Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

5. EGY MATEMATIKUS HARCA A JÁTÉKKASZINÓK ELLEN

5. EGY MATEMATIKUS HARCA A JÁTÉKKASZINÓK ELLEN

Befejezésül egy igen érdekes esetről számolunk be, amely jól mutatja, hogy mire képes a szerencsejátékok matematikai elmélete és mire nem. Edward O. Thorp amerikai matematikus évekkel ezelőtt, amikor a Los Angeles-i egyetemen tanított, a téli szünidőben néhány napot töltött Las Vegasban és ennek során ellátogatott az egyik játékkaszinóba, ahol huszonegyest játszott – és természetesen vesztett. Ezen bosszankodva gondolkodni kezdett azon, hogy a huszonegyes játéknál (úgy, ahogy azt a nevadai játékkaszinókban játsszák[23]) mi a legjobb stratégia egy játékos részére.

Tudvalevőleg a huszonegyesnél az „osztó” (a kaszinó alkalmazottja) minden játékosnak egy jól megkevert 52 lapos kártyából 2–2 lapot oszt ki: a játékosok lapjaikat nem mutatják meg az osztónak. Az „osztó” önmagának is oszt 2 lapot, de ezek közül az elsőt köteles megmutatni a játékosoknak. A lapokat a következőképpen értékelik: minden figura (bub, dáma, király) 10 pontot ér, a többi lap az ász kivételével annyit, amennyi rá van írva (tehát pl. a hetes hét pontot). Az ászt minden játékos szabad elhatározással értékelheti 1-esnek vagy 11-esnek. A játékban az nyer, akinek lapjai pontértékeinek összege legjobban megközelíti a 21-et anélkül, hogy túllépné azt.

Minden játékosnak joga van lapjainak megnézése után anynyi újabb lapot kérni, ahányat csak akar; de ha lapjainak pontösszege meghaladja a 21-et, köteles lapjait felmutatni és kiesik a játékból. Az „osztó” önmagának is oszthat újabb lapokat. A játékosok tétjeiket megadott alsó és felső korlát között szabadon választhatják meg. Minden játékos külön játszik az „osztó” ellen. Ha a játékos lapja jobb, mint az osztóé, akkor a játékos ugyanannyit nyer, mint amennyi a tétje volt; ha rosszabb, elveszti tétjét; ha viszont egyformák (pl. mindkettőé 21), pénz nem cserél gazdát.

Az osztó nagy előnye abban áll, hogy a játékos minden esetben köteles felmutatni lapjait, és így ha azok összértéke meghaladja a 21-et, tétjét mindenképpen elveszti; akkor is, ha az osztó lapjainak összértéke is meghaladja a 21-et; ez ugyanis esetleg ki sem derül, mivel ha minden játékos eldobta a lapjait, az osztónak nem kell megmutatnia a sajátját, csak beseperi a téteket.

Thorp megfigyelte, hogy a kaszinók egész szigorú szabályokkal előírják alkalmazottaiknak, hogy milyen rendszer szerint kell játszaniuk,[24] így pl. előírják, hogy ha az osztó lapjainak összértéke eléri vagy meghaladja a 17-et, nem szabad újabb lapot osztania magának. Thorp úgy gondolta, hogy az a tény, hogy a játékost semmilyen merev szabály nem köti és – ellentétben az osztóval – nem köteles első lapját felmutatni; továbbá, hogy a tét összegét ő választhatja meg, elvileg lehetővé teszi nyerő rendszer kidolgozását az osztó fent említett előnye ellenére is. Ezt főként arra alapozta, hogy akkoriban – a játék meggyorsítása érdekében – a nevadai kaszinókban az volt a szokás, hogy az osztó nem keverte meg a lapot minden játszma után, hanem addig használt egy csomag kártyát, amíg az el nem fogyott, és csak azután szedte össze és keverte meg az elhasznált lapokat. Ilyen módon az a játékos, aki megjegyzi, hogy már milyen lapok „mentek ki”, és ennek alapján rugalmasan változtatja stratégiáját, megnövelheti nyerési valószínűségét; feltéve, hogy tudja, hogy a rendelkezésre álló információt hogyan használja fel. Ehhez a játékosnak nyilván az egyes lapok kihúzásának feltételes valószínűségeit kell figyelembe vennie nem teljes kártyacsomag esetén, és ezek alapján tudja kidolgozni legelőnyösebb stratégiáját. Persze egyszerű és könnyen megjegyezhető szabályokra van szükség, hiszen pillanatok alatt kell döntenie, hogy kér-e még további lapot vagy sem. Thorp nem sajnálta a fáradságot és – a Massachusetts Institute of Technology IBM 704-es elektronikus számítógépének segítségével – kidolgozott[25] egy könnyen megjegyezhető stratégiát, amely a játékosnak néhány százalék előnyt biztosít a kaszinóval szemben. Az Amerikai Matematikai Társulat 1960-ban Washingtonban tartott találkozóján előadást tartott számításairól. Az előadás nagy feltűnést keltett és néhány nap múlva egy üzletembertől levelet kapott, aki 100 000

100 000 dollárt ajánlott fel neki arra a célra, hogy rendszerét a gyakorlatban kipróbálja. Thorp elfogadta az ajánlatot és – rendszerét betanulva – elutazott Nevadába, hogy kísérletet tegyen. A kísérlet fényesen sikerült: 2 óra leforgása alatt 17 000 17 000 dollárt nyert. A kaszinó tulajdonosa persze távolról sem lelkesedett annyira a tudományos kísérlet sikeréért, mint Thorp és társa, és másnap különböző kifogásokkal megakadályozták őket abban, hogy újra játszanak. Később Thorp más kaszinókban is próbálkozott, de a híre mindenütt előtte járt és minden kaszinó bezárta előtte ajtóit. Néhányszor álszakállal vagy kínainak maszkírozva sikerült a játékasztalhoz jutnia; de akárhogy is változtatta el az arcát, elárulta őt az, hogy állandóan nyert. Így tehát rendszerének gyakorlati felhasználását abba kellett hagynia. Azzal bosszulta meg magát az őt kiutasító kaszinókon, hogy rendszerét könyv alakban megírta és kiadta (lásd [9]). E könyv alapján olyan sokan tanulták meg a nyerő stratégiát, hogy a nevadai kaszinók kénytelenek voltak gyökeresen megváltoztatni a játékszabályokat. A változtatás többek között abban állt, hogy ma már minden játszma után újra kevernek; ezzel kihúzták a talajt a stratégia lába alól. Ily módon visszajutottunk oda, ahonnan kiindultunk: a kártyák keverésének jelentőségéhez.



[23] Az Amerikai Egyesült Államok többi tagállamában játékkaszinók nem működhetnek legálisan. Nevadában azonban ezt megengedik a törvények.

[24] A merev szabályok előírásával próbálja a kaszinó megakadályozni, hogy alkalmazottai összejátszanak a játékosokkal és – nyereségrészesedés ellenében – a kaszinó rovására szándékosan veszítsenek.

[25] A számítás a gép 3 óráját vette igénybe.