Amikor a kártyák eloszlására vonatkozó kérdéseket a valószínűségszámítás alapján válaszoljuk meg, hallgatólagosan mindig feltesszük, hogy az a csomag kártya, amelyből a lapokat kiosztják, „jól össze van keverve”. E kifejezést a kártyások gyakran használják, de mivel nem szokták precízen definiálni, nem árt először röviden foglalkozni e kérdéssel.

Valószínűségszámítási szempontból egy csomag kártyát akkor nevezünk jól megkevertnek, ha a keverés után a lapok összes lehetséges sorrendje, permutációja ugyanakkora valószínűséggel bír;

n lap esetében

[D]

n ! permutáció lehetséges, tehát jól összekevert az a kártyacsomag, amelynél feltehetjük, hogy minden egyes sorrendnek a valószínűsége

[D]

1 n ! . Egy tetszőleges, a kártyák sorrendjétől függő

[D]

A esemény valószínűsége tehát

[D]

k n ! , ahol

[D]

k jelenti azoknak a sorrendeknek a számát, amelyek mellett az

[D]

A esemény bekövetkezik.

Például, ha egy 52 lapos kártyát megkeverünk, annak a valószínűsége, hogy a legfelül fekvő lap ász legyen,

1 13 -dal egyenlő; ugyanis az 52! sorrend közül egy meghatározott ásszal kezdődő sorrendek száma 51! (hiszen ha pl. a legfelső lap a kőr ász, az alatta levő 51 lap 51! sorrendben helyezkedhet el), tehát mivel a csomagban 4 ász van,

[D]

k = 4 ⋅ 51! , és így a keresett valószínűség

A valóságban a keverés úgy történik, hogy az egyik játékos (vagy a kártya keverését végző gép) 10–20-szor végez el egy bizonyos mozdulatot. Minden egyes mozdulat a kártyacsomag egy átrendezését, vagyis egy permutáció alkalmazását jelenti a kártyák sorrendjére. Egy számsorozat permutációi tudvalevőleg csoportot alkotnak.

Két permutáció, pl.

P és

[D]

Q szorzatán (amit

[D]

P Q -val jelölünk) azt értjük, hogy először elvégezzük a

[D]

P átrendezést, és az eredményül kapott sorrenden végrehajtjuk a

[D]

Q átrendezést. Például, ha

[D]

n = 32 , vagyis 32 lapos (magyar) kártyáról van szó, és

[D]

P a

permutáció, tehát első helyre az eredetileg 17-ik helyen levő lap kerül, második helyre az eredetileg 18-ik helyen levő lap, és így tovább, az utolsó helyre az eredetileg a 16-ik helyen álló lap (ez úgy hajtható végre, hogy a 32 lapos kártyacsomagról együtt leemelem a felső 16 lapot, ezt leteszem az asztalra, és erre ráteszem az alsó tizenhat lapot), és

Q = P , vagyis másodszorra is ugyanazt a műveletet végzem, akkor

[D]

P Q = P 2 = I az azonos permutáció, tehát a két művelet végeredményeként újból az eredeti sorrend áll elő.

A keverés folyamatára mármost két kézenfekvő matematikai modellt (a tényleges folyamat leegyszerűsített képét) állíthatunk fel. Az első modellt determinisztikus modellnek, a másodikat sztochasztikus modellnek fogjuk nevezni. Először tegyük fel, hogy a keverő minden egyes mozdulatnál pontosan ugyanazt az átrendezést végzi a kártyacsomagon. Ha ezt a permutációt

P -vel jelöljük, akkor e mozdulat

[D]

k -szor való elvégzése egyenértékű az eredeti sorrend egyetlen átrendezésével, mégpedig a

[D]

P permutáció

[D]

k -adik hatványának megfelelő átrendezésével. Az ilyen keverési eljárás elvi szempontból nem kielégítő, hiszen (elvben) pontosan kiszámítható, hogy mi lesz a végeredmény, de gyakorlatilag sem megfelelő, mégpedig annál kevésbé, minél kisebb a

[D]

P permutáció rendje, vagyis az a legkisebb

[D]

r pozitív egész szám, amelyre

[D]

P r = I , ahol

[D]

I az azonos permutációt jelenti, amelynél minden lap a helyén marad. (A fent példaként említett

[D]

P permutációnak a rendje

[D]

r = 2 .) Ugyanis, ha a

[D]

P permutáció rendje

[D]

r , akkor ez azt jelenti, hogy a

[D]

P ,

[D]

P 2 , …,

[D]

P r permutációk mind különbözők (

[D]

P minden magasabb hatványa viszont már megegyezik ezek egyikével), tehát akárhányszor is ismétlünk egy

[D]

r -ed rendű

[D]

P permutációt, ezáltal elvileg nem tudunk létrehozni

[D]

r -nél több különböző sorrendet. Persze, ha létezne olyan

[D]

P permutáció, amelynek rendje

[D]

n ! , ennek ismétlésével minden sorrendet létrehozhatnánk; ilyen permutáció azonban nem létezik, ha

[D]

n ≥ 3 ; ugyanis az

[D]

n -ed rendű szimmetrikus csoport nem ciklikus (sőt nem is Abel-csoport, míg a ciklikus csoportok azok). Tisztán matematikai szempontból igen érdekes kérdés a permutációk rend szerinti eloszlása; e kérdéssel foglalkozik Erdős Pál és Turán Pál egy nemrégiben megjelent dolgozata [1]; mivel azonban a keverésnél valóban soha nem pontosan ugyanazt a műveletet ismételjük meg (még akkor sem, ha gép végzi a keverést), a kérdéssel itt nem foglalkozunk részletesen.^[17] A keverés másik – a valósághoz sokkal közelebb álló – modellje a következő:

Feltesszük, hogy az egyes keverő mozdulatok a véletlentől is függnek, és egy mozdulatnál bizonyos valószínűséggel minden permutáció felléphet. Feltesszük továbbá, hogy az egyes mozdulatok egymástól függetlenek. Pontosabban ez azt jelenti, hogy ha

n elem

[D]

n ! lehetséges permutációját valahogy megszámozzuk és

[D]

Q j jelöli azt a permutációt, amely a

[D]

j -edik sorszámot kapja, akkor a keverés minden egyes mozdulatával a keverő a

[D]

Q j permutációt

[D]

q j valószínűséggel hajtja végre

[D]

( j = 1 , 2 , … , n ! ) . (Természetesen

[D]

∑ j = 1 n ! g j = 1 .) Ha tehát a keverő

[D]

i -edik mozdulatánál a

[D]

Π i permutációt hajtja végre, akkor

[D]

Π i véletlen permutáció, amelynek eloszlása

(azaz a

Π i véletlen permutáció

[D]

q j valószínűséggel lesz egyenlő egy előírt

[D]

Q j permutációval), és

[D]

Π i eloszlása független a

[D]

Π 1 , … , Π i − 1 permutációktól.

Ez esetben

k mozdulat után (ha a lapok eredetileg az

sorrendben voltak) a

permutáció jön létre. A

Π ( k ) permutációk ún. Markov-láncot alkotnak. Mármost ismeretes, hogy ha a

[D]

{ q j } eloszlás olyan, hogy az összes permutáció csoportjának tetszőleges valódi

[D]

G részcsoportjára

(vagyis az eloszlás nincs egy valódi részcsoportra koncentrálva), akkor nagy

k esetében

[D]

Π ( k ) eloszlása közel egyenletes lesz, vagyis minden permutáció körülbelül ugyanolyan

[D]

( közel  1 n ! ) valószínűséggel fog létrejönni nagyszámú keverőművelet után; pontosabban ez esetben^[18]

[A (2.1) feltétel teljesül például, ha

j minden egyes értékére

[D]

q j g 0 .]

Gyakorlatilag a mondottakból az következik, hogy ha a keverés minden egyes mozdulata véletlenszerű, elvben minden átrendezést létrehozhat, és ha elég nagyszámú keverő mozdulatot teszünk, akkor indokolt az a feltevés, hogy a lap „jól össze van keverve”. Arra a kérdésre, hogy mi értendő „elég” nagyszámú mozdulaton, itt nem térünk ki.

Mindenesetre érdemes volt a keverés folyamatával ilyen részletesen foglalkoznunk, hiszen tudvalevőleg a hamiskártyások leggyakrabban alkalmazott fogása éppen a nem kielégítő keverés. (Lásd az 5-öt is!)