négyzet felhasználásával egy 3⋅4=12

3 4 = 12 -edrendű bűvös négyzetet. Ennek az elvnek a további elemzésével rájöttek, hogy lehet a rendszámot 2-vel is megszorozni, bár 2-odrendű bűvös négyzet nem létezik (Aubry, francia, 1930 körül).

A másik eljárás egy bűvös négyzetből „csak” 2-vel magasabb rendszámút képez úgy, hogy minden oldalán 1 mezőnyi széles szegélyt készít köréje részben az újonnan belépő számokból, részben az elhelyezendő sorozat legkisebb számaiból, a magban levő eredeti bűvös négyzet számait pedig megfelelően ugyanannyival emeli (M. Stifel, német, 1550 körül).

L. Bieberbach német matematikus 1954-ben általános eljárást adott a magasabb rendszámú szegélyek egyszerű kitöltésére, de már azóta is adódtak ezen a téren egyszerűsítések.

Képeztek olyan bűvös négyzeteket, amelyekben a számok helyére a négyzetüket vagy a köbüket írva ismét bűvös négyzet adódik. (Egész számokat és négyzeteiket használva az eddig ismert ilyen négyzetek legkisebbike 8-adrendű.)

A bűvös négyzetek térbeli megfelelőiként bűvös kockák is képezhetők. Ezek a hasonló problémák újabb légióit vetik fel.

Az első kiadás óta eltelt 30 év szinte kötelezi a még élő szerzőket, hogy tegyenek hozzá valamit korábbi cikkükhöz, figyelembe véve annak témakörében az időközben elért újabb eredményeket.

Ilyenek pl. a „nagy szabályok” nyomán készült, vagy véletlenül észrevett mikrováltozásai (vadhajtásai? nemesítései?) a bűvös négyzeteknek, ahogyan a 42. ábra bűvös négyzete többféleképpen is átmehet egy-egy másikba négy-négy szám páronkénti helycseréjével.

A 8 és 2 helycseréje „eltorzít” két sorösszeget, de a 19-25 csere korrigálja. Tetszetősebben: a 8+19

8 + 19 „dominó” cserél a (2+25) ( 2 + 25 ) -tel. Vagy a 20+6 20 + 6 a (24+2) ( 24 + 2 ) -vel. A sort lehetne még folytatni. Ez a „nyitás” az 5×5 5 × 5 -ös méretben „indul” igazán; kilátásai áttekinthetetlenek (talán 800 ezer példány), a 6×6 6 × 6 -osban pedig kb. félmilliárd! a (lényegesen) különböző bűvös négyzetek száma.

Befejezésül még egy különlegességét említjük meg az olyan 4×4

4 × 4 -es bűvös négyzeteknek, amelyeknek „sarkaiban” is 34 az ott levő négy szám összege. Ilyen négyzet látható a 43. ábrán: 7+10+16+1=4+13+11+6=9+8+2+15=14+3+5+12 7 + 10 + 16 + 1 = 4 + 13 + 11 + 6 = 9 + 8 + 2 + 15 = 14 + 3 + 5 + 12 .

Jelölje a

a a táblázatban szereplő valamelyik számot (a=1,2,…,16) ( a = 1 , 2 , , 16 ) ! Hajtsuk végre a következő transzformációt:

(⋆) ( )

a→2a, ha a≤8,
a 2 a ,  ha  a 8 ,

 

a→2a–17, ha ag8.
a 2 a 17 ,  ha  a g 8 .

Így a következő négyzethez jutunk (44. ábra):

Könnyű ellenőrizni, hogy ez is olyan bűvös négyzet, amelynek „sarkaiban” is 34 az ott levő négy szám összege. Ha ez utóbbi bűvös négyzet számaira alkalmazzuk a (⋆

) transzformációt, szintén hasonló tulajdonságú bűvös négyzetet kapunk. Végül: a (⋆ ) transzformáció nyolcadik végrehajtása után visszakapjuk az eredeti, a 43. ábrán feltüntetett bűvös négyzetet.