Ugrás a tartalomhoz

Matematikai mozaik

Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás

Typotex

3. A KÁRTYÁK ELOSZLÁSÁRA VONATKOZÓ FELADATOK

3. A KÁRTYÁK ELOSZLÁSÁRA VONATKOZÓ FELADATOK

Vizsgáljnuk meg néhány egyszerű példát!

  1. Póker. A pókernél minden játékosnak 5 lapot osztanak ki az 52 lapból. A játéknál a következő figurákat különböztetik meg:

    1. Royal Flush: ha az 5 lap ugyanabból a színből van, és nagyság szerint sorban következnek (az ász egyaránt tekinthető 1-esnek vagy a király után következőnek), pl. kőr 9, 10, Bubi, Dáma, Király.

    2. Póker: ha az 5 lap között 4 egyforma van (pl. 4 király stb.), az ötödik emellett akármilyen lehet.

    3. Full Hand (vagy Full House): ha az 5 lap közül 3 egyforma és a másik kettő is egymással megegyező (pl. három tízes és két király).

    4. Szín (Couleur): ha az 5 lap egyszínű (pl. mind az öt treff-lap).

    5. Sorozat (szekvencia): ha az öt lap nagyság szerint sorban következik, de nem mind ugyanolyan színű: pl. treff 5, treff 6, pikk 7, kőr 8, káró 9.

    6. Hármas: három megegyező lap (pl. három 7-es), a másik kettő tetszőleges (de nem megegyező, hiszen az Full Hand-et jelent).

    7. Két pár: két-két megegyező lap (pl. két ász, két 6-os), az ötödik tetszőleges (de a két pártól különböző).

    8. Egy pár: két megegyező lap (pl. két dáma), a másik 3 tetszőleges, egymástól és a pártól különböző lap.

    E figurák valószínűségeit könnyen kiszámíthatjuk úgy, hogy összeszámoljuk, hogy egy figura hányféleképpen valósulhat meg, és ezt a számot elosztjuk 5 lapnak az 52 lapból való összes lehetséges kiválasztásának számával. Pl. a póker 13⋅48

    13 48 -szor valósulhat meg, míg 52 lapból 5 lapot (525) 52 5 -féleképpen választhatunk, tehát a póker valószínűsége

    (13⋅48/(525))=(13⋅48⋅120/52⋅51⋅50⋅49⋅48)=(1/4165)=0,000240.
    13 48 52 5 = 13 48 120 52 51 50 49 48 = 1 4165 = 0,000240 .

    Itt látszólag másként számoltunk, mint az előző pontban, mert a lapok sorrendjét nem vettük figyelembe. Ez az eredményt nem befolyásolja, hiszen öt lapot 5!=120

    5! = 120 sorrendben kaphatunk meg, és ha ezt a faktort mind a számlálóból, mind a nevezőből elhagyjuk, a tört értéke nem változik. Az előző pontban említett eljárást követve a póker valószínűségét a következőképpen számíthatjuk ki. Ha pl. 4 játékos játszik, és körben osztanak, az első helyen ülő játékos kapja az első, az ötödik, a kilencedik, a tizenharmadik és tizenhetedik lapot. Azoknak a sorrendeknek a száma, amelyeknél ezen az 5 helyen 5 meghatározott lap áll megadott sorrendben, nyilván 47!, hiszen ennyiféleképpen lehet a többi 47 lapot elrendezni a többi 47 helyen. Tehát annak valószínűsége, hogy a játékosnak pókert osztanak

    (13⋅48⋅5!47!/52!)=(13⋅48/(525))=(1/4165),
    13 48 5! 47! 52! = 13 48 52 5 = 1 4165 ,

    azaz így is ugyanazt az eredményt kapjuk, mint az előbb. Az összes figura valószínűségét az alábbi táblázat adja meg (6 tizedesjegy pontosságig):

    Royal Flush 0,000 014 0,000 014
    Póker 0,000 240 0,000 240
    Full Hand 0,001 385 0,001 385
    Szín 0,001 967 0,001 967
    Sorozat 0,003 532 0,003 532
    Hármas 0,021 055 0,021 055
    Két pár 0,047 373 0,047 373
    Egy pár 0,422 570 0,422 570
    Semmilyen figura 0,501 864_̲ 0,501 864 ̲
    Összesen: 1,000 000. 1,000 000 .

    A pókernél tehát annál értékesebb egy figura, minél kisebb a valószínűsége. (Megváltozhat azonban a valószínűségi sorrend, ha nem 52 lappal játszunk, vagy ha a csomagban egy vagy több joker is van.)

    A póker szabályai szerint minden játékosnak, miután lapját megnézte (és befizette a bankba a megfelelő összeget), joga van lapjai közül egyeseket eldobni és helyettük újakat kérni. Míg tehát az első leosztásnál 1∕2

    1 2 -nél valamivel nagyobb a valószínűsége annak, hogy a játékos nem kap semmilyen figurát; ha ilyen esetben 5 új lapot kér, annak valószínűsége, hogy másodszorra sem kap figurát, megint kereken 1∕2 1 2 . De mivel a két esemény majdnem független, annak valószínűsége, hogy a második osztás után sincs egy játékosnak semmilyen figurája, már csak kb. 1∕4 1 4 . Ha tehát 3 másik játékossal játszom pókert, akkor annak valószínűsége, hogy ezek közül egyiknek sincs még egy párja sem, körülbelül[19] 1∕64 1 64 ; ez azt jelenti, hogy ha csak 1 párom van, szinte biztosra vehetem, hogy a másik három játékos közül legalább az egyiknek szintén van egy párja vagy annál jobb lapja.

    A lapok felmutatása esetén tehát 1 párral igen csekély a nyerés valószínűsége; más kérdés persze, hogy a pókerben blöffölni is lehet.

    Utalunk itt Jordan K. könyvére [4], amely számos további, a pókerjátékkal kapcsolatos valószínűségszámítási feladatot tárgyal.

  2. Bridzs.[20] A bridzsnél 52 lapot osztanak szét 4 játékos között, akik közül a két-két szemben ülő koalícióban van. A játék két részből áll: a licitálásból és a tényleges lejátszásból. A licitálásra nézve számos rendszer ismeretes. A Culbertson-rendszer szerint (lásd [5]) a játékosok először értékelik a saját lapjukat és ennek alapján döntik el, hogy mit licitáljanak. Az értékelés az ún. „trick”-ek összeszámlálásából áll, a következő szabályok szerint.

    Ász (ugyanolyan színű király és dáma nélkül): 1 trick
    Ász és király (egy színből, az uo. színű dáma nélkül): 2 trick
    Ász és dáma (egy színből, az uo. színű király nélkül): 1,5 trick
    Ász, király és dáma egy színből: 2,5 trick
    Király (ugyanolyan színű ász és dáma nélkül): 0,5 trick
    Király és dáma egy színből (uo. színű ász nélkül): 1 trick

    A teljes lap értékét a benne levő trickek összege adja meg. Pl. a következő lap:

    PIKK: KŐR: KÁRÓ: TREFF:
    ÁSZ, DÁMA, KIRÁLY, DÁMA, 7 8
    10, 8, 7 DÁMA, 4, 3, 2

    értéke 1,5+1=2,5

    1,5 + 1 = 2,5 trick.

    A kiosztott 13 lap értéke a véletlentől függő szám, tehát valószínűségi változó.

    Vizsgáljuk most meg, hogy mi a várható értéke egy játékosnak kiosztott lapoknak.[21]

    Ehhez tulajdonképpen ki kellene számítanunk a lap értékének eloszlását, tehát, hogy mekkora valószínűséggel lesz az egy játékos kezében lévő 13 lap összértéke egyenlő a 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5; 6; 6,5; 7; 7,5; 8; 8,5; 9; 9,5; 10 számok mindegyikével. (Könnyen belátható, hogy ezek a lehetséges trick-számok.) Bár ez az út sem túl nehéz, itt egy egyszerűbb eljárást fogunk követni, amely a várható érték egy jól ismert tulajdonságán alapszik, mégpedig azon, hogy valószínűségi változók összegének várható értéke egyenlő a tagok várható értékeinek összegével. Jelöljék a négy játékos lapjainak teljes értékét rendre ɛ_1

    ɛ 1 , ɛ_2 ɛ 2 , ɛ_3 ɛ 3 , ɛ_4 ɛ 4 . Nyilvánvaló, hogy (jól kevert lap esetében) mind a négy játékos lapjának várható értéke ugyanakkora. Mármost az első játékos lapjának trickértéke maga is négy tag összege:

    ɛ_1=ɛ_(11)+ɛ_(12)+ɛ_(13)+ɛ_(14),
    ɛ 1 = ɛ 11 + ɛ 12 + ɛ 13 + ɛ 14 ,

    ahol ɛ_(11)

    ɛ 11 , ɛ_(12) ɛ 12 , ɛ_(13) ɛ 13 , ɛ_(14) ɛ 14 azt jelentik, hogy hány trickje van az első játékosnak rendre pikkből, kőrből, káróból és treffből.

    Hasonlóképpen bontható fel 4 tag összegére a másik 3 játékos lapjának teljes értéke is:

    ɛ_2 =ɛ_(21)+ɛ_(22)+ɛ_(23)+ɛ_(24), ɛ_3 =ɛ_(31)+ɛ_(32)+ɛ_(33)+ɛ_(34), ɛ_4 =ɛ_(41)+ɛ_(42)+ɛ_(43)+ɛ_(44).
    ɛ 2 = ɛ 21 + ɛ 22 + ɛ 23 + ɛ 24 , ɛ 3 = ɛ 31 + ɛ 32 + ɛ 33 + ɛ 34 , ɛ 4 = ɛ 41 + ɛ 42 + ɛ 43 + ɛ 44 .

    Mármost nyilvánvaló, hogy az ɛ_(ij)

    ɛ i j (i=1,2,3,4 i = 1 , 2 , 3 , 4 ; j=1,2,3,4 j = 1 , 2 , 3 , 4 ) valószínűségi változók várható értékei mind egyenlők, tehát ha közös értéküket m m -mel jelöljük, azaz

    M(ɛ_(ij))=m (i,j=1,2,3,4),
    M ( ɛ i j ) = m ( i , j = 1 , 2 , 3 , 4 ) ,

    akkor a várható érték additivitása folytán

    M(ɛ_1)=4m=M(ɛ_(11)+ɛ_(21)+ɛ_(31)+ɛ_(41)).
    M ( ɛ 1 ) = 4 m = M ( ɛ 11 + ɛ 21 + ɛ 31 + ɛ 41 ) .

    Mármost ɛ_(11)+ɛ_(21)+ɛ_(31)+ɛ_(41)

    ɛ 11 + ɛ 21 + ɛ 31 + ɛ 41 a pikk színből a négy játékosnál lévő trickek összege; vagyis azt láttuk be, hogy egy játékos kezében lévő lap várható értéke egyenlő a pikk színből a négy játékos kezében lévő trickek összegének várható értékével. Ez utóbbi mennyiség kiszámításához csak azt kell megvizsgálnunk, hogy a pikk ász, király és dáma hogyan oszlik el a 4 játékos között. Ha e 3 lap mindegyike más játékosnál van, akkor ɛ_(11)+ɛ_(21)+ɛ_(31)+ɛ_(41)=1,5 ɛ 11 + ɛ 21 + ɛ 31 + ɛ 41 = 1,5 . Ha a pikk ász és a pikk király egy kézben van, de a pikk dáma másnál; vagy ha a pikk ász és a pikk dáma egy kézben van, de a pikk király másnál van; végül ha a pikk király és a pikk dáma egy kézben van, a pikk ász másnál, akkor ɛ_(11)+ɛ_(21)+ɛ_(31)+ɛ_(41)=2 ɛ 11 + ɛ 21 + ɛ 31 + ɛ 41 = 2 . Végül, ha mindhárom lap egy kézben van, akkor ɛ_(11)+ɛ_(21)+ɛ_(31)+ɛ_(41)=2,5 ɛ 11 + ɛ 21 + ɛ 31 + ɛ 41 = 2,5 .

    Annak valószínűségét, hogy a pikk ász, király és dáma más-más játékosnál van, a következőképpen számíthatjuk ki. Ha a pikk ászt az A

    A játékos kapta, ő még további 12 lapot kap, a többi 3 játékos pedig 39 lapot 51 lap közül, tehát annak valószínűsége, hogy ne A A kapja a pikk királyt, (39/51) 39 51 . Ha a pikk ászt, ill. királyt az A A , ill. B B játékos kapta, akkor annak valószínűsége, hogy a pikk dámát C C vagy D D kapja, hasonló meggondolással (26/50) 26 50 .

    Így a keresett valószínűség

    (39⋅26/51⋅50)=(169/425)=0,398.
    39 26 51 50 = 169 425 = 0,398 .

    Hasonlóképpen látható be, hogy annak valószínűsége, hogy a szóban forgó lap közül kettő egy kézben legyen, de a harmadik másnál legyen

    3⋅(12/51)⋅(39/50)=(234/425)=0,550.
    3 12 51 39 50 = 234 425 = 0,550 .

    Végül annak valószínűsége, hogy a pikk ász, király és dáma egy kézben legyen:

    (4(133)/(523))=(22/425)=0,052.
    4 13 3 52 3 = 22 425 = 0,052 .

    A három valószínűség összege természetesen 1-gyel egyenlő: 0,398+0,550+0,052=1

    0,398 + 0,550 + 0,052 = 1 . Egy játékos lapjának várható értéke ily módon 1,5⋅0,398+2⋅0,550+2,5⋅0,052=0,597+1,100+0,130=1,827 1,5 0,398 + 2 0,550 + 2,5 0,052 = 0,597 + 1,100 + 0,130 = 1,827 , vagyis kerítve 1,8. Ez az eredmény alátámasztja a Culbertson-féle licitrendszernek azt a szabályát, hogy induláshoz legalább 2,5 trick szükséges – hiszen 2 trick még alig jobb az átlagosnál –, míg ha a partner indult, az emeléshez 1,5 trick is elegendő, vagyis már egy, az átlagot megközelítő lap elégséges; hiszen a két ellenfél lapjának várható összértéke 3,6 trick, és mivel 2,5+1,5=4 2,5 + 1,5 = 4 , az induló partnere már 1,5 trick esetében számíthat arra, hogy ő és partnere együtt erősebbek az ellenfeleiknél.

    Egy másik tanulságos, bridzsre vonatkozó kérdés a következő: ha egy játékosnak a kezében 2 ász van, mi a valószínűsége, hogy a partnerénél van a két hiányzó ász, illetve, hogy ezek közül csak egy, vagy egyik sincs nála? Nyilván a szóban forgó 2 ász a másik 3 játékos kezében lévő 39 lap közt van, és így eloszlásukra (392)

    39 2 egyformán valószínű lehetőség van; ezek közül az első kérdés szempontjából (132) 13 2 eset kedvező, tehát annak valószínűsége, hogy mind a két hiányzó ász a partnernél van

    (132)∕(392)=(6/57).
    13 2 39 2 = 6 57 .

    Annak valószínűsége, hogy a 2 hiányzó ász közül az egyik van a partnernél

    (13⋅26/(392))=(26/57),
    13 26 39 2 = 26 57 ,

    míg annak valószínűsége, hogy egyik sincs a partnernél

    ((262)/(392))=(25/57).
    26 2 39 2 = 25 57 .

    A 3 valószínűség összege természetesen eggyel egyenlő:

    (6+26+25/57)=1.
    6 + 26 + 25 57 = 1 .

    A bridzs-játék részletes és közérthető valószínűségszámítási tárgyalása megtalálható É. Borel és A. Chéron könyvében [6].



[19] Ezek az események nem teljesen függetlenek, de közel azok; így nem követünk el nagy hibát, ha összeszorozzuk a valószínűségeket.

[20] A bridzs tulajdonképpen nem szerencsejáték a szó szoros értelmében, hiszen a játékban a játékosok tudása sokkal nagyobb szerepet játszik, mint a véletlen. A lapok eloszlása azonban itt is a véletlentől függ, és így a briddzsel kapcsolatban is számos valószínűségszámítási feladat merül fel.

[21] Egy valószínűségi változó várható értékét úgy számítjuk ki, hogy veszszük a változó lehetséges értékeinek a megfelelő valószínűségekkel mint súlyokkal képezett súlyozott középértékét; ha tehát a ξ

ξ valószínűségi változó az x_1,x_2,…x_n x 1 , x 2 , x n értékeket rendre p_1,p_2,…p_n p 1 , p 2 , p n valószínűséggel veszi fel, akkor várható értéke

M(ξ)=p_1x_1+p_2x_2+…+p_nx_n.
M ( ξ ) = p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p n x n .

A várható érték jelentőségét a nagy számok törvénye mutatja, amely szerint, ha a valószínűségi változó értékét nagy számú független kísérletnél megfigyeljük, akkor a megfigyelt értékek számtani közepe szinte bizonyosan igen közel lesz a valószínűségi változó várható értékéhez.