Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

4. JÁTÉKSTRATÉGIÁK

4. JÁTÉKSTRATÉGIÁK

Az egyszerűség kedvéért ebben a részben a következő leegyszerűsített szerencsejátékra szorítkozunk. Egy játékos (nevezzük őt Péternek) játszik a bank ellen; a játék játszmák sorozatából áll. Minden egyes játszmában Péternek jogában áll eldönteni, hogy mekkora összeget kockáztat; ezt az összeget Péter tétjének nevezzük. Péter köteles tétjét előre letenni az asztalra, tehát soha nem tehet nagyobb tétet, mint amennyi pénz van nála összesen. Ezek után egy véletlen kísérletet hajtanak végre, amelynek két lehetséges kimenetele van, az A

A és az A^¯ A ¯ esemény, melyek valószínűségei p p és q q (p+q=1,0lpl1) ( p + q = 1 , 0 l p l 1 ) . Ha a kísérlet eredményeképpen az A A esemény következik be, Péter megtartja a tétjét és ezen kívül a bank annyit fizet Péternek, mint amennyi Péter tétje volt. Ha a kísérlet eredményeképpen az A^¯ A ¯ esemény következik be, Péter tétjét megkapja a bank.

E típusba tartozik pl. a fej vagy írás játék, amelynél (szabályos érme esetében) p=(1/2)

p = 1 2 , továbbá ide tartozik a rulett, feltéve, hogy Péter mindig a pirosra tesz. Ez esetben, mivel a rulettkorongon 18 piros és 18 fekete pozitív szám van, továbbá egy zérus, és ha zérus jön ki, akkor a bank nyer, p=(18/37) p = 18 37 .

Közismert, hogy ha p≤(1/2)

p 1 2 , nem létezhet olyan játékrendszer, amely biztos nyereséget biztosítana Péter részére. Egyszerűség kedvéért szorítkozzunk a p=(1/2) p = 1 2 esetre! Legyen ɛ_k=+1 ɛ k = + 1 , ha a k k -adik játszmánál Péter nyer (tehát az A A esemény következik be) és ɛ_k=–1 ɛ k = 1 , ha veszít, (tehát az A^¯ A ¯ esemény következik be). Jelölje S_k S k Péter tétjét a k k -adik játszmában! S_k S k nyilván függhet ɛ_1,ɛ_2,…,ɛ_(k–1) ɛ 1 , ɛ 2 , , ɛ k 1 -től: S_k=S_k(ɛ_1,…,ɛ_(k–1)) S k = S k ( ɛ 1 , , ɛ k 1 ) . S_k S k értéke csak nemnegatív szám lehet; S_k=0 S k = 0 azt jelenti, hogy Péter nem vesz részt a k k -adik játszmában. S_n≠0 S n 0 és S_j=0 S j = 0 , ha jgn j g n , azt jelenti, hogy Péter az n n -edik játszma után abbahagyja a játékot.

Ha Péter N

N forinttal a zsebében ül le játszani, Péter egy lehetséges stratégiáján az

S_k(ɛ_1,…,ɛ_(k–1))(k=1,2,…)
S k ( ɛ 1 , , ɛ k 1 ) ( k = 1 , 2 , )

nemnegatív függvények egy tetszőleges sorozatát értjük (S_1

S 1 egy állandó, ahol az ɛ_i ɛ i változók mindegyike a ±1 ± 1 értékeket veheti fel, és ezek a függvények eleget tesznek az N+∑_(k=1)^nɛ_kS_k(ɛ_1,…,ɛ_(k–1))≥0 N + k = 1 n ɛ k S k ( ɛ 1 , , ɛ k 1 ) 0 feltételeknek (n=1,2,…) ( n = 1 , 2 , ) ). Legyen ξ_0=N ξ 0 = N .

A ξ_n=N+∑_(k=1)^nɛ_kS_k(ɛ_1,…,ɛ_(k–1))

ξ n = N + k = 1 n ɛ k S k ( ɛ 1 , , ɛ k 1 ) (n=1,2,…) ( n = 1 , 2 , ) összeg nyilván megadja, hogy mennyi pénze van Péternek az n n -edik játszma után. A ξ_n(n=0,1,…) ξ n ( n = 0 , 1 , ) valószínűségi változók ún. martingált (lásd [7]) alkotnak: ez azt jelenti, hogy ξ_n ξ n várható értéke amellett a feltétel mellett, hogy ξ_1,ξ_2,…,ξ_(n–1) ξ 1 , ξ 2 , , ξ n 1 értéke adott, mindig egyenlő ξ_(n–1) ξ n 1 -gyel.

Könnyen belátható, hogy ha p=(1/2)

p = 1 2 , akkor M(ξ_n)=N M ( ξ n ) = N (n=1,2,…) ( n = 1 , 2 , ) , tehát semmilyen játékrendszer sem garantál Péter számára biztos nyereséget. Érdemes röviden foglalkozni a következő – szerencsejátékosok között a valószínűségszámítás nem ismerése folytán népszerű – hibás „játékrendszerrel”, amely szerint Péternek addig kell mindig 1 forintot megtennie, amíg először nem kerül nyerésbe: ekkor (1 forint nyereséggel) abba kell hagynia a játékot. Valóban úgy látszik, mintha e rendszer Péternek 1 forint biztos nyereséget garantálna, hiszen (1 valószínűséggel) előbb vagy utóbb Péter nyerésbe kerül. Valójában azonban ez a játékrendszer nem nyújt biztos nyereséget. Nyilvánvaló ugyanis, hogy ez a játékrendszer a fenti definíció szerint nem megengedett, hiszen ha például Péter az első N N játszmában veszít, vagy az első N+2M N + 2 M játszma során összesen N+M N + M -szer veszít és M M -szer nyer, úgy, hogy közben soha sincs nyerésben, akkor nem tudja folytatni a játékot és így pozitív valószínűséggel elveszti teljes pénzét. Valójában Péter várható nyeresége e játékban 0, amit következőképpen bizonyíthatunk be: Jelölje f_k(N) f k ( N ) annak a valószínűségét, hogy Péter előbb veszíti el mind az N N forintját, mintsem k–N k N forint nyereségre tenne szert. Ez esetben, ha N≥2 N 2

(4.1)

f_k(N)=(1/2)f_k(N+1)+(1/2)f_k(N–1).
f k ( N ) = 1 2 f k ( N + 1 ) + 1 2 f k ( N 1 ) .

Ugyanis a szóban forgó esemény kétféleképpen következhet be: úgy, hogy Péter az első játszmában veszít, és az ezután következő játék során előbb veszti el maradék N–1

N 1 forintját, mintsem k–N+1 k N + 1 forintot nyerne; vagy úgy, hogy Péter az első játszmában nyer, és ezután előbb veszti el N+1 N + 1 forintját, mintsem k–N–1 k N 1 forintot nyerne.

Könnyen belátható,[22] hogy a (4.1) differencia-egyenlet öszszes lehetséges megoldása f_k(N)=AN+B

f k ( N ) = A N + B alakú. Mivel f_k(0)=1 f k ( 0 ) = 1 (hiszen ha Péternek semmi pénze sincs, nem játszhat és így nem is nyerhet) és f_k(k)=0 f k ( k ) = 0 (hiszen ha a játék kezdetén Péternek már k k forintja van, akkor nem is kell játszania), tehát f_k(N)=1–(N/k) f k ( N ) = 1 N k . A minket érdeklő esetben k=N+1 k = N + 1 , tehát (1/N+1) 1 N + 1 annak a valószínűsége, hogy Péter előbb veszti el mind az N N forintját, minthogy 1 forint nyereségre tenne szert. Eszerint Péter játékrendszere mellett nyereségének várható értéke

1(1–(1/N+1))–N⋅(1/N+1)=0.
1 ( 1 1 N + 1 ) N 1 N + 1 = 0 .

Az elmondottak alapján úgy gondolhatná az olvasó, hogy a valószínűségszámítás a szerencsejátékot játszót csak arról győzheti meg, hogyha csupán azért játszik, mert nyereségre törekszik (és nem azért is, mert a játék szórakoztatja), akkor jobban teszi, ha nem is játszik. Ez azonban nincs így: ha a játékos azt kéri a matematikustól, hogy dolgozzon ki számára biztos nyerést garantáló játékrendszert, akkor lehetetlent kíván, és a matematikus nem segíthet rajta. Ha azonban a játékos elérhető célt tűz ki maga elé, a matematikus választ adhat arra a kérdésre, hogy e cél elérésére mi a legjobb út.

Vizsgáljuk először a következő kérdést! Péter fej vagy írást játszik; a játék kezdetén N

N forintja van, és elhatározza, hogy addig játszik, ameddig vagy pénze felnövekszik MgN M g N forintra, vagy minden pénzét elveszti. Milyen játékrendszer mellett lesz annak valószínűsége, hogy nyer, maximális? Ha w=w(N,M) w = w ( N , M ) jelöli annak valószínűségét, hogy Péter M M forinttal hagyja abba a játékot, mivel Péter N N forintnál többet nem veszthet és nyereségének várható értéke 0 kell, hogy legyen, tehát w(M–N)–(1–w)N=wM–N≤0 w ( M N ) ( 1 w ) N = w M N 0 , vagyis w≤(N/M) w N M kell, hogy legyen. Kérdés, milyen játékrendszer mellett lehet elérni, hogy a nyerés valószínűsége w=(N/M) w = N M legyen?

Nevezzük „merész” stratégiának azt, amikor Péter mindaddig egész pénzét egyszerre megteszi tétként, amíg pénze ≤(M/2)

M 2 , míg ha pénze xg(M/2) x g M 2 , de xlM x l M , akkor csak (M–x) ( M x ) -et tesz meg, vagyis pontosan annyit, hogy ha a következő játszmában nyer, akkor éppen elérje a célul kitűzött M M forintot. Például ha N=1 N = 1 és M=10 M = 10 , akkor Péter a következőképpen játszik: az első játszmában 1 forintot tesz meg: ha veszít, kénytelen abbahagyni a játékot; ha nyer, most már 2 forintja lesz.

Ez esetben a második játszmában 2 forintot tesz meg: ha veszít, bánatosan távozik; míg ha nyer, akkor a következő játszmában újból egész pénzét (tehát most 4 forintot) tesz meg. Ha veszít, üres zsebbel hazamegy; ha nyer, akkor már 8 forintja van; most már csak 2 forintot tesz meg, így ha nyer, máris elérte a 10 forintot és így abbahagyja a játékot; de ha veszít, akkor is marad 6 forintja és így még tudja folytatni a játékot: megtesz 4 forintot, ha nyer, megvan a 10 forintja, és így örömmel távozik; ha veszít, még marad 2 forintja, és azt a következő játszmában megteheti, és így tovább. E számpéldában Péter pénzének alakulását a következő irányított gráf mutatja, amelyben minden pontból 2 él vezet ki és mindkét élen való továbbhaladás valószínűsége (1/2)

1 2 . Ha p_i p i jelöli annak valószínűségét, hogy az i i pontból (i=1,2,4,6,8) ( i = 1 , 2 , 4 , 6 , 8 ) a játékos a 10. 10 . pontba jut, nyilvánvalóan fennállnak a következő egyenletek:

p_8 =(1/2)+(1/2)⋅p_6 p_6 =(1/2)+(1/2)⋅p_2 p_4 =(1/2)p_8 p_2 =(1/2)p_4 p_1 =(1/2)p_2.
p 8 = 1 2 + 1 2 p 6 p 6 = 1 2 + 1 2 p 2 p 4 = 1 2 p 8 p 2 = 1 2 p 4 p 1 = 1 2 p 2 .

Ez az 5 egyenletből álló lineáris egyenletrendszer megoldható (ugyanis a determinánsa nem 0). Behelyettesítéssel nyerjük, hogy p_2=2p_1

p 2 = 2 p 1 , p_4=4p_1 p 4 = 4 p 1 , p_8=8p_1 p 8 = 8 p 1 , továbbá 16p_1–p_6=1 16 p 1 p 6 = 1 , p_6–p_1=(1/2) p 6 p 1 = 1 2 ; ebből p_1=(1/10) p 1 = 1 10 és így p_i=(i/10) p i = i 10 (i=1,2,4,6,8) ( i = 1 , 2 , 4 , 6 , 8 ) .

Tehát w(1,10)=(1/10)

w ( 1 , 10 ) = 1 10 . Hasonlóképpen számítható ki w(N,M) w ( N , M ) , ha N N és M M tetszőleges pozitív számok, NlM N l M és (M/N) M N racionális. Ha azonban N N és MgN M g N igen nagy számok, ez a módszer nem célravezető, mert igen sok egyenletből álló egyenletrendszerre vezet. Ezért az általános esetben más bizonyítási módszert célszerű alkalmaznunk.

Általában igaz, hogy ha N

N és M M tetszőleges pozitív (nem feltétlenül egész) számok és NlM N l M , akkor w(N,M)=(N/M) w ( N , M ) = N M . Ezt a következőképpen láthatjuk be. Nyilván feltehetjük, hogy M=1 M = 1 és 0lNl1 0 l N l 1 , hiszen választhatjuk M M -et a pénz egységeként. Legyen w(N,1)=f(N) w ( N , 1 ) = f ( N ) (0≤N≤1) ( 0 N 1 ) ! Nyilván fennáll a következő egyenlet

(4.2)

f(x)={(1/2)f(2x),  ha 0≤x≤(1/2) / (1/2)+(1/2)f(2x–1),  ha (1/2)≤x≤1
f ( x ) = 1 2 f ( 2 x ) ,  ha 0 x 1 2 1 2 + 1 2 f ( 2 x 1 ) ,  ha 1 2 x 1

Ezt a függvényegyenletet hasonló módszerrel oldjuk meg, mint az előbb (4.1)-et. Legyen g(x)=f(x)–x

g ( x ) = f ( x ) x , akkor g(x) g ( x ) nyilván eleget tesz a

(4.3)

g(x)={(1/2)g(2x),  ha 0≤x≤(1/2) / (1/2)g(2x–1),  ha (1/2)≤x≤1
g ( x ) = 1 2 g ( 2 x ) ,  ha 0 x 1 2 1 2 g ( 2 x 1 ) ,  ha 1 2 x 1

egyenletnek.

Mármost g(x)

g ( x ) korlátos, –1≤(x)≤1 1 ( x ) 1 , hiszen f(x) f ( x ) valószínűség és így 0≤f(x)≤1 0 f ( x ) 1 . Legyen G=sup_(0≤x≤1)g(x) G = sup 0 x 1 g ( x ) és x_n x n egy olyan számsorozat, amelyre lim_(n→∞)g(x_n)=G lim n g ( x n ) = G .

Az x_n

x n (korlátos) sorozatból kiválasztható egy konvergens részsorozat: jelöljük ezt y_n y n -nel, akkor tehát

lim_(n→∞)y_n=y és lim_(n→∞)g(y_n)=G.
lim n y n = y  és  lim n g ( y n ) = G .

Ha 0≤y_n≤(1/2)

0 y n 1 2 végtelen sok n n -re, akkor (4.3) szerint

G=lim_(n→∞)g(y_n)≤(1/2)lim_(n→∞)supg(2y_n)≤(G/2),
G = lim n g ( y n ) 1 2 lim n sup g ( 2 y n ) G 2 ,

ha viszont (1/2)≤y_n≤1

1 2 y n 1 végtelen sok n n -re, akkor

G=lim_(n→∞)g(y_n)≤(1/2)lim_(n→∞)supg(2y_n–1)≤(G/2),
G = lim n g ( y n ) 1 2 lim n sup g ( 2 y n 1 ) G 2 ,

tehát mindenképpen G≤(G/2)

G G 2 , azaz G≤0 G 0 .

Legyen most g=inf_(0≤x≤1)g(x)

g = inf 0 x 1 g ( x ) . Hasonló meggondolással belátható, hogy g≥0 g 0 ; de ez azt jelenti, hogy g=G=0 g = G = 0 , vagyis g(x)≡0 g ( x ) 0 és így f(x)≡x f ( x ) x , amit bizonyítani akartunk.

Megjegyzendő, hogy a fej vagy írás játék esetében minden olyan stratégiánál, amelynél Péter 1 valószínűséggel véges sok lépésben vagy elveszti az összes pénzét, vagy eléri a célul kitűzött nyereséget, ugyanannyi a nyerés valószínűsége, mint a fent tárgyalt „merész” stratégiánál.

Vizsgáljunk azonban most egy olyan játékot, amelynél minden egyes játszmában Péter p

p valószínűséggel megnyeri a tétjét és q=1–p q = 1 p valószínűséggel elveszti, ahol 0lpl(1/2) 0 l p l 1 2 . (Ilyen játék pl. a rulett, ha Péter mindig a pirosra tesz, amely esetben, mint láttuk, p=(18/37) p = 18 37 ). Ebben az esetben már nem mindegy, hogy Péter milyen stratégiát alkalmaz, és a „merész” stratégia valóban optimális. Tegyük fel megint, hogy Péternek a játék kezdetén x x pénze van, ahol 0lxl1 0 l x l 1 , és célja az, hogy pénze 1-re növekedjék fel. Jelölje g(x,p) g ( x , p ) annak a valószínűségét, hogy Péter eléri a célját, ha a „merész” stratégiát alkalmazza. Ugyanazzal a meggondolással, amely a p=(1/2) p = 1 2 esetében a (4.2) függvényegyenletre vezetett, azt nyerjük, hogy g(x,p) g ( x , p ) az alábbi függvényegyenletnek tesz eleget:

(4.4)

g(x,p)={pg(2x,p),    ha 0≤x≤(1/2) / p+(1–p)g(2x–1,p)    ha (1/2)≤x≤1,
g ( x , p ) = p g ( 2 x , p ) ,    ha 0 x 1 2 p + ( 1 p ) g ( 2 x 1 , p )    ha 1 2 x 1 ,

továbbá eleget tesz a g(0,p)=0

g ( 0 , p ) = 0 és g(1,p)=1 g ( 1 , p ) = 1 feltételeknek. Az a meggondolás, amellyel beláttuk, hogy a (4.2)-nek eleget tevő f(x) f ( x ) függvény azonos x x -szel, (4.4)-re alkalmazva arra az eredményre vezet, hogy a (4.4) függvényegyenletnek csak egy, a g(0,p)=0, g ( 0 , p ) = 0 , g(1,p)=1 g ( 1 , p ) = 1 mellékfeltételeknek eleget tevő megoldása van. (Ezt egyébként először G. de Rham bizonyította be, l. [10].)

Mármost a (4.4) függvényegyenlet egy megoldását a következőképpen konstruálhatjuk meg: legyenek ξ_1,ξ_2,…

ξ 1 , ξ 2 , független valószínűségi változók, amelyek a 0 és 1 értékeket p p és 1–p 1 p valószínűséggel veszik fel. Legyen η=∑_(n=1)^∞(ξ_n/2^n) η = n = 1 ξ n 2 n és jelölje F_p(x) F p ( x ) az η η valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! Akkor egyszerűen belátható, hogy F_p(x) F p ( x ) eleget tesz az

F_p(x)={pF_p(2x),  ha 0≤x≤(1/2) / p+(1–p)F_p(2x–1),  ha (1/2)≤x≤1
F p ( x ) = p F p ( 2 x ) ,  ha 0 x 1 2 p + ( 1 p ) F p ( 2 x 1 ) ,  ha 1 2 x 1

függvényegyenletnek és az F_p(0)=0

F p ( 0 ) = 0 , F_p(1)=1 F p ( 1 ) = 1 feltételeknek. Így tehát F_p(x)=g(x,p) F p ( x ) = g ( x , p ) . Azt a μ_p(A) μ p ( A ) mértéket a (0,1) ( 0 , 1 ) intervallum Borel-halmazain, amelyre μ_p(I_(a,b))=F_p(b)–F_p(a) μ p ( I a , b ) = F p ( b ) F p ( a ) , ha 0≤alb≤1 0 a l b 1 , ahol I_(a,b) I a , b az a≤xlb a x l b intervallumot jelöli, a következőképpen is jellemezhetjük: a (0,(1/2)) ( 0 , 1 2 ) intervallum mértéke p p , az ((1/2),1) ( 1 2 , 1 ) intervallumé 1–p 1 p . A (0,(1/2)) ( 0 , 1 2 ) intervallumra jutó p p mértéket p:(1–p) p : ( 1 p ) arányban osztjuk el a (0,(1/4)) ( 0 , 1 4 ) és ((1/4),(1/2)) ( 1 4 , 1 2 ) részintervallumokra, hasonlóképpen járunk el az ((1/2),1) ( 1 2 , 1 ) intervallummal és így tovább. Így tehát a ((k/2^n),(k+1/2^n)) ( k 2 n , k + 1 2 n ) (k=0,1,…,2^n–1) ( k = 0 , 1 , , 2 n 1 ) intervallumok közül (nl) n l számú intervallumnak a mértéke p^l(1–p)^(n–l) p l ( 1 p ) n l lesz (l=0,1,…,n) ( l = 0 , 1 , , n ) . Az F_p(x) F p ( x ) függvényről könnyen ki lehet mutatni, hogy szigorúan monoton növekvő, folytonos és szinguláris függvény, tehát deriváltja majdnem mindenütt 0. A μ_(p_1) μ p 1 és μ_(p_2) μ p 2 mértékek ortogonálisak, ha p_1≠p_2 p 1 p 2 . Nyilván μ_(1∕2) μ 1 2 a közönséges Lebesgue-féle mértékkel azonos, mivel F_(1∕2)(x)=g(x,(1/2))=x F 1 2 ( x ) = g ( x , 1 2 ) = x (0≤x≤1) ( 0 x 1 ) .

Azt, hogy a pl(1/2)

p l 1 2 esetben már nem mindegy, hogy milyen stratégiát alkalmaz valaki, és hogy a „merész” stratégia optimális, nem fogjuk itt általánosan bebizonyítani, csak egy számpéldával illusztráljuk. Tegyük fel, hogy Péter 25 Ft-tal ül le rulettezni (p=(18/37)) ( p = 18 37 ) és célja az, hogy 100 Ft-ra tegyen szert, és a merész stratégiát alkalmazza. Ez esetben akkor és csak akkor fogja elérni célját, ha megnyeri az első két játszmát, és ennek a valószínűsége p^2=0,2366… p 2 = 0,2366 . Mármost nézzük meg, mi Péter nyerési esélye, ha azt az óvatosabb stratégiát alkalmazza, és mindig csak 25 Ft-ot tesz meg. Könnyű belátni, hogy ez esetben Péter csak (p^3/1–2p+2p^2) p 3 1 2 p + 2 p 2 valószínűséggel éri el célját, és (p^3/1–2p+2p^2)lp^2 p 3 1 2 p + 2 p 2 l p 2 , ha pl(1/2) p l 1 2 ; hiszen p^2–(p^3/1–2p+2p^2)=(p^2(1–p)(1–2p)/p^2+(1–p)^2)g0 p 2 p 3 1 2 p + 2 p 2 = p 2 ( 1 p ) ( 1 2 p ) p 2 + ( 1 p ) 2 g 0 .

Speciálisan, ha p=(18/37)

p = 18 37 , akkor (p^3/1–2p+2p^2)=0,2301… p 3 1 2 p + 2 p 2 = 0,2301 , tehát Péter nyerési esélye a „merész” stratégia mellett több, mint 23,5% 23,5 % , míg az „óvatos” stratégia mellett kevesebb.

A most tárgyalt problémához hasonló általánosabb kérdések vizsgálatával foglalkozik L. E. Dubbins és L. J. Savage könyve [8].



[22] Ezt a következőképpen bizonyíthatjuk be: Ha f_k(N)

f k ( N ) eleget tesz (4.1)-nek, akkor g(N)=f_k(N)–(N/k)(f_k(k)–f_k(0))–f_k(0) g ( N ) = f k ( N ) N k ( f k ( k ) f k ( 0 ) ) f k ( 0 ) is eleget tesz (4.1)-nek és g(0)=g(k)=0 g ( 0 ) = g ( k ) = 0 . Legyen maxg(N)=G=g(N_1) g ( N ) = G = g ( N 1 ) , akkor indukcióval belátható, hogy g(N_1+j)=G(j=1,2,…,k–N_1) g ( N 1 + j ) = G ( j = 1 , 2 , , k N 1 ) és hasonlóképpen g(N_1–j)=G(j=1,2,…,N_1) g ( N 1 j ) = G ( j = 1 , 2 , , N 1 ) , tehát g(N)=0, g ( N ) = 0 , ha N=0, 1, …, k N = 0 , 1 , , k és így f_k(N)=AN+B f k ( N ) = A N + B , ahol A=(1/k)(f_k(k)–f_k(0)) A = 1 k ( f k ( k ) f k ( 0 ) ) és B=f_k(0) B = f k ( 0 ) .