Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás
Typotex
Amikor a kártyák eloszlására vonatkozó kérdéseket a valószínűségszámítás alapján válaszoljuk meg, hallgatólagosan mindig feltesszük, hogy az a csomag kártya, amelyből a lapokat kiosztják, „jól össze van keverve”. E kifejezést a kártyások gyakran használják, de mivel nem szokták precízen definiálni, nem árt először röviden foglalkozni e kérdéssel.
Valószínűségszámítási szempontból egy csomag kártyát akkor
nevezünk jól megkevertnek, ha a keverés után a lapok összes
lehetséges sorrendje, permutációja ugyanakkora valószínűséggel bír;
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Például, ha egy
52 lapos kártyát megkeverünk, annak a valószínűsége,
hogy a legfelül fekvő lap ász legyen,
[D]
[D]
A valóságban a keverés úgy történik, hogy az egyik játékos (vagy a kártya keverését végző gép) 10–20-szor végez el egy bizonyos mozdulatot. Minden egyes mozdulat a kártyacsomag egy átrendezését, vagyis egy permutáció alkalmazását jelenti a kártyák sorrendjére. Egy számsorozat permutációi tudvalevőleg csoportot alkotnak.
Két permutáció, pl.
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
permutáció, tehát első helyre az eredetileg
17-ik helyen levő lap kerül, második helyre az
eredetileg
18-ik helyen levő lap, és így tovább, az utolsó
helyre az eredetileg a
16-ik helyen álló lap (ez úgy hajtható végre, hogy a
32 lapos kártyacsomagról együtt leemelem a felső
16 lapot, ezt leteszem az asztalra, és erre ráteszem
az alsó tizenhat lapot), és
[D]
[D]
A keverés folyamatára mármost két kézenfekvő matematikai
modellt (a tényleges folyamat leegyszerűsített képét) állíthatunk
fel. Az első modellt determinisztikus modellnek, a másodikat
sztochasztikus modellnek fogjuk nevezni. Először tegyük fel, hogy a
keverő minden egyes mozdulatnál pontosan ugyanazt az átrendezést
végzi a kártyacsomagon. Ha ezt a permutációt
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Feltesszük, hogy az egyes keverő mozdulatok a véletlentől is
függnek, és egy mozdulatnál bizonyos valószínűséggel minden
permutáció felléphet. Feltesszük továbbá, hogy az egyes mozdulatok
egymástól függetlenek. Pontosabban ez azt jelenti, hogy ha
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
(azaz a
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Ez esetben
[D]
sorrendben voltak) a
permutáció jön létre. A
[D]
[D]
[D]
(2.1) |
![]() [D]
|
(vagyis az eloszlás nincs egy valódi részcsoportra
koncentrálva), akkor nagy
[D]
[D]
[D]
(2.2) |
![]() [D]
|
[A (2.1) feltétel teljesül például, ha
[D]
[D]
Gyakorlatilag a mondottakból az következik, hogy ha a keverés minden egyes mozdulata véletlenszerű, elvben minden átrendezést létrehozhat, és ha elég nagyszámú keverő mozdulatot teszünk, akkor indokolt az a feltevés, hogy a lap „jól össze van keverve”. Arra a kérdésre, hogy mi értendő „elég” nagyszámú mozdulaton, itt nem térünk ki.
Mindenesetre érdemes volt a keverés folyamatával ilyen részletesen foglalkoznunk, hiszen tudvalevőleg a hamiskártyások leggyakrabban alkalmazott fogása éppen a nem kielégítő keverés. (Lásd az 5-öt is!)
[17] Erdős és Turán [1]-ben bebizonyítják, hogy az
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]